2018年北师大版高中数学选修2-2同步优化指导第3章2.2最大值、最小值问题活页作业14

2018年北师大版高中数学选修2-2同步优化指导第3章2.2最大值、最小值问题活页作业14 北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案 活页作业(十四)　最大值、最小值问题 1．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为 A．－ C．－ 解析：对y求导得y′＝－2x－2.令y′＝0，得x＝－1. 当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意． 当－10； 当00，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)， 令y′＝0，解得x＝9. ∴x∈(0,9)时，y′>0；x∈(9，＋∞)时，y′0； 当1

北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案 活页作业(十四)　最大值、最小值问题 1．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为 A．－ C．－ 解析：对y求导得y′＝－2x－2.令y′＝0，得x＝－1. 当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意． 当－10； 当00，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)， 令y′＝0，解得x＝9. ∴x∈(0,9)时，y′>0；x∈(9，＋∞)时，y′<0. ∴x＝9时函数取得最大值． 答案：C 5．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为(　　) A．2 m3 B．3 m3 C．4 m3 D．5 m3 解析：设长方体的宽为x m， 则长为2x m，高为h＝(4.5－3x)m ∴长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝ 9x2－6x3 ∴V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)． 令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)． 当00； 当10，得x>2或x<－2； 由f′(x)<0，得－2x，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－ln x－x， f′(x)＝ 当x∈(0,1)时，f′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. ∴f(x)的最小值为f(1)＝0. (2)由f(x)>x， 得f (x)－x＝x2－ln x－(a＋1)x>0. ∵x>0，∴f(x)>x等价于x－ 令g(x)＝x－ 当x∈(0,1)时，g′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0. ∴g(x)有最小值g(1)＝1. ∴a＋1<1，即a的取值范围是(－∞，0)． 10．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000 m2，该中心每块球场的建设面积为1 000 m2，球场每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800 解：设建成x个球场，则1≤x≤10，每平方米的购地费用为 ∵每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800 ∴每平方米的综合费用为g(x)＝f(x)＋ ∴g′(x)＝ 令g′(x)＝0，则x＝8. 当08时，g′(x)>0. ∴当x＝8时，函数取得极小值，且为最小值． 故当建成8块球场时，每平方米的综合费用最省． 11．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(t)与每吨产品的价格P(元/t)之间的关系式为P＝24 200－ A．100 B．160 C．200 D．240 解析：根据题意，列出函数关系式，求导求解． 每月生产x t时的利润为 f(x)＝ － 令f′(x)＝－ 解得x1＝200，x2＝－200(舍去)． ∵f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0， ∴它就是最大值点，且最大值为 f(200)＝－ ∴每月生产200 t产品时利润达到最大，最大利润为315万元． 答案：C 12．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时用料最省． 解析：设方底无盖水箱的底面边长为a，高为h， 则V＝a2h＝256，即h＝ 用料最省，即表面积最小，由题意列式如下： S表＝S底＋S侧＝a2＋4ah＝a2＋4a S′＝2a－ 令S′＝0，即2a－ 当08时，S′>0. ∴当a＝8时，S表取得极小值，也是最小值． ∴h＝ 答案：4 13．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值为________，最小值为________． 解析：∵f′(x)＝－36＋6x＋12x2， 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 当x> 当－2≤x≤ ∴在[－2，＋∞)上无最大值． 又f ∴最小值为－28 答案：不存在　－28 14．函数f(x)＝ 解析：f′(x)＝－ 又f(－6)＝8，f(0)＝10，f(8)＝6. ∴f(x)min＝6，f(x)max＝10. 答案：10　6 15．已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每销售1千件的收入为R(x)万元，且R(x)＝ (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？ 解：(1)当010时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝ 98－ ∴W＝ (2)当00；x∈(9,10)时，W′<0. ∴当x＝9时，W取极大值，也是最大值， 且Wmax＝8.1×9－ 当x>10时，令W′＝ 当x∈ 当x∈ ∴当x＝ 且Wmax＝98－ 综上可知，x＝9时，W有最大值38.6，即年产量为9千件时，该公司所获年利润最大． 16．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx. (1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． 解：(1)由(1，c)为公共切点，f(x)＝ax2＋1(a>0)，则f′(x)＝2ax，k1＝2a，g(x)＝x3＋bx，g′(x)＝3x2＋b，k2＝3＋b.∴2a＝3＋b.① 又f(1)＝a＋1，g(1)＝1＋b， ∴a＋1＝1＋b，即a＝b，代入①式可得 (2)∵a2＝4b， ∴设h(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋ ∴h′(x)＝3x2＋2ax＋ 令h′(x)＝0，解得x1＝－ ∵a>0，∴－ ∴原函数在 ①当－1≤－ ②当－ ③当－1≥－ 综上所述：当a∈(0,2]时，最大值为h(－1)＝a－ PAGE 1

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