三棱锥外接球半径的简解通法

三棱锥外接球半径的简解通法 (A)::, 叫B):譬:_.10 所求概率为P(lA)==: ?武增明 5 13. 由上可知,解概率题,搞清概型是关键. .%%|_:一00|誊? 三棱锥外接球半径的简解通法 在高考中,经常涉及三棱锥外接球半径问 题,经探索,此类问题有统一的简单解法,其思 路是构造最简单的几何体正方体或长方体. 一 ,正四面体的外接球半径问题 经过正四面体各个顶点 的球称为正四面体的外接 球.设正四面体的棱长为a, 其外接球的半径为r.如果把 正四面体ABCD补成一个正 方体(图1),那么正四面体的 外接球也是正方体的外接球. .?3×譬=譬,故r=譬. 东 测12謦//ABCDAB2CD2//东卷?理)在等腰梯形\\尹:=1t 点,将AADE与ABEC分别图 (A)(B)q下~'qT (c),丁f6-'lT(D)q~-,lt ? l2? 是l的正四面体,其外接球的半径为,于是其 体积=了4:争,所以选(C 二,直角四面体的外接球半径问题 同一个顶点上的三 条棱两两垂直的四面体 叫做直角四面体.设互相 垂直的三条棱的长分别 是a,b,e,其外接球的半 径为r.如果把直角四面 体ABCD补成一个长方体(图3),那么直角四 面体的外接球也是长方体的外接球,于是2r: ,——————— DE:,,故,:. 例2(zoos年高考福建卷?理15)若三棱 锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为?3,则 其外接球的面积为一 简解:由题设可知,可把三棱锥补成一个正 方体,则其外接球的半径r:,于是其表面积二 S=4,rrr2:9订. 三,双垂四面体的外接球半径问题 四面体A—BCD中:若AB上平面BCD,CD 上平面ACB,则称该四面体为双垂四面体(图 4),设AB=a,BC=b,CD:c,其外接球的半 径为r.如果把该双垂四面体补成一个长方体 (图5),那么该双垂四面体的外接球也是长方 体的外接球,于是2r=AD=,故 ,一?:?—. 2' C 图4 9李海淼 D 图5 D 例3(zoos年高考安徽卷?理15)已知 A,B,C,D在同一个球面上,AB上面BCD,BC 上CD,若A=6,AC=2,AD=8,则B,C 两点间的球面距离是—— 简解:将其补成长方体 (图6),依题意得球心0是 AD的中点,2r=AD=8,于 是r=4,所以BO=OC= 4,因为BC=~/AC2一AB =4,所以~BOC=詈,故,c两点间的球面距 离是詈?r=4了,ff.' 例谈猫巯几伺体在立傩几何【l】的应用 在立体几何中,我们知道,正四面体,长方 体,正方体等是一些特殊的几何体,这些几何体 具有一些一般几何体所没有的性质.在解题过 程中,有时如果能构造出它们的模型,巧妙的利 用它们的性质,可以有助于我们更方便的解决 问题,下面分三类问题进行阐述. 一 ,利用正四露俸来解题 例1由空间一点0 出发的四条射线两两所成 的角相等,求这个角. 解:这道题目我们可以 利用正四面体来解,如图1 正四面体中心0与其四个 顶点连成的射线OA,OB, D cos==一 ?, 所以LAOB=1T—arcc.下1. 所以所求的角大小为1T—arccos_.1 二,利用长方体来解题 例2由球0的 球面上一点P做球的 两两垂直的三条弦,且 PA=.PB=,PC = /l5.求球D的半 径. 图2 Dc,DD两两成的角都相等?设A=8,设该解 :我们可以构造长方体PADB—CEFG, 四面体的高为,则0A=DB=3:3x了口则易知该长方体的对角线就是球0的直径,则 ? l3? )