菁优网试题

菁优网 如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，抛物线交y轴于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．直线y=x﹣1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q． （1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少； （3）设E为线段OC上的三等分点，连接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标． 考点： 二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；两点间的距离；等腰三角形的判定．1130352 ： （1）直接利用待定系数法将A、B、C的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）就可以求出抛物线的解析式． （2）根据抛物线的解析式和直线的解析式及PQ⊥x轴可以设出P点的横坐标，从而可以表示出P、Q的坐标，再利用P、Q的纵坐标之差表示出PQ的长，最后利用抛物线的最值就可以求出PQ的值及P点的坐标． （3）由条件求出E点的坐标，再由条件表示出P、Q的坐标，然后根据两点间的距离公式就可以分情况求出点P的坐标． 解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，3），由题意，得 ， 解得： ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3， ∴y=﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）； （2）∵PQ⊥x轴， ∴P、Q的横坐标相同， ∵P点在直线y=x﹣1上，设P（a，a﹣1），则Q（a，﹣a2+2a+3）， ∴PQ=﹣a2+2a+3﹣a+1=﹣a2+a+4， ∴PQ=﹣（a﹣）2+， ∴当a=时，线段PQ最长为，则P点坐标为（，﹣）； （3）∵E为线段OC上的三等分点，且OC=3， ∴E（0，1）或E（0，2）， 设P（p，p﹣1）（在y=x﹣1上），则Q（p，﹣p2+2p+3）． 当E（0，1）时， ∵EP=EQ， ∴（p﹣0）2+（p﹣1﹣1）2=（p﹣0）2+（﹣p2+2p+3﹣1）2， ∴p2+（p﹣2）2=p2+（p2﹣2p﹣2）2， （p﹣2）2=（p2﹣2p﹣2）2， ①当 p2﹣2p﹣2=p﹣2时， ∴p（p﹣3）=0， ∴p=0或3， 当p=0，P（0，﹣1），Q（0，3）， 当p=3，P（3，2），Q（3，0）， 过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q． ∵直线y=x﹣1交抛物线于点M、N两点， ∴x﹣1=﹣x2+2x+3， 解得：x1=，x2=， M的横坐标为，N点的横坐标为， ∴P点横坐标：大于等于小于等于， ∴P（3，2），Q（3，0）不符合要求舍去； ②p2﹣2p﹣2=﹣p+2， 整理得：p2﹣p﹣4=0， 解得：P1=，p2=， ∵直线y=x﹣1交抛物线于点M、N两点， ∴x﹣1=﹣x2+2x+3， 解得：x1=，x2=， M的横坐标为，N点的横坐标为， ∵过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q． ∴P点横坐标：大于等于小于等于， 当E（0，2）时， ∵EP=EQ， ∴（p﹣0）2+（p﹣1﹣2）2=（p﹣0）2+（﹣p2+2p+3﹣2）2， p2+（p﹣3）2=p2+（p2﹣2p﹣1）2， ∴（p﹣3）2=（p2﹣2p﹣1）2． ③当 p2﹣2p﹣1=p﹣3时， ∴（p﹣1）（p﹣2）=0 ∴p=1或2． 当p=1时，P（1，0），Q（1，4） 当p=2时，P（2，1），Q（2，3） ④p2﹣2p﹣1=﹣p+3 p2﹣p﹣4=0， 解得：P1=＜﹣1，p2=＞2， P（，）或（）． 综上所述，P点的坐标为：P（0，﹣1），P（1，0），P（2，1），P（，）或（）． ∵点P在线段MN上， ∴P点的坐标为：P（0，﹣1），P（1，0），P（2，1）． 点评： 本题是一道二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的判定及性质，两点间的距离公式的运用，二次函数最值的运用．