十字相乘及双十字相乘

十字相乘及双十字相乘 十字相乘法概念 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 例题 例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析:先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数): 2,1×2,2×1; 分解常数项: 3=1×3=1×3==(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 1 1 ? 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ? 2 1 1×1+2×3 =7 1 -1 ? 2 -3 1×(-3)+2×(-1)=-5 1 -3 ? 2 -1 1×(-1)+2×(-3)=-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数,7. 解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1). 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a?0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下: a1 c1 ? a2 c2 a1a2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 例2: 把6x^2-7x-5分解因式. 分析:按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 ? 3 -5 2×(-5)+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5). 指出:通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 ? 1 5 1×5+1×(-3)=2 所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5). 例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式. 分析:这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 ? 5 -4 1×(-4)+5×2=6 解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y). 指出:原式分解为两个关于x，y的一次式. 例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析:这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解. 问:两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答:第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 =2(x-y) ^2-3(x-y)-2 =[(x-y)-2][2(x-y)+1] =(x-y-2)(2x-2y+1). 1 -2 ? 2 1 1×1+2×(-2)=,3 指出:把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法. 例5 x^2+2x-15 分析:常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。=(x-3)(x+5) : ?x^2，(p+q)x，pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解: x^2，(p+q)x，pq,(x，p)(x，q) ?kx^2，mx，n型的式子的因式分解 如果能够分解成k,ac，n,bd，且有ad，bc,m 时，那么 kx^2，mx，n,(ax+b)(cx+d) a b ? c d 通俗方法 先将二次项分解成(1 X 二次项系数)，将常数项分解成(1 X 常数项)然后以下面的格式写 1 1X 二次项系数 常数项 若交叉相乘后数值等于一次项系数则成立 ，不相等就要按照以下的方法进行试验。(一般的题很简单，最多3次就可以算出正确答案。) 需要多次实验的格式为:(注意:此时的abcd不是指(ax^2+bx+c)里面的系数，而且abcd最好为整数) a b ? c d 第一次a=1 b=1 c=二次项系数?a d=常数项?b 第二次a=1 b=2 c=二次项系数?a d=常数项?b 第三次a=2 b=1 c=二次项系数?a d=常数项?b 第四次a=2 b=2 c=二次项系数?a d=常数项?b 第五次a=2 b=3 c=二次项系数?a d=常数项?b 第六次a=3 b=2 c=二次项系数?a d=常数项?b 第七次a=3 b=3 c=二次项系数?a d=常数项?b ...... 依此类推 直到(ad+cb=一次项系数)为止。最终的结果格式为(ax+b)(cx+d) 例解: 2x^2+7x+6 第一次: 1 1 ? 2 6 1X6+2X1=8 8>7 不成立 继续试 第二次 1 2 ? 2 3 1X3+2X2=7 所以 分解后为:(x+2)(2x+3) 可以说十字相乘法是一种很方便有效地方法,掌握了它能对我们学习因式分 解更有帮助. 用十字相乘法分解因式: (1)2x2,5x,12; (2)3x2,5x,2; (3)6x2,13x+5; (4)7x2,19x,6; (5)12x2,13x+3; (6)4x2+24x+27. (7)6x2,13xy+6y2; (8)8x2y2+6xy,35; (9)18x2,21xy+5y2; (10)2(a+b) 2+(a+b)(a,b),6(a,b) (11)2x2+3x+1; (12)2y2+y,6; (13)6x2,13x+6; (14)3a2,7a,6; (15)6x2,11xy+3y2; (16)4m2+8mn+3n2; (17)10x2,21xy+2y2; (18)8m2,22mn+15n (19)4n2+4n,15; (20)6a2+a,35; (21)5x2,8x,13; (22)4x2+15x+9 (23)15x2+x,2; (24)6y2+19y+10; (25)20,9y,20y2; (26)7(x,1)2+4(x,1)(y+2),20(y+2) 双十字相乘法 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法(对于某些二元二次六项式 22(ax+bxy+cy+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式( 例如: 22分解因式2x-7xy-22y-5x+35y-3(我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为 222x-(5+7y)x-(22y-35y+3)， 可以看作是关于x的二次三项式( 对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 即 2-22y+35y-3=(2y-3)(-11y+1)( 再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解 所以原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕 =(x+2y-3)(2x-11y+1)( 上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法(如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，它表示的是下面三个关系式: 22(x+2y)(2x-11y)=2x-7xy-22y; 2(x-3)(2x+1)=2x-5x-3; 2(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3( 这就是所谓的双十字相乘法( 22用双十字相乘法对多项式ax+bxy+cy+dx+ey+f进行因式分解的步骤是: 22(1)用十字相乘法分解ax+bxy+cy，得到一个十字相乘图(有两列); (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx( 例1 分解因式 22(1)x-3xy-10y+x+9y-2; 22(2)x-y+5x+3y+4; 2(3)xy+y+x-y-2; 222(4)6x-7xy-3y-xz+7yz-2z( 解: (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)( (2)原式=(x+y+1)(x-y+4)( (3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解(原式=(y+1)(x+y-2)( (4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)( 说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似( 2(求根法 我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示( 如对上面的多项式f(x)，f(1)=12-3×1+2=0;f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12(若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根( 定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a( 根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根(对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根(