【doc】对称矩阵和谐的外在美和内在美

【doc】对称矩阵和谐的外在美和内在美 对称矩阵和谐的外在美和内在美 高等理科教育2004年第2期(总第54期) 对称矩阵和谐的外在美和内在美 刘学鹏 (临沂师范学院数学系山东临沂276005) 摘要潘懋元先生的”新编高等教育学”,使得笔者对高等数学美学研究产生了浓厚的兴趣, 本文就对称矩阵的外在美和内在美进行了研究,其结果令人赏心悦目. 关键词数学美学外在美内在美对称矩阵对角形矩阵 中图分类号G642.4文献标识码A “嘤其鸣矣,求其友声”.笔者曾在《现代大学教育》(2002第四期)发了”向量空间中欢呼 跳跃的美学因素”一文,目的是能够使得尽可能多的高等学校教师从事高等数学美学研究,这是 因为理工科的诸如高等代数或线性代数等课程,它们的枯燥无味,从某种程度上讲是不可回避的 现实,我们若能从美学角度将一些重要的知识点进行研究和探讨,这无疑对我们的教学将大有益 处,同时对初学者也是一个方向性的指导. 的确,目前的数学美学研究大都局限于或侧重于初等数学的范畴,重视初等数学美的探讨固 然重要,而高等数学美学研究几乎是一片空白,这样也好,因空白容易绿树成荫,进而硕果累累. 现在我们就对称矩阵展开美学研究. 一 ,对称矩阵的外在美 潘懋元先生讲得好:”外在美偏重于形式,有一定的内容”,而对称矩阵是满足这个条件的,所谓 对称矩阵A是指它的元素满足a一的”阶方阵 d11d12……d1 “H&22……d2,l /1一 …… d”1d,l2……&} 对称矩阵美吗?美在何处? 首先,任何事物的对称本身就已有了美的神韵,总给人一种回味无穷的超级享受,对称矩阵它 有一条天然的对称轴(主对角线),以对称轴翻转,再翻转,……,这个过程即便是无限的下去,她也 是”容颜??不变,永不”褪色”,当我们把对称矩阵人格化之后,其内在的美或内容的美也便略见端 倪. 二,对称矩阵的内在美 对称矩阵的内在美,我们还是先用潘懋元先生的话加以概括:”内在美偏重于内容,有一定的形 式”.大凡任何事物,只要提及美,其内在美应是主要的,这是因为内在美可以弥补外在美的不足?而 品刘200学3鹏--.6(091952一)男.山东I临沂人.教授.主要从事高等代数,线性代数教学研究以及数学美学研究作者简介刘学鹏(一)男.山东I临沂人.教授.主要从事高等代数,线性代数教学研究以及数学芙字钎蔸 一 80— 高等理科教育对称矩阵和谐的外在美和内在美 外在美对内在美来说可以起到”锦上添花”之效.我们这里所论及的对称矩阵的内在美是就它的特 有性质而言的.对称矩阵特有的性质是完全可以作为它的内在美的因素.现在我们多侧面的研究对 称矩阵的内在美. 内在美之一:当阶方阵,一,均为对称矩阵时,它们的任意线性组合 1A1+a2A2+…十日A 仍为对称矩阵,这里?F(F为数域,一1,2,…,5). 这时,我们该如何理解对称矩阵的内在美?我们站在数学美学角度来定位,这恰是”一美俱美”, 从而产生了”百花盛开春满园”的艺术效应. 内在美之二:当为实对称矩阵时,它不仅于对角形矩阵,而且也相似于对角形矩阵,即有 正交矩阵Q,使得 ] QQ—QQ一}:B 其中,,.,…,,为的全部特征根. 这时,对称矩阵正含笑等待我们刻划它这方面的内在美. 是的,美的东西是需要加以描绘的,这种描绘要通过我们的想象和创造,将其实质性的内容展 现为一幅美丽的画卷或一部美妙的乐章. 由(1)我们知道,实对称矩阵正交相似于对角形矩阵B,而相似的矩阵是有许多共性的,即对 称矩阵和对角形矩阵B有许多的共性,它们比较突出的共性有:1)与B有相同的秩,显然,求B 的秩太简单了;2)与B有相同的行列式,且与B有相同的特征多项式,从而有相同的特征根.即 f,A{一{E—B一(l一)(—2)…(,);3)与B有相同的最小多项式,即(z) 一 ();4)与B有相同的行列式因子,不变因子以及初等因子;5)与B的特 征矩阵E—A与 E—B有相同的标准形;6)与B是维线性空间中间一个线性变换在两个基下的矩阵. 两个相似的矩阵其共性是相当多的,由于实对称矩阵总能相似于对角形矩阵,对角形矩阵是更 为完美的矩阵,它的外在美是”形式简单美”,它的内在美及其一切特性几乎均显而易见.一旦人们 掌握了其特性,便会不自觉的陶醉.于是,对称矩阵由于它的这一”亲密伙伴(对角形矩阵)”.便自然 变得异常迷人,但却不能忘记,正是由于对称性,才使得它有了这个”亲密伙伴”. 三,外在美与内在美的和谐 我们这里所论及的对称矩阵外在美与内在美的和谐,主要是利用内在美解决有关的实际问题, 外在美用以衬托内在美,宛若绿叶衬映鲜花,突出展现了内在美的优越性 典型问题:若,B都是阶实对称矩阵,且AB—BA那么,存在阶正交矩阵Q,使得QAQ 与QBQ同时为对角形矩阵. 我们用内在美之二给出结论的证明.然后再剖析外在美与内在美的和谐. 证明:由内在美之二知,当为实对称矩阵时,有正交矩阵Q,使得QAQ, 为对角形矩阵,为 E 1.E. 方便,令QQ一. E 其中,,,…,互不相同,Ei(一1,2,…,5)为,阶单位矩阵,且十z十……士一”. 从而,Q1AQ1Q1BQl—QlABQl—QlBAQl 一 81一. 高等理科教育2004年第2期(总第54期) 一 Q1BQ1QlAQl 可见,QAQ与QQ可换,而QAQ为对角形矩阵 则QlBQ1一 Bi? B: ? ? „j B 又易知QBQ为实对称矩阵,则,B??B,也都是实对称矩阵,则又有正交 矩阵P( 2,…,)使得P,B,P,为对角形矩阵,取 则易证得Q为正交矩阵,且 QQ— QBQ: Pl Q—Q- P1 P]? . Pi\ :jQ?lAQP?2. P.LPi E_尸 }P?2jj22E2 J.?.?jl PE—l 尸1l p.jP :;QBQ. PP _尸 』P... LP r尸 ? . B? E 2zEz — l.. P:日j Pj?Bj 所以,QQ与QBQ同时对角形矩阵(证完) 那么,对称矩阵的外在美与内在美如何和谐? 如文章一开始所谈到的,对对称矩阵无论怎么翻转(以主对角线为轴),其形状都不会改变,用 数学语言形容,即是其转置永远为自身,上面问题的证明,从始至终都没有离开对称性,而从始至终 都是以对称性为”主旋律”,在”主旋律”不时”回响”的过程中,利用它的内在美——对称矩阵正交 相似于对角形矩阵,再人为地加工润色,便使得”内在美”和”外在美”交相辉映,”内在美”含笑,”外 在美”弄俏.这是一种相互”依恋”的关系,这种相互依恋的关系,不是非常之和谐吗? 参考文献: [1]潘懋元等.新编高等教育学M].北京:北师大出版社,l996. [2]北京大学编.高等代数[M].北京:高教出版社,l988(第二版). [3]刘学鹏.向量空间中欢呼跳跃的美学因素[J].现代大学教育,2002[4]:93,94