数学建模食堂问题

依次以参数为α的泊松过程达到，达到的时间间隔是随机的，服从 2011年高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：2011年 6 月 26 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 关于优化教工自助餐问题的XXX模型 摘要：为了解决清真三楼食堂教工因为长时间排队，而导致不能吃上热饭菜的问题，我们通过分析排队论，建立统计模型、顿力学模型以及多服务台排队模型对不同的打菜方式和和服务方式进行定量分析和系统的，以提高食堂的服务效率和节约教师排队的时间，从而为食堂提供一种有效的管理决策手段。 关键词：排队论；统计模型；顿力学模型；H／H／d模型HH 一、引言 在西北民族大学榆中校区，为了使中午不回家的吃饭教工就餐方便，学校专门在大学生活动中心清真三楼设立了教职工餐点。但是我们经常看到这样的情景：就餐点在12:00开始营业，部分行政人员和没有课的教师开始陆续过来就餐，到中午12:40放学后，就餐的教师逐渐增多，一般在十分钟内到达高峰，在打热菜的地方排起了长队，经常导致不能吃上热菜以及等候了很长的时间。这时，教师通常直接去排队打热菜，由于食堂不能及时添菜，待教师打完热菜后经常发现凉菜和汤已经没有了。但教师若先去凉菜和汤再去排队盛热菜就要排到后面去；而食堂通常将提供的8至9中热菜并列2排排列，一边一个服务员。由于教师上了一上午的课且在高峰时经常排起长队等候服务，所以会经常发生教师埋怨大菜速度慢的情况。虽然说食堂可以通过增加窗口数量来减少教师排队等候的时间，但是这样会导致食堂的运营成本上升。就如何减少教师排队等候的时间和吃上可口的热菜以及减少食堂的运营成本，提高教师的满意度和管理效率的的问题，找到一个合理有效的来解决这个问题是很有必要的。因此，需要解决以下几个方面的问题： 分析确定合理的评价指标体系，用以评价打菜方式和服务方式模型的优劣。 就目前食堂存在的情况，建立起合理统计学模型和顿力学模型进行深入的分析，构建起多服务台排队系统模型，根据就餐的人数来确定打菜的方式和服务方式，并对应用上一问题的指标对模型作出评价。 根据实地调查统计，确定一个就餐人数、就餐时间、食堂热菜数量和服务员人数的变量。怎样建立起更好的合理的打菜方式、减少排队等候的时间和提供更好的服务和高效的管理的统计模型和顿力学模型以及多服务台排队系统模型。对模型的应用给有关部门提出一个合理化的建议。 二、问题的分析 经过考虑和分析得知，很明显这是一个排队模型。解决这个问题的关键在于怎样确定一个评价指标体系，并建立一个什么样的模型来优化解决现有的打菜方式和服务方式的问题。下面我们分别对打菜方式和服务方式这两个问题进行分析。当前教师的打菜方式有两种：一是先排队打完热菜后再去打凉菜和汤水；二是先去盛凉菜和汤水后在去排队盛热菜。主要存在的问题是，若先打热菜，则导致没有凉菜和汤水；反之，先打凉菜和汤水，则会排队到后面去。食堂提供的服务方式是：把几种热菜分并列2排排列，一边一个服务员，这种方式会造成在高峰时教师因排长队等候较长的时间并发生教工的埋怨情况。该怎么样进行排队，怎么样重新排列盛菜的窗口和提供怎么样的服务方式，这些都是我们所要考虑的问题。所以我们考虑是不是可以建立一个既可以减少排队等候时间又能提供更好的打菜方式和服务方式，同时又不增加食堂的运营成本和提高教师的满意度的模型方法来优化教工自助餐的问题。 三.模型构建——多服务台排队系统的数学模型 统计模型、排队论及H／H／d模型。排队论是研究排队系统(又称为随机服务系统)的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支．在日常生活中，人们会遇到各种各样的排队问题。排队问题的表现形式 往往是拥挤现象。排队系统的符号一般形式为：a／b／xIAIBIC。其中：a表示顾客相继到达时间间隔的分布；b表示服务时间的分布；c表示服务台的个数；A表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B表示顾客源的数目：C表示服务规则。排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征；系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。当系统运行一定时问达到平稳状后，对任一个状态 R 来说，单位时问内进入该状态的平均次数和单位时问内离开该状态的平均次数应相等，即系统在统计平衡下“流入=流出”。 据此．可得任一状态下的平衡方程如下： 0:β1p1=α0p0 1:α0p0+β2p2=(α1+β1)p1 2:α1p1+β3p3=(α2+β2)p2 3:α2p2+β4p4=(α3+β3)p3 …… n-2: αn-3pn-3+βn-1pn-1=(αn-2+βn-2)pn-2 n-1: αn-2pn-2+βnpn=(αn-1+βn-1)pn-1 n: αn-1pn-1+βn+1pn+1=(αn+βn)pn 由上述平衡方程，可求得： 平衡状态的分布为：pn=cnp0 (n=1,2,3…) (1) 其中：cn= (n=1,2,3…) (2) 由概率分布的要求： =1 ， 有：[1+ ]p0=1。 于是得：p0= (3) 注意：（3）只有当级数 收敛时才有意义，即当 < 时，才能由上述公式得到平稳状态的概率分布。 H/H/d等待制多服务台模型。设顾客单个到达，相继到达的时间间隔服从参数为α的指数分布，系统中共有x个服务员，每个服务台的服务时fl相互独立，且服从参数为β的指数分布。当顾客到达时，若有空闲的服务台则可以马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待空间为无限。 下面讨论这个排队系统的平稳分布。令：p=p{N =n} (n=O,1，2⋯)为系统达到平稳状态后队长N的概率分布，注意到对个数为x的多服务台系统，有：αn=α (n=0,1,2…)和 βn= 令px=p/x= ,则当p