上极限和下极限

nullnull*§3 上极限和下极限数列的上极限与下极限是非常有用的概念, 通过 一、上(下)极限的基本概念程来说, 上(下)极限也是不可缺少的工具.极限或下极限来解决问. 此外, 对于不少后继课考虑的某些数列不存在极限的情形, 那时需要用第十二、十四章讨论级数收敛性时, 常会遇到所它们可得出数列极限存在的另一个充要条件. 在下二、上(下)极限的基本性质返回一、上(下)极限的基本概念一、上(下)极限的基本概念注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于: 的一个聚点. 限多个项”. 现举例如下: 前者要求 “含有无限多个点”, 后者要求 “含有无 null定理7.4 有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大 聚点和最小聚点. null故由确界原理, 存在的一个聚点.nullnullnull注 由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 提供了一个新的平台. 的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质 极限来研究该数列往往是徒劳的; 但是有界数列 数列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过 这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 一个 null例1 考察以下两个数列的上、下极限:从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系. 详细讨论请见下文. 二、上(下)极限的基本性质二、上(下)极限的基本性质由上、下极限的定义, 立即得出:下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系.nullnull一的假设相矛盾.另一聚点, 导致与聚点惟 性定理, 这无限多项必有 nullnull还有聚点, 这与 A 是最大聚点相矛盾. 设这有限项 null的最大下标为 N, 那么当 n > N 时,上含有 { xn } 的无限项, 即 A 是 { xn } 的聚点.null则取上(下)极限后, 原来的不等号方向保持不变:nullnull同理可证关于上极限的不等式; 而 (4) 式则可由又因 (1) 与 (3) 式直接推得. null证 这里只证明 (i) , (ii) 可同理证明. 设由定理7.7, 存在 N, 当 n > N 时,null再由定理 7.8 的 (4) 式, 得注 这里严格不等的情形确实会发生, 例如故nullnullnull定理7.9 设 { xn } 为有界数列. 则有(i) A 是 { xn } 的上极限的充要条件是(ii) B 是 { xn } 的下极限的充要条件是null同理, 由于 nullnull注 本例命题用现在这种证法,可以说是最简捷的. null证 根据定理7.9 的 (8) 与 (9), 可得 将 (11) 式改写为null把它用于 (12) 式, 并利用例1 的结论 (6), 便有这也就证明了 (11) 式.null复习思考题种定义方式各有哪些特点?试从直观性、应用的方便性等方面, 分析这三它们的充要条件( 定理7.7 与定理7.9 ) 来定义.数列的上、下极限, 除用定义2 定义外, 也可用