可逆矩阵的判定及求法

第27卷 第3期 2011年 3月 赤 峰 学 院 学 报 (自然 科 学 版 ) Journal of Chffeng University(Natural Science Edition) V01．27 No．3 Mar．201l 可逆矩阵的判定及求法 张爱萍 (吕梁学院 汾阳师范分校数学与科学系，山西 吕梁 032200) 摘 要：在高等代数中，矩阵已成为数学中一个极其重要的应用广泛的的概念，特别是可逆矩阵已成为代数特别是高等 代数的一备主要研究对象，必需深入了解．求逆矩阵的方法有定义法、公式法、初等变换法、分块矩阵求逆法等，本文将提供这 几种方法供大家参考． 关键词：可逆矩阵；定义法；公式法；初等变换法；分块矩阵求逆法 中图分类号：0151．2 文献标识码：A 文章编号：1673—260X(2011)03—0012-02 逆矩阵是矩阵理论中非常重要的概念 ，必须深入理解． 关于逆矩阵的一条基本定理是：方阵A可逆臼lAI≠0，且当 A可逆时，有A-I=牟A ．求逆矩阵的方法有定义法、公式法、 n 初等变换法、分块矩阵求逆法等，其中，初等变换法是求逆 矩阵的基本方法． 1 基本概念与判定、性质 1．1 逆矩阵的定义 对于 n级方阵 A，如果存在 n级方阵 B，使得 AB=BA=E，则称 A是可逆矩阵(可逆的)，称 B为 A的逆矩 阵并记为A一，即A =B． 注 可逆矩阵A必为方阵，其逆必唯一，且 A 与 A为 同阶方阵，即 从 一=A4A=E． 1．2 可逆矩阵的判别 方阵 A可逆甘lAl≠0甘有 B使 AB=E且 A一 =B§有 B 使 BA=E且 A =B 注 当IAI≠0时称 A为非奇异矩阵，否则称 A为奇异 矩阵，因此方阵 A可逆与方阵 A非奇异是等价的概念． 1．3 可逆矩阵的性质 (1)若A可逆，则A 也可逆且(A一 =A； (2)若A可逆，则A 也可逆且(A1) =(A ) (3)若 A可逆，数 ≠0，则 hA也可逆且 A) = A ； (4)若 A，B都可逆，则 AB也可逆且(AB)一 =B一 A～．可推广 为 若 A ，A!，⋯A 均可逆，则A。， ⋯，A 可逆且(A ⋯ = A A-卜l一 ⋯Al-t； (5)若 A可逆，则 IA—q=lAI一1； (6)若A可逆，则 A— = 一 ； 12一 注1 若A，B为同阶的可逆矩阵，则A+B不一定可逆． 如A=[ 】，B=[ 】均可逆，但A+B= 【 j不可逆。 注 2 (4)的逆命成立，即若 AB可逆，则 A，B也可逆． 这是因为：由于 AB可逆，IABI=IAIIBI≠O，有 IAI≠0且 IBI≠0， 所以A，B逆也可． 2 求逆矩阵的求法 2．1 定义法 定义：n级方阵A称为是可逆的，如果存在n级方阵B， 使得 AB=BA=E，且 A-'=B． 这里E是n级单位矩阵． 利用定义，凑的方法，当条件中有矩阵方程时，通过矩 阵运算规律从矩阵方程中凑出AB=E(或BA+E)的形式，从 而可得A—t=B．这一方法适用于抽象矩阵求逆． 例1设A=【 a b】，ad—bc；求 ． 解 因为 lAJ=ad—bc=l≠0 所以 A可逆． 设A的逆矩阵为B=【X wy]，由AB=BA=E，得 ax+bz=xa+ye=l ay+bw=xb+dy=O 。解得： cx+dz=za+we=0 cv+dw=zb+wd=1 所以A-l=B=(一d - b】． 注释：定义法一般适用于求二级，三级可逆方阵的逆矩 阵，级数高的可逆矩阵不采取这种方法．因为矩阵的级数越 大，方程组所含的方程越多，解方程就越困难，由此带来的 计 算 量一 股 是 非 帘 大 肋． 2．2 公式法 当 n级方阵A可逆时 ，有 A-l： A ，(d=IAI≠o)．其中 A a 是 A的伴随矩阵． 例2设A：『 -012 1 1’／求 ． 例2设A=1 0 I，求A一． 【 1 —1 0 J 解A的伴随矩阵A =[ 0 1二1 】，又 =s，所 以由公式A-l=牟A ，得 a A-l= 1 A ： j o } } 0}号 一 一 } 注释：由于计算 A 需计算 n!个 n一1阶行列式，同时还 要计算 ，计算量较大，且容易出错，因此用公式法求矩阵 的逆矩阵一般适用于低阶矩阵或较简单的高阶矩阵，以及 理论问题．例如二级、三级矩阵就适用公式法，四级矩阵用此 法就比较麻烦． 2．3 初等变换法 (1)初等行变换法 因为当n级方阵 A可逆时 ，A可由初等行变换化成单 位矩阵，即 ⋯P A=E． 于是 P ⋯P。E=Aq,这里 P ，⋯P 都是初等矩阵，可见 A =p P l⋯Pl 即有【A，E】_——— (P 。⋯P。A，PsP 。⋯P E)=(E，A。) (2)初等列变换法：仿 1的可得到 (金) 1 E) 设x：[； J，求x～． 解 对下列矩阵始终施行初等行变换： (x )=[ 卜⋯一[ 三 J 故x =[三 】 注释 注意用初等行变换法求 A一一时，对(x；E)只能施 行一系列初等行变换，而不能用初等列变换同理对(含)只 能施行一系列初等列变换，而不能用初等行变换． 2．4 分块求逆法 由于计算和讨论问题的需要 ，在处理大型矩阵时，常常 采用对矩阵分块的方法．因为把矩阵分块，可以使型号大的 矩阵的运算化为型号小的矩阵的运算，即只需把子块当作 元素来进行运算，并按通常矩阵的加(减)法、数乘、乘法等 法则进行运算，这种运算上的抽象性及究竟如何对矩阵进 行分块等问题 ，就使得分块矩阵形成了学习上的一个难点． 特别要注意的是，在做分块的乘法时，应使左矩阵上列的分 块方式与右矩阵上行的分块方式一致．对于某些特殊矩阵， 利用分块矩阵求其逆矩阵，有时是很方便的，比用其他方法 要快，要准确．若遇到以下形式的矩阵，我们可以采取以下方 法． (1)若 A，B均为可逆方阵时，则 『A O 1 f A O 】f O A 1 『O B ] l O B J —l O B ¨ B O J一【A O J’ 『O A 1 『O B 1 【B O J 一【A O J’ (2)一般地 ，若方 阵 A ，A：，⋯，A 均可逆 ，则有 利用以上四种方法都初等行变换能求出可逆矩阵的逆 矩阵，但相对而言，初等行变换法应用起来更方便 ，更简单， 而且不容易出错做 我们在解题过程中一般采取初等行变换 法． 参考文献 ： [1]北 京大学数 学系几何与代数教研 室前代数 小组．高等代 数[M】．北京．高等教育出版社，1978：78—79． [2]王品超．高等代数新方法 【M】．中国矿业大学出版社， 2003：6． [3]李帅正．高等代数解题方法与技窍fM]．高等教育出版社， 2004：2．