巧用向量求最值

又由 !"#$!% !&"’!可得( !&)!* !)$! !)$! % !&"#!* !&"’! !&"’! % ’+ !&"’!, !&)! !)$! % !"#$! !"’$!, 可 得 !&)!- !)$! !)$! % !"#$!- !"’$! !"’$! % ’. !"’$!/ 所以 !&)!* !)$! !&)!- !)$!% + .0 !$"’! !&"’! % +.0 !)$! !&)!% # 10 # 2/ 上式左边分子3分母同除以 !)$!得( 2* # 2- #% # 10 # 2, 所以 1% 2- #242* #5/ 又由焦半径得 !&"#!% 167- +, !&"’!% 167* +, 由!&"#! !"#$!% !&"’! !"’$! 知 167- + !"#$!% 167* + ’.* !"#$!, 解得 !"#$!% .167- +. 167 / 又 !"#$!% !&"’!, 所以 .167- +. 167 % 167* +, 即方程 1’6’7* 4+- .5167* +.% 7在 678 ’+ 上有解/ 设函数 94675% 1’6’7* 4+- .5167* +.,67: 4’+,- ;5, 其对称轴为67% +- .’1 <’+,=87, 且开口向 上, 所以 要使方程 94675% 7在4’+,- ;5上有 解,则必有 94’+5< 7/ 即 1’4’+5’* 4+- .514’+5* +.< 7/ 解得 1< >’, 又因为双曲线中 18 #, 所以 1: 4#,>’5, 即 #< 2- #242* #5< > ’/ 所以 ?2: 4’,#- ’5/ 点评 本题设计新颖,考查知识全面,1未在已 知条件中出现且隐藏得太深,过多地使用比例的性 质,运算量较大等越发加大了本题的难度@ 巧用向量求最值 福建省泉州市永春崇贤中学 >A’A7# 李建新 函数的最值问题,经常出现在中学各类 试题中,巧妙利用向量求函数的最大值,最小 值等,可以使一些函数的最值问题的思路清晰, 解题简捷巧妙,并富于规律性,趣味性/ 定理 B,C为两个向量,则 !B!’D 4B0C5 ’ !C!’ / 证明 设两向量的夹角为 E/则 !B!’% !B! ’0!C!’ !C!’ D !B! ’!C!’FGH’E !C!’ % 4B0C5’ !C!’ / # 巧用向量求未知数满足整式方程的代数 式的最值 例# 已知(实数63I满足方程 6’- I’ * ’6- JI% 7/求 6* ’I的最值/ 4#KLL年广东省高考题5 解 设 B% 46* #,I- ’5, C% 4#,* ’5/ 由 6’-I’*’6-JI%7,得 M%6’- I’*’6-JI-M%46*#5’-4I-’5’% !B!’D 4B0C5 ’ !C!’ % 46* #* ’I* J5’ #’- 4* ’5’ % 46* ’I* M5’ M , 所以 46* ’I* M5’N ’M,!6* ’I* M!N M,所以 * MN 6* ’I* MN M, 所以 7N 6* ’IN #7/ 故 6* ’I的最小值是 7,最大值是 #7/ ’ 巧用向量求未知数满足三元一次方程及 三元二次方程的最值 例’ 已知(实数6#,6’,6>满足方程 6# - #’6’- # >6>% #, 及 6’#- #’6 ’ ’- #>6 ’ >% >,则 6>的最小值是多少O4#KK>年上海市高 三数学竞赛试题5 ’> 中学数学杂志4高中5 ’77J年第 A期 万方数据 解 方程可以化为 !"# "$!$% "& " ’!’(! $ "# "$! $ $%’& "’! $ ’(巧设向量 )% *!"( " +$ !$,(-%*"( " +$ ,(则 ’& "’! $ ’ % !$" # "$! $ $ % .).$ / *)0-, $ .-.$ % *!"# "$!$, $ "# "$ % $’*"& " ’!’, $1 解 ’& "’! $ ’/ $’*"& " ’!’, $(得 & $"""2 !’2 ’( 故 !’的最小值是 & $"""1 ’ 巧用向量求未知数满足整式方程的分式 的值 例 ’ 已知3实数 !(4满足方程*!# $,$#4$%"(则4& "!& $ 的最小值是多少5*第 "6届希望杯邀请赛数学竞赛高二试题, 解 设4& " !& $%7( 则4&"%7!&$7( 4% 7!& $7# "1 设 )%*!#$(7!&$7#",(-%*7( & ",(则 "% *!# $,$# 4$% *!# $,$# *7!& $7# ",$ % .).$ / *)0-, $ .-.$ % *7!# $7& 7!# $7& ",$ 7$# "$ % *87& ",$ 7$# " ( 所以 *87& ",$2 7$# "( 即 7*"97& :,2 61解得 62 72 :"91 故 4& " !& $ 的最小值是 61 8 巧用向量求无理函数的值域 例 8 求 函 数 +4% ";;8& !# +!& ";;’的值域1*";;8年上海市高三数 学竞赛试题, 解 因为 ";;8&!/6且!&";;’/ 6(所以 ";;’2!2";;8(可以知道 4/"1 设 + +)% * ";;8& !( !& ";;’,(- % *"(",(则 "% ";;8& !# !& ";;’% .).$/ *)0-, $ .-.$ % + +* ";;8& !# !& ";;’,$ "$# "$ % + +* ";;8& !# !& ";;’,$ $ ( 所以 + +* ";;8& !# !& ";;’,$2 $( + + +";;8& !# !& ";;’2 $1 又 由 于 4/ "( 所 以 函 数 4% + +";;8& !# !& ";;’的值域是 "2 4 +2 $1 9 巧用向量求未知数满足分式方程的代数 式的最值 例9 已知3!(4<*6(#=,(且";!# ;: 4%"( 则!#4的最小值是多少5*";;:年 湖南省高中数学竞赛试题, 解 设 ) % * ";+!( ;:+4,(- % + +* !( 4,(则 "% ";! # ;: 4 % .). $/ *)0-, $ .-.$ % + +* ";# ;:,$ !# 4 % +""># "8 ’: !# 4 ( 所以 ! +# 4/ ""># "8 ’:1 故 !# 4的最小值是 +""># "8 ’:1 ? 巧用向量求使整式方程为最值的未知数 的值 例 ? 求实数 !@4的值(使得 *4& ",$ # *!#4& ’,$# *$!#4& ?,$达到最小 值1*$66"年全国中学数学联赛试题, 解 设)%*4&"(!#4&’($!# 4& ?,(-% *& "($(& ",(则 *4&",$#*!#4&’,$#*$!#4& ?,$% .).$/ *)0-, $ .-.$ % *& 4# "# $!# $4& ?& $!& 4# ?,$ *& ",$# $$# *& ",$ % "?( 当且仅当 4& " & " % !# 4& ’ $ % ’’中学数学杂志*高中, $668年第 ?期 万方数据 !"# $% & % ’ ( 即 ") *!( 且$) *& 时(+$% ’,!# +"# $% -,!# +!"# $% &,!取最 小值 ’ &. / 巧用向量求未知数满足分式方程的分式 的最值 例 / 已知0"($(12 +3(# 4,(且 "! ’# "!# $! ’# $!# 1! ’# 1!)!( 求 " ’# "!# $ ’# $!# 1 ’# 1! 的最大值. +’553年首届希望杯全国数学邀请赛备 选题, 解 由 " ! ’# "!# $! ’# $!# 1! ’# 1!) !(得 ’’# "!# ’ ’# $!# ’ ’# 1!) ’. 设 6) + " ’# "7 ! ( $ ’# $7 ! ( 1 ’# 17 ! ,( 8)+ ’ ’# "7 ! ( ’ ’# $7 ! ( ’ ’# 17 ! ,( 则 !) " ! ’# "!# $! ’# $!# 1! ’# 1!)969 !: +6;8,! 989! ) + "’# "!# $ ’# $!# 1 ’# 1!, ! ’ ’# "!# ’ ’# $!# ’ ’# 1! ) + "’# "! # $ ’# $! # 1 ’# 1!, !(所 以 + "’# "!# $ ’# $!# 1 ’# 1!, !< !(所以 " ’# "!# $ ’# $!# 1 ’# 1! 7< !. 故 " ’# "!# $ ’# $!# 1 ’# 1! 的最大值 是 7!+当且仅当")$)1) 7!! 时达到 最大值,. = 巧用向量求无理式的最值 例 = 如果 ># ?# @) ’(那 么 7 7 7-># ’# -?# ’# -@# ’的最大值 是多少A+第 =届希望杯全国数学邀请赛高二 试题, 解 设 7 76) + -># ’( -?# ’( 7-@# ’,(8)+’(’(’,(则由 >#?#@) ’(得 &) +-># ’,# +-?# ’,# +-@# ’, ) 969!: +6;8, ! 989! ) 7 7 7+’; -># ’# ’; -?# ’# ’; -@# ’,! ’!# ’!# ’! ) 7 7 7+ -># ’# -?# ’# -@# ’, ! - ( 所 以 7 7+ -># ’ # -?# ’ # 7-@# ’,! < ’=( 所 以 7-># ’ # 7 7 7-?# ’# -@# ’< - !. 故 7 7 7-># ’# -?# ’# -@# ’的 最大值是 7- !+当且仅当>)?)@) ’- 时 达到最大值,. 5 巧用向量求满足二次方程的函数取值范 围 例 5 设>!#?!#@!)B("!#$!#1! ) 5(则 >"# ?$# @1的取值范围是多少A +第 /届希望杯全国数学邀请赛高二培训题, 解 设6)+>(?(@,(8)+"($(1,(则 B) >!# ?!# @!) 969!: +6;8, ! 989! ) +>"# ?$# @1,! "!# $!# 1! ) +>"# ?$# @1,! 5 ( 所以 +>"#?$#@1,!<-&(所以 >"#?$#@1的 取值范围是 % &< >"# ?$# @1< &. ’3 巧用向量求满足不等式的未知量的最 值 例’3 设>C?C@且 ’>% ?# ’ ?% @: D >% @ 恒成立(则 D的最大值是多少A+!333 年希望杯全国数学邀请赛高二试题, 解 设 6) + ’ 7>% ? ( ’ 7?% @ ,( B- 中学数学杂志+高中, !33B年第 &期 万方数据 ! !"# $ %& ’( ’& )*(则 + %& ’, + ’& )# -.- / 0 $.1"* / -"-/ # $+, +*/ $%& ’*, $’& )* # 2%& )( 故 3的最大值是 24 ++ 巧用向量求三角函数的最值 例 ++ 设 函 数 !5678& + , !9& 5678的最大值是 :(最小值是 ;(则 : ; 是多少<$+===年希望杯数学邀请赛(山 西>江西>天津赛区高二试题* 解 由 +? 5678? 9(容 易 知 道 ! ! !5678& +, 9& 56780 /(; # !/4 设 ! !.# $ 5678& +( 9& 5678*(" #$+(+*(则 /# $5678& +*, $9& 5678* # -.-/0 $.1"* / -"-/ # ! !$ 5678& +, 9& 5678* / +/, +/ # ! !$ 5678& +, 9& 5678* / / ( 所以 ! !5678& +, 9& 5678? /(所以 :# /@ 又 !;# /(所以 :;# / !/ !# /4 +/ 巧用向量求对数函数的最值 例+/ 已知A%’#+BBB(%C+(’C+( 则 ! !+, DE%, +, DE’的最大值是多少< $第 +9届希望杯全国数学邀请赛高二培 训题* 解 设 ! !.# $ +, DE%( +, DE’*( "#$+(+*(则 F#/,DE+BBB#/,DE%’# $+,DE%*,$+,DE’*#-.-/0$.1"* / -"-/ # ! !$ +, DE%, +, DE’*/ +/, +/ # ! !$ +, DE%, +, DE’*/ / ( 所以 !+, DE% ! !, +, DE’? +B4 故 ! !+, DE%, +, DE’的最大值是 !+B4 +9 巧用向量求变量满足已知曲线方程的 代数式的最值 例 +9 已知A点G$8(H*在椭圆8 / 2, H/ = # +上(求 /8& H的最大值4 解 设.#$8/( H 9*("#$2(&9*( 则 +# 8 / 2, H/ = # -.-/0 $.1"* / -"-/ # $/8& H* / 2/, $& 9*/ # $/8& H* / /F ( 所以 $/8&H*/?/F(故 /8&H的最大 值是 F4 以上是关于巧妙利用向量求函数的最大 $小*值的解法(这种解法有如下特点A应用 广泛(解法简便(解题有规律(容易掌握4希 望同学们在上面例子中能够得到启发(举一 反三(能够熟练掌握并加以应用(使所学知识 得到巩固4 F9中学数学杂志$高中* /BB2年第 I期 万方数据 巧用向量求最值 作者： 李建新 作者单位： 福建省泉州市永春崇贤中学,362601 刊名： 中学数学杂志（高中版） 英文刊名： ZHONGXUE SHUXUE ZAZHI(GAOZHONGBAN) 年，卷(期)： 2004(6) 被引用次数： 1次 引证文献(1条) 1.任念兵 一类最值问题的概率视角[期刊论文]-中学数学杂志（高中版） 2005(3) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxzz-gzb200406013.aspx