求三角函数最值问题的八大类型

学·芳逸突破 求三角函数最值问题的八大类型 口刘晓华袁铁宝 ■豳麟戤骆嘲inx+bcosx+c型的函数 解决：引入辅助角妒(co印2了斋，si婶= 了否bi)，化为产何sin(茗+妒)托；再利用三角函 数的有界性，得y∈[-、需+c，、瓣+c]． 1．直接利用辅助角公式 i侈41当一詈≤戈≤詈时，求函荔“髫)=si眦+、／百 ·cosx的最大6t-b最小值． ，鞠}因为，(茗)=si眦+、／了c。船=2sin(菇+詈)， 又髫∈B，孙所‰詈∈愕，詈]，所以 叭石)]矿2，【，(算)]m=--I． 2．先“降幂”．-再4,1用辅助角公式 誓 例2 求函数，，：sin‰+2si吡。。蹦+3c。s‰的最小 值，并求出y取最小值时≈值的集合． ，镌因为产sin2x+2sinx‘co鲋+3cos‰=1+2si眦co麟 +2eos‰=1+sin2x+l+cos2x=2+sin2x+cos2x=2+、／虿· sinp詈)， 所以当sin(拼号)一，，最陆∈川赫霄-孚，忌∈z} 时，斛2一订． ■匿颦戳辆-僻i觑+6co觚+c型的函数 解决方案：令-t=cosx，化为二次函数，，=以2+bt+c在 t“一1，1]上求最值． 管例3求函数，，=6。si眦-cos‰，zE[一詈，寻]的 矗值． ，熊因为y=6山i似一(1一sin2x)=sin2x--4sinx+5， 菇E一孙所岭=si眦舭[-孚，孚】' 例2_4抖5． 该函数对称轴为￡-2，且在￡∈『—V—-Y—，盟1上 i 2 2 J 单调递减，所以当￡一!手时，‰=芸+2、／虿；当拉 孚时，掰竽一2订． ■隧蘧鍪畲sinx±co黜，sinxcosx型的函数 解决方案：令鹤ir·妯c。鲥，化为二次函数产!芝笋 +6￡们在f∈[一、／丁，、／丁]上求最值。(注：sinx+cosx， si眦co麟之间通过平方可以建立关系，“知其一，可求 其另二”．) i例4求函数，，：。i似一。。舛+。i眦。。舛的最大值和 最小值． ，撬i及t=si似一蹦=竹sin卜手细一V-Y一< t≤订’且si眦c。鲫=孚 由于)，=t+孚=一{(t一1)2+1，故当t=1时，‰= 1；当拄一订时，‰．=一订一÷． 解决方案：利用正弦函数(余弦函数)的有界性 来求最值，或利用数形结合来求最值． 万方数据 i 例5求函数产』C081。≥的最值．．茁十二 ，解法飞因为)，：—坐妥，所以弘。鲥+2y=si毗，即 sinx—声。就：2y，所以8in(善+妒)：—；塾．’ V1∥ 由随眦cx+妒，陲-，所以I了备I≤一，12yk 啊，所烬尹1孚郇孚，Ⅳ孚， 舻一丁v3-． 厦图此方法利用了三角函数的有界性． ， 解法惫 原函数可变形为产嵩， 故y可看作点A(COSX， sinx)和曰(一2，0)的直线的 斜率，而A是单位圆算z+俨=l 上的动点．由右图，可知过 点曰(一2，0)作圆的切线时， 斜率有最值．由几何性质， 饥：≤士，搿一_v'-_Y． ， j 爪 、、曰／臼O。／ ＼ -2"-螂。卜1／／j≮ ＼ 嚣固此方法利用了数形结合的思想，体现了 知识的融合． ■甏纛嚣褊in∞憾‰型的函数 解决方案：借助均值不等式求解． _ii例6若髫E(o，订)，求函数y=(1+cosx)sin要的 最大值． ，蘼因为产(1+c。懿)sin詈=2COS2号sin号>o，舅∈ (0，1r)。 删--4c。s4号sin2詈__-2cos2詈c毋号(2si舻詈)1 1 1 ，'l 7 年垒：挲堕离所吣竽． ■鬣溪甏綦远i眦+6型的函数 解决方案：利用三角函数的值域Isinxl，<1，Icosxl 1，需要注意对字母的讨论． il 例7 已知函数y=口co舛+6的最大值是1，最小值 是一7，则函数垆∞o瞄+6si吡的最大值是——． 数学·芳题突破 ，解由已知可得(：：：：7，得／．6la—l--43'．所以 acosx+bsinx的最大值是、／夏霄=5． 区曼尊去型的函数 解决方案：利用重要不等式或函数单调性求解． I 例8 已知菇∈(o，竹)，求函数，r=si眦+÷的最 小值． ，鳜设sinx=t(00，a>l时，不能用重要不等式求最值，适宜用函 数在区间内的单调性求解．露戮。用三角代换求代数函数的最值 此类函数可借助三角代换求其最值，是三角函 数的一重要应用． I例9求函数产、／丁茗+、／i≯的最值． ，解令茗=sjn口，口∈【一詈，詈]，则，，=、／了sjn舢 cosO=-2si艄0卦 由髀詈E悖孥],sin峙)∈[．孚，·】’ 故y∈[一、／了，2]，ym=一、／了，ym=2． 由以上的几种形式可归纳求解三角函数最值问 题的基本方法：应用正、余弦函数的有界性，应用求 二次函数在闭区间内最值的方法，此外还可以利用 均值不等式或利用数形结合的方法来解决．匿．．舀固圈 1．求函数y=si眦+c。s(铲詈)的最大值和最小值． 2．求函数“石)=了1sin‰+二≮生sinxcosx+l的最值． 3．求函数y=cos2x—cosx+2的最值． 4．求函数尸_竽竺!坠的最值． 5．求函数2sinx+2的最值． cosx-2 6．求函数y≈+、／再5的最值． 27S 万方数据 名28 数学·芳题突破 正＼余弦定理的运用∞厨圆圆回 慎用正弦定理 正弦定理是解三角形的重要工具，也广泛用于 球的截面问题．但用其解题时可能会出错．本文就对 此类问题错因及应对策略加以探讨． ■圈黼典例分析-。 t侈41在△A曰G中，A=60。，仁、／百，b=3，则AABC 解的情况是 ( ) A．无解 B．有一解 C．有两解 D．不能确定 ，错臆者=志，得sinB=墼≯，又。妇<订， 所以B有两解，故

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为C． ，霉肛告=去熊肚nB81rlAsln／， 半>1'所以斗 8无解，故答案为A． ，霹解：：cosA=b2+2。62。-坚={，得c2—3c+3=o，所 以c无解，故答案为A． I例2在AABC中，A=60。，a---4订，b=4订， 则曰=——． ，错解啬=志，得sinB=半，又。妇<霄， 所以B=45。或1350． ，露解一告=去，得sjtaB=皇2$1n／!$1n／， 三，又。翘< 1r．目．dfla>b，得A>口，所以B=450． 口吕 辉 ，霹解：。叫：．b2+，c。2-型：÷，钕z4、／虿。一16： ．ZOC Z 0，又c>0，所以c=2(、／丁+、／百)． 所以c。嘏：_a2+-c2-一b2：_v'--Y，11)i：132B=45。． z,ac Z 停il例3,I生_AABCef'，c=2,4，m=10'c。sA=寻，求6 的值． ，错解c圳，得sinC≈in2A_2sinAcod，又cod： 三4，且jsinLA=JsinLC，所以c=三2仉 又。托=lo，得口=4，c=6．又c。s14=i3=—b2+五c2_-Ⅱ2，得 b--．4或5． ，霹解一由上法求出6=4或5． 当b--4时，a=b，贝0A胡，故A+B+c=4A=叮r，得A= 旦，与cosA=三矛盾． 4 4 经检验，b=5符合题意． ，霹解：：由上法求出n：4，。-6． 又c。sc=c。s2A=2c。s矾一1-81-．a2+2n6b2-一c2，得6=一4 (舍去)或5． i例4(2009年全国II卷)在△ABc中，c。s(A— C)+COS曰=要，62：0c，求B的大小． —+-+-+-+-—卜——卜-。-一——卜——卜—‘‘卜-‘1一-+--'4--+·+·+-+—+——卜——卜—+—+·+-—卜-—卜-—+一·—卜·+-+-+-+·+——卜·—卜·+·+-+-+-+· 1．‰=订，‰=一订．2．驴(x)]。={， 叭圳。=寻．3．‰4，‰=詈．4．‰=Tv'互--1， ．5．ym--O，‰一号．6．舳=订， 万方数据 求三角函数最值问题的八大类型 作者： 刘晓华， 袁铁宝 作者单位： 刊名： 新高考(高一语数外) 英文刊名： NEW UNIVERSITY ENTRANCE EXAMINATION 年，卷(期)： 2011(3) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_xgk-gy201103014.aspx