相角射出角

nullnull○○○○相角条件：s在 s 左边的零、极点其相角均为0在 s 右边的零、极点其相角均为π共轭复根相角为2π在实轴上的 s 是否满足相角条件就看 s 右边的零、极点之和是否是奇数在实轴上的 s 是否满足相角条件就看 s 右边的零、极点之和是否是奇数在实轴上的 s 是否满足相角条件就看 s 右边的零、极点之和是否是奇数奇数null出射角公式：null出射角公式：null第四章 控制系统的根轨迹分析法第四章 控制系统的根轨迹分析法 根轨迹分析法是一种图解分析法，利用它求解高阶系统中某一参数对系统性能的影响将非常方便。§4.1 根轨迹的基本概念及分析方法§4.2 绘制根轨迹的基本规则§4.4 系统性能的根轨迹分析§4.3 参量根轨迹——广义根轨迹null§4.1 根轨迹的基本概念及分析方法 系统开环中某一参数从0→∞时，闭环系统特征根在 S 平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。[例]求系统特征方程的根随开环增益K的变化在S平面上的位置变化情况，并分析K对系统的影响。null系统的闭环传递数 闭环特征方程式 特征方程的根 S2+2S+K= 0 0 -1 2 0 -2 1 -1 -1+j -1-j[解]以K为参数求根迹K变化时,闭环特征根 在S平面上的轨迹图形当K从0→∞连续变化时,得到无数组特征方程的根,组成图形null系统特征方程为求得两个极点：-2当K=0时：s1=0，s2=-2当K=1时：s1,2= -1K在0→1之间连续变化则 s1 和 s2 也连续变化，并且互相靠近。-1s’s’s’s’当K＞1时：s 的实部为常数，其虚部随着K→∞是连续变化的，并且上下分开。该根迹达如下信息：①无论 K 如何变化，闭环极点只可能出现在 S平面的左半平面，系统始终稳定。②在0＜K＜1区间： s1,2是实数极点，所以阶跃响应是单调收敛的。 由于s1离虚轴最近，所以它主导系统的响应，当K↑→ s1远离虚轴，系统响应过程变快。③在1＜K＜∞区间： s1,2是一对共轭复根，实部为常数，决定了系统的调节时间； 虚部随着K增大而增大→ζ↓→σ%↑；画出 ζ=0.707 的等阻尼线，找出根迹与该线的交点，可得相应的 s’ →最佳值。null根轨迹法的分析基本思路:方法: ① 根据开环零极点的分布绘制出系统的根轨迹图；②利用根轨迹法来分析和设计系统.目的: ①解决高阶系统求解特征根比较困难的实现; ②寻找到一种方便、有效的描述系统的根轨迹的方法。null§4.2 绘制根轨迹的基本规则一、根轨迹的幅值条件和相角条件系统的特征：1+G(s)H(s) = 0G(s)H(s) = -1幅值条件:相角条件:在S平面上满足特征方程的 s 一定满足幅、相条件；同理满足幅、相条件的 s一定满足特征方程。利用开环求解闭环null设系统的开环传递函数为开环零点开环极点根轨迹增益—将GH中最高阶相的系数化为1提出的常数闭环特征方程幅值条件幅值条件幅值条件相角条件相角条件相角条件闭环极点这是什么？null8、开环极点与闭环极点的关系7、根轨迹与虚轴的交点 6、根轨迹的出射角和入射角 4、根轨迹的分离点和会合点5、根轨迹的渐近线3、实轴上的根轨迹段2、根轨迹的起点和终点1、根轨迹的对称性和分布性二、绘制根轨迹的基本规则null1、根轨迹的对称性和分布性1）根轨迹对称于实轴 闭环特征方程实数根分布在S 平面的实轴上。 复数根则成对出现，实部相等，虚部大小相等符号相反。根轨迹必定对称于实轴。2） n阶系统有n条根轨迹 Kr取某一数值时,n阶特征方程有n个确定的根。 Kr=0→∞每一个根由始点连续地向其终点移动，形成一条根轨迹， n个根形成n条根轨迹。null起始于开环极点，终止于开环零点和无穷零点。2、根轨迹的起点和终点起点： Kg =0 时闭环特征方程 S = pi 闭环极点=开环极点终点： Kg =∞ 时 S = zj m个闭环极点=开环零点 S = ±∞ (n-m)个闭环极点=无穷零点null p3= -2 p2= -1 例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。 解： 系统的三条根轨迹起始于三个开环传递函数的极点。开环零、极点： p1= 0 z1= -1+j z2 = -1-j 两条根轨迹终止于开环传递函数的两个零点，另一条趋于无穷远。null3、实轴上的根轨迹 实轴上某区间存在根轨迹，则该区间右边的开环零、极点数之和必为奇数。null-14、分离点与会合点两条或两条以上的根轨迹在S平面上相遇又立即分开的点。重根点在实轴上两个开环极点之间如果是根轨迹，必有分离点；两个开环零点之间是根轨迹，必有会合点。分离点→求解特征方程 的重根。[例]已知null例 试确定系统分离点。 解： 根轨迹的分离点：A(s)B'(s)=A'(s)B(s)(3S2+6S+2)=0s1=-0.43s2=-1.57s2没有位于根轨迹上，舍去。null5、根轨迹的渐近线 与实轴交点：与实轴交角： 当 n＞m 时，有 m 条根轨迹终止于开环的有限零点，而 n-m 条根轨迹将沿着与实轴交点为 –σa 、交角为 φ 的一组渐进线终止于无穷远处（无穷零点）。null-1[例] 在实轴上两开环极点之间是根轨迹，所以有分离点。系统开环为可得null例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。 解： 1）开环零、极点： 2）实轴上的根轨迹段： p1=0p2=-2p3=-3p1~p23）根轨迹的渐近线： 渐近线与实轴的交点: 渐近线与实轴的夹角 :n-m= 34）系统的根轨迹 null例 试确定系统分离点与渐近线。 解： 前例已求得根轨迹的渐近线和实轴上的根轨迹段 根轨迹的分离点：A(s)B'(s)=A'(s)B(s)(3S2+6S+2)=0s1=-0.43s2=-1.57s2没有位于根轨迹上，舍去。null例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。 解： 1）开环零、极点 2）实轴上的根轨迹段 p1~p2p2=-2p1=-1z1=-3 3）根轨迹的渐近线 有一条根轨迹趋于无穷远n-m= 1渐近线与实轴的夹角：4）分离点和会合点KrB (s)+A(s)=0 A(s)=S2+3S+2B(s)=S+3B'(s)=1A'(s)=2S+3整理得 (S2+3S+2)=(2S+3)(S+3)S2+6S+27=0 解方程得 s1=-1.6根轨迹的分离点s2=-4.4根轨迹的会合点5). 根轨迹 null6)根轨迹与虚轴的交点交点[例]已知系统开环[解]已知与虚轴交点处求与虚轴交点系统特征方程为代入虚部为零实部为零解得：也可以用劳斯表求交点null7）根轨迹的出射角和入射角出射角公式：入射角公式：8）闭环特征方程根之和与根之积a）(n-m)≥2时，根之和与根轨迹增益 Kg 无关，是个常数，即b）根之和不变 Kg 增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。闭环极点开环极点null闭环极点与特征方程的系数关系（n-m≥2）null[例1]已知系统开环试绘制闭环系统的概略根轨迹[解]已知开环①在[-1，0]和[-∞，-2]区间有根轨迹。②实轴上两个开环极点之间有根轨迹，必有分离点得（不合理）③渐近线④虚轴交点将 s=jω 代入特征方程null[例2]已知系统的开环传递函数试绘制闭环系统的概略根轨迹[解]由开环传递函数知①将零、极点标在图上②实轴上[-3，0]有根轨迹③求分离点求导试探法，得代入得④求渐近线n-m=4 有四条渐近线⑤求与虚轴交点代入特征方程⑥画出根轨迹模值方程与相角方程的应用模值方程与相角方程的应用幅值条件相角条件所有开环零点到闭环 s 的距离所有开环极点到闭环 s 的距离所有开环零点指向闭环 s 的相角所有开环极点指向闭环 s 的相角null3.82639.91.82668.35.576147.91.82613.82621.826111.7160.3164.4null§4.3 参量根轨迹——广义根轨迹 除根轨迹增益 Kg 以外，系统其它参数变化时的根轨迹称为参量根轨迹 （或广义根轨迹）。 1.开环零点变化的根轨迹 设系统开环传递函数为没有附加开环零点情况相当于设置设置零点在 –2 左边时根轨迹与虚轴有交点，在右边时，根轨迹与虚轴没有交点。设置null在虚轴的左边配置适当的零点null2.开环极点变化的根轨迹 设系统开环传递函数为没有配置极点配置极点配置极点配置极点null配置在虚轴左边的极点要远离虚轴null闭环传递函数分母一样，所以极点是一样的。A系统开环具有零点，闭环也有零点并且相同。B系统开环具有零点，但闭环没有零点。AB但是不是都具有闭环零点！null§4.4 系统性能的根轨迹分析null[练习]画出概略根轨迹（a）（b）（c）（d）null作业：4-3