q-进制数

q{ 进制数 大家熟悉十进制数, 如 256, 它实际上是 256 = 6� 100 + 5� 101 + 2� 102, 同样, 小数也是 如此. 0:256 = 2� 10�1 + 5� 10�2 + 6� 10�3. 而无限小数, 如 � = 3:14159265 � �� 可以写成: � = 3�100+1�10�1+4�10�2+1�10�3+5�10�4+9�10�5+2�10�6+6�10�7+5�10�8+���� 这实际上是一个级数. 这里 � � � 示无穷项, 或者理解为部分和列 S1 = 3; S2 = 3:1; S3 = 3:14; S4 = 3:141; � � � 的极限. 我们还了解二进制, 只有 0,1 两个数字. 八进制, 十六进制等. � 一般进制小数的定义: 对 q 2 N; q � 2 , 1X n=1 anq �n = a1q�1 + a2q�2 + � � �+ anq�n; an 2 f0; 1; 2; � � �; q � 1g: ||q{ 进制小数. 也记为 0:a1a2 � � � an � ��. 若无限个 an 6= 0, 则称为无限小数; 否则 (有限个 an 6= 0) 称为有限小数. � 由于每个 q{ 进制小数及对应的数列 fa1; a2; � � �; an; � � �g 可看成是映射: f : N! f0; 1; 2; � � �; q � 1g; n 7! an: � q{ 进制整数: 形如 mX n=0 bnq n = b0q 0 + b1q 1 + � � �+ bmqm 的级数, 其中 bn 2 f0; 1; 2; � � �; q � 1g. � q{ 进制数: mX n=0 bnq n + 1X n=1 anq �n = bmbm�1 � � � b2b1b0 � a1a2 � � � an � � � : 定理 0.1 (i)q{ 进制小数 P1n=1 anq�n 必收敛, 且 2 [0; 1] . (ii) 每个实数都可以用 q{ 进制数表示. (iii) 当两个 q{ 进制小数表示同一个小数时, 其中必有一个是无限的, 而另一个是有限的. 注释 1 设 P1n=1 anq�n 是一个有限 q{ 进制小数, 则 9N 2 N, 使得 aN > 0 且 8n > N; an = 0. � 构造无限 q{ 进制小数: 当 n < N 时, 取 a0n = an; 当 n > N 时, 取 a0n = q � 1. 这样得到 的无限小数 P1n=1 a0nq�n =P1n=1 anq�n (有限). (差可以小于任给的正数 "). � q{ 进制小数 (续) 在十进制中, 0:324 = 310 + 2102 + 4103 . 我们可以这样来找到表示 0:324 的点: 首先,把 [0; 1]十等分,发现 0:324介于 310 和 410 之间,再把 [ 310 ; 410 ]十等分,得到小区间 [ 310 ; 310 + 1 1 102 ]; [ 3 10 + 1 102 ; 3 10 + 2 102 ]; [ 3 10 + 2 102 ; 3 10 + 3 102 ]; � � �; [ 310 + 9102 ; 410 ]:0:324 2 [ 310 + 2102 ; 310 + 3102 ], 再把 [ 310 + 2 102 ; 3 10 + 3 102 ] 十等分 � � � � 把形如 1X n=1 an qn ; an 2 f0; 1; 2; � � �; q � 1g 的数称为 q{ 进制小数. 1. 1X n=1 an qn � 1X n=1 q � 1 qn = (q � 1) 1X n=1 1 qn = 1: 故 P1n=1 anqn 2 [0; 1]. 2. 0 = P1 n=1 0 qn . 下设 x 2 (0; 1], 下面给出把 x 表示成 q{ 进制小数的方法: 将 (0; 1] 进行 q 等分, 分点为 0 = 0q < 1q < � � � < q�1q < qq = 1. 则一定在某个 i1 2 f0; 1; 2; � � �; q � 1g(下面记 Mq = f0; 1; 2; � � �; q � 1g), 使得 x 2 [ i1q ; i1+1q ], 记 a1 , i1. 再将 [ i1q ; i1+1q ]q 等分, 同样 9i2 2 Mq, 使得 x 2 [ i1q + i2q2 ; i1q + i2+1q2 ]; a2 , i2. 这样一直做下去, 9in 2 Mq, 使得 x 2 [ Pn�1 k=1 ak qk + in qn ; Pn�1 k=1 ak qk + in+1qn ]; an , in. � � � 一直做下去. 若记 In = [ Pn�1 k=1 ak qk + inqn ; Pn�1 k=1 ak qk + in+1qn ], 则 I1 � I2 � � � � � In � � � � 且区间长度 jInj = 1qn �! 0; (n �!1). 有闭区间套定理知存在唯一的 y 2 In; n = 1; 2; � � �, 使得 y = limn!1 �Pn�1 k=1 ak qk + inqn � = P1 k=1 ak qk . 注意到 x 2 In; n = 1; 2; � � �, 则有 x = y =P1k=1 akqk ; ak 2Mq. 3. 当 x 为某一个区间的短点时, 表达式不唯一. (一种有限, 一种无限) 设 x =Pn�1k=1 akqk + anqn ,则 x 2 �Pn�1k=1 akqk + inqn ;Pn�1k=1 akqk + in+1qn �且 x 2 �Pn�1k=1 akqk + in�1qn ;Pn�1k=1 akqk + in qn � . 则 x 有两种表达方式: (i)x = Pn k=1 ak qk + P k>n 0 qk = Pn k=1 ak qk . (ii)x = Pn�1 k=1 ak qk + an�1qn + P k>n q�1 qk . � 对于 q{ 进制小数, 有下列事实: 1. (0; 1] 与无限形式的 q{ 进制小数的全体一一对应. 2. 所有有限形式的 q{ 进制小数的集合 E 是可数集. 事实上, 对 8n, 记 En = �Pn k=1 ak qk : ak 2 Mq ; Fn = f(a1; a2; � � �; an) : ak 2 Mq; k = 1; 2; � � �; ng, 则 En � Fn, 而 Fn 的元素个数为 qn. 从而 E = [1n=1En 是可数集. 3. 任意一个无限形式的 q{ 进制小数都唯一对应着一个 q 元素组 (有 Mq 中的数构成的数 组). X k=1 1ak qk = a1 q + a2 q2 + � � �+ an qn + � � �; ak 2Mq: 故 P1k=1 akqk 由 (a1; a2; � � �; an) 唯一确定, 一一对应. 从而集合 f(x1; x2; � � �; xn; � � �) : xi 2Mq; i = 1; 2; � � �g � (0; 1): 特别地, f(x1; x2; � � �; xn; � � �) : xi = 0; 1; i = 1; 2; � � �g � (0; 1). 基数为 c. 4. 考虑二进制小数 x =P1n=1 an2n ; an = 0; 1. 则 x = a1 2 + a2 22 + � � �+ an 2n + � � �; 若把其中的所有为零的项去掉, 则有 x = an1 2n1 + an2 2n2 + � � �+ ank 2nk + � � � = 1 2n1 + 1 2n2 + � � �+ 1 2nk + � � �: 2 从而 x $ (n1; n2; � � �; nk; � � �),fnkg 是 N 的一个子列并且是递增的. 故有所有二进制小数的集 合与所有自然数的单调增加的子列集合对等. 所以, 所有自然数的单调增加的子列集合与 (0; 1) 对等. 进一步, 若记 m1 = n1;m2 = n2 � n1;m3 = n3 � n2; � � �;mk = nk � nk�1; 则 mk 2 N; k � 2 且由 nk 和 nk�1 决定, 从而 fnkg � f(m1;m2 � ��;mk; � � �)g 也就是说, 有自然数推广的数列形成的集合的基数为 c. 推广: 把上面中的 N 换成任何一个可列集, 结论仍然成立. 3