初中数学竞赛题及答案

初中数学竞赛题及 篇一:最新全国初中数学竞赛及答案 全国初中数学竞赛试题及参考答案 一(选择题(5×7'=35') 1.对正整数n，记n～=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是()( A(0B(1C(3D(5 【分析】n?5时，n～的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C( ?2x?5?x??5??3 2.已知关于x的不等式组?x?3恰好有5个整数解，则t的取值范围是()( ??t?x??2 A.?6?t??11111111 B.?6?t?? C.?6?t?? D.?6?t?? 2222 ?2x?5?x??5??3【分析】??3?2t?x?20，则5个整数解是x?19,18,17,16,15( x?3??t?x??2 注意到x?15时，只有4个整数解(所以 3.已知关于x的方程14?3?2t?15??6?t??112，本题选C 1 xx?2a?2x恰好有一个实根，则实数a的值有()个( ??2x?2xx?2x A(1B(2 C(3 D(4 【分析】xx?2a?2x??2?a?2x2?2x?4，下面先考虑增根: x?2xx?2x 2?)令x?0，则a?4，当a?4时，2x?2x?0,x1?1,x2?0(舍); ?)令x?2，则a?8，当a?8时，2x?2x?4?0,x1??1,x2?2 (舍); 再考虑等根: ?)对2x?2x?4?a?0，??4?8(4?a)?0?a? 故a?4,8, 22771，当a?,x1,2?. 22271，x?1,?1,共3个.本题选C( 22 4.如图，已知?ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在 线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图 中阴影部分的面积为()( A(3 B(4C(5 D(6 【分析】设?ABC底边BC上的高为h，则 h?48481212???BC4CFCFDE， 111S?ADE?S?BDE??DE?h1??DE?h2??DE?(h1?h2)222 2 1112??DE?h??DE??622DE本题选D( 5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是()( 1257A.B. C. D. 491836 11C4?C2?1?182?? 本题选B( 【分析】P?C92369 二(填空题(5×7'=35') (b?2)3的值为 ( 6.设a?，b是a2的小数部分，则 222???27?3,b??2,b?2?9 【分析】考虑到a?3，则a?3?9， (b?2)?()?9 则 7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6(掷这个正方体三次，则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是 ( 【分析】对第一次向上面为1时，后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12种;对于首次掷得向上的面是2，3，4，5，6的，后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有12?6，而总次数是6?6?6次，则其概率为P?12?6?1. 336?6?63 8.已知正整数a、b、c满足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0，则abc的最大值为 ( 【分析】先消去c，再配方估 3 算(6a2?a?b2?16b?2?6(a?121)?(b?8)2?66? 1224 观察易知上式中a?3，故a?1,2,3，经试算，a?1,2时，b均不是整数;当a?3时，b?5,11，于是有(a,b,c)?(3,5,13),(3,11,61)，故abcmax?3?11?61?2013( 9. 实数a、b、c、d满足:一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a、b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c、d，则所有满足条件的数组(a、b、c、d)为 ( 【分析】由根与系数关系知 a?b?c?c?d?a?0?b?d,ab?d,cd?b，然后可得 (a、b、c、d)=(1,-2,1,-2) 本题在化简过程中，总感觉还有，此处仅给出一组，好像不严谨，期待官方答案( 10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，园珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔( 【分析】设4元的卖x支，7元的卖y支，则4x?7y?2013,x?y?350 4x?7y?2013?4x?2012?8y?y?1?x?503?2y? 令y?14 y?1?k?y?4k?1，则x?503?2(4k?1)?k?505?7k，又x?y?350，即4 1?N505?7k?4k?1?350?k?51?k???k?52， 4 y?4k?1?4?52?1?207 3 即他至少卖了207支圆珠笔( 三(解答题(4×20'=80') 11(如图，抛物线y=ax2+bx-3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA(直线y?? 求?DBC-?CBE( 【分析】易知y?x?2x?3?(x?1)?4， 作EF?CA(?1,0),B(3,0)，C(0,?3)，D(1,?4)， O于F，连CE，易知?OBC、?CEF都是等腰直 角三角形，则?CBE是直角三角形(分别在Rt ?OBD、Rt?BCE中运用正切定义，即有221x?1与y轴交于点D，3 tan??OD1CE21?，tan????，则??? OB3BC323 从而可得?DBC-?CBE=45o( 12(如图，已知AB为圆O的直径，C为圆周上一点，D 为线段OB内一点(不是端点)，满足CD?AB，DE?CO，E为垂足，若CE=10，且AD与DB的长均为正整数，求线段AD的长( 【分析】设圆O半径为r，则由相似或三角函数或射影定理可知， 5 DE2?CE?OE?DE2?10(r?10)，又CD2?CE2?DE2?102?10(r?10)?10r 由相交弦定理(考虑垂径时)或连AC、BC用相似 或三角函数，易知 AD?BD?CD2?10r?，而AD?BD?2r? 令AD?x,BD?y，?/?即 xy10ryy??5???1，显然有0?y?x，x?y2rx5 则0?yy?1，即0??1?1?5?y?10，y为x5 正整数，故y?6,7,8,9，又x也为正整数，经逐一 试算，仅当y?6,x?30这一组是正整数，故AD?30. 13(设a、b、c是素数，记x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c，当z?y,x?a、b、c能否构成三角形的三边长,你的结论( 2y?2时， ?y?c?a?b?1??8az2?y?y?z?2a?????z2?z?2a?0?z?【分析】? z?a?b?c2? a、b、c是素数，则a?b?c?z为整数，则?8a?2k?1，k为正整数(化简整理后，有 ?k?1,k?1?2a?1?1?2?a?1(非质数)? k(k?1)?2a?k?2,k?1?a?2?1?3? z??1??8aa?3????z??3,2 2 ?)z?3,y?9,x?9?2?x?25,x?z?2b?b?11,b?17,a?b?3?17?20?17? 6 c不能围成三角形; ?)z?2,y?4,x?16,b?9是合数 综上所述，以a、b、c不能围成三角形( 14(如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”(例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数) (求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，(((，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，(((，an中都至少有一个为m的“魔术数”( 【分析】考虑到魔术数均为7的倍数，又a1，a2，(((，an互不相等，不妨设a1?a2?...?an，余数必为1、2、3、4、5、6，0，设ai?7ki?t，(i?1,2,.,.3., k，至少有一个为m的n;t?0,1,2,3,4,5,6)k“魔术数”(因为ai?10?m(k是m的位数)，是7的倍数，当i?6时，而ai?10除以7的余数都是 0，1，2，3，4，5，6中的6个;当i?7时，而ai?10除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i?7时，依抽屉原理，ai?10与m二者余数的和至少有一个是7，此时kk ai?10k?m被7整除，即n=7( 篇二:2013年全国初中数学竞赛试题及答案 2013年全国初中数学竞赛试题 7 考试时间 2013年3月17日 9:30-11:30 满分150分 答题时注意: 1(用圆珠笔或钢笔作答; 2(解答书写时不要超过装订线; 3(草稿纸不上交( 一、选择题(共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个 选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分) 1(设非零实数a，b，c，满足? ??a，2b+3c,0 ?2a，3b+4c,0? 则 ab+bc+ca ) a+b+c11 (A)—(B)0(C (D)1 22 2(已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个非零实根x1，x2，则下列关于x的 一元二次方程中，以 11 ) ， 8 x1 x2 (A)c2x2+(b2,2ac)x+a2=0 (B)c2x2—(b2,2ac)x+a2=0 (C)c2x2+(b2,2ac)x—a2=0(D)c2x2—(b2,2ac)x—a2=0 3(如图，在Rt?ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD?AB，垂足为D，DE?OC，垂足为E，若AD， DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为( ) ((( (A)OD(B)OE (C)DE(D)AC 4(如图，已知?ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( ) (A)3 (B)4 (C)6 (D)8 第 1 页 共 7 页 3xy+3xy+xy+45 5(对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为:x?y= (x+1)+(y+1)—60且x?y?z=(x?y)?z，则2013?2012???3?2 的值为( )(A) 6071821546316389 (B) (C) (D)967 967 967 967 3223 二、填空题(共5小题，每小题7分，共35分) 6(设a 9 ，b是a2的小数部分，则(b+2)3的值为____________( 7(如图，点D，E分别是?ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知?CDF，?BFE， ?BCF的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD的面积是____________( 8(已知正整数a，b，c满足a+b—2c—2=0，3a—8b+c=0，则abc的最大值为__________( 9(实数a，b，c，d满足:一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a，b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c， d，则所有满足条件的数组(a，b，c，d)为___________________________________( 10(小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元(开始时他有铅笔和圆珠笔共 350支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了__________支圆珠 笔( 2 2 A O D (第3题) (第4题) 10 D C (第7题) 三、解答题(共4题，每题20分，共80分) 11(如图，抛物线y=ax2+bx—3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA， 1 直线y=—2+1与y轴交于点D，求?DBC,?CBE( 3 第 2 页 共 7 页 12(设?ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的?ABC，求?BAC所有可能 的度数( 13(设a，b，c是素数，记x=b+c,a，y=c+a,b，z=a+b,c，当z=y，,=2时，a，b，c能否构 成三角形的三边长,证明你的结论( 14(如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”(例如， 把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数)(求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，?，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，?，an中都至少有一个为m的魔术数( 2 11 2013年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题 1(【答案】A 【解答】由已知得a?b?c?(2a?3b?4c)?(a?2b?3c)?0，故 (a?b?c)?0(于是 ab?bc?ca?? 12 (a?b?c)，所以 2 2 2 2 ab?bc?caa?b?c 2 2 2 ?? 12 ( 2(【答案】B 2 【解答】由于ax?bx?c?0是关于x的一元二次方程，则 12 a?0(因为x1?x2?? ba ，x1x2? ca ， (x?x2)?2x1x2b?2ac11a ???且x1x2?0，所以c?0，且 2?2?1，， 222222 x1x2x1x2cx1x2c 1 1 222 于是根据方程根与系数的关系，以 1x1 2 ， 1x2 2 为两个实根的一元二次方程是x? 2 b?2acc 2 2 13 x? a 2 c ?0， 即cx?(b?2ac)x?a?0( 3(【答案】 D 第 3 页 共 7 页 2222 (第3题) 【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA ,OB,OC, AD?BD 2 是有理数(于是，OD,OA,AD是有理数( OD 2 由Rt?DOE?Rt?COD，知OE? OC ，DE? DC?DOOC 14 都是有 (第3题答题) 理数，而AC 4(【答案】C 【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC( 连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S?DEB = S?DEC， 因此原来阴影部分的面积等于?ACE的面积( 连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S?ACE = S?ACF( 因为BC?4CF，所以S?ABC = 4S?ACF(故阴影部分的面积为6(5(【答案】C 【解答】设2013?2012???4?m，则 (第4题) (第4题答题) ?2013?2012???4??3?m?3 ? 3m?3?3m?9?m?27?45m?3m?3m?1?64?60 3 2 3 2 ?9， 于是?2013?2012???3??2?9?2? 15 3?9?2?3?9?2?9?2?45 10?3?60 3 3 3223 ? 5463967 ( 二、填空题 6(【答案】9 【解答】由于1?a?2?a? 3，故b?a?2?7(【答案】 20413 2 2 ? 2，因此(b?2)3?3?9( 【解答】如图，连接AF，则有: S?AEF?4S?AFDS?AFD?3S?AEF = S?AEF?S?BFE S?AFD 16 S?AFD?S?CDF S?AEF9613 ? BFFDCFFE ? S?BCFS?CDFS?BCFS?BEF ? 5354 ， ????， 解得S?AEF? 10813 ，S?AFD? ( (第7题答题) ( 所以，四边形AEFD的面积是8(【答案】2013 20413 【解答】由已知a?b?2c?2?0，3a?8b?c?0消去c，并整理 得 第 4 页 共 7 页 22 17 ?b?8? 2 2 ?6a?a?66(由a为正整数及6a?a?66，可得1?a?3( 2 若a?1，则?b?8??59，无正整数解; 若a?2，则?b?8??40，无正整数解; 若a?3，则?b?8??9，于是可解得b?11，b?5( (i)若b?11，则c?61，从而可得abc?3?11?61?2013; (ii)若b?5，则c?13，从而可得abc?3?5?13?195( 综上知abc的最大值为2013( 9( 【答案】(1，?2，，1?2)，(t，0，?t，0)(t为任意实数) ?a?b??c， ??ab?d， 【解答】由韦达定理得? c?d??a，???cd?b( 2 2 2 由上式，可知b??a?c?d( 若b?d?0，则a? db ?1，c? 18 bd ?1，进而b?d??a?c??2( 若b?d?0，则c??a，有(a，( b，c，d)?(t，0，?t，0)(t为任意实数)经检验，数组(1，?2，，1?2)与(t，0，?t，0)(t为任意实数)满足条件( 10(【答案】207 【解答】设x，y分别示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则?所以x?于是 2013?7y 4 ?(503?2y)? y?14 ?4x?7y?2013， x?y?350，? ， y?14 是整数(又2013?4(x?y)?3y?4?350?3y， 所以y?204，故y的最小值为207，此时x?141( 三、解答题 11(如图，抛物线y?ax?bx?3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB,OC,3OA(直线y?? 求?DBC??CBE( 19 【解答】将x?0分别代入y??1)，C(0，?3)， 第 5 页 共 7 页 2 13 x?1与y轴交于点D( 13 x?1，y?ax?bx?3知，D(0， 2 (第11题) 篇三:2015年全国初中数学竞赛试题及答案 20