高三复习金装版数列

【备战2014高考专题讲座】——数列 数列是高考数学的必考内容，全考查的比重不小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与数和导数、三角函数、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点和难点。 从解题思想的规律着眼，高考数学中主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用等。 从题型的角度，高考中数列问题主要有以下几种： 　　1. 等差、等比数列的相关知识； 2. 裂项相消法的运用： 3. 累加累乘法的运用： 4. 错位相减法的运用： 5. 周期（循环）数列（扩展）的运用： 6. 数列构造的应用； 7. 数列与函数（方程）的综合应用； 8. 数列与其他知识的综合应用。 结合12-13两年全国各地高考的实例，我们从以上八方面探讨数列问题的求解。 一、等差、等比数列的相关知识：包括等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式或可直接转化为等差、等比数列的数列。 典型例题： 例1. 在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=【 】 (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 例2.已知为等比数列， ，，则【 】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 例3.设等差数列 的前 项和为 ,则 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 例4.设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则= . 例5.已知 为等比数列，下面结论中正确的是【 】 A. B. C.若a1=a3，则a1=a2 D.若a3＞a1，则a4＞a2 例6.下面是关于公差 的等差数列 的四个命题: 其中的真命题为 (A) (B) (C) (D) 例7. 已知数列 的前 项和为 ， 则 =【 】 A. B. C. D. 例8.等比数列 的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q= ▲ 例9. 观察下列等式: 照此规律, 第n个等式可为_______. 例10.等比数列 的前 项和为 ，公比不为1。若 ，且对任意的 都有 ，则 = ▲ 。 例11.设公比为 的等比数列 的前 项和为 ．若 ， ，则 ▲ ． 例12.已知等比数列｛an｝为递增数列，且 ，则数列｛an｝的通项公式an = ▲ 。 例13.已知等差数列的前5项和为105，且 . (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)对任意 ，将数列中不大于 的项的个数记为 .求数列 的前m项和 . 例14.设为数列的前项和，，，其中是常数． （I） 求及； （II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值． 例15.已知等差数列 前三项的和为-3，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列 的通项公式； （II）若 成等比数列，求数列 的前n项的和。 例16.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. （Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出 与an的关系式； （Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）. 例17.已知 EMBED Equation.DSMT4 为等差数列，且 （Ⅰ）求数列 的通项公式（6分）； （Ⅱ）记 的前 项和为 ，若 成等比数列，求正整数 的值（7分）。 例18.设 的公比不为1的等比数列，其前 项和为 ，且 成等差数列. （1）求数列 的公比； （2）：对任意 ， 成等差数列. 二、裂项相消法的运用：裂项相消法是把一个数列分成几个可直接求和的数列（等差、等比数列），适用于其中{ }是各项不为0的数列，c为常数。 典型例题： 例1.已知等差数列 的前项和为 ，则数列 的前100项和为【 】 A． B． C． D． 例2.正项数列{an}的前项和{an}满足: (1)求数列{an}的通项公式an; (2)令 ,数列{bn}的前 项和为 .证明:对于任意的 ,都有 例3.在等差数列 中， 。 （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）对任意m∈N﹡，将数列 中落入区间 内的项的个数记为 ，求数列 的前m项和 。 三、累加累乘法的运用：累乘法是利用恒等式 求通项的方法，适用于 的递推 数列通项公式，其中 可求前 积。累加法类似。 典型例题： 例1.在数列中， （I）设，求数列的通项公式 （II）求数列的前项和 例2.已知数列{ }中， =1，前n项和 ． （1）求 ， （2）求{ }的通项公式。 四、错位相减法的运用：错位相减法是一种常用的数列求和方法， 形如的数列，其中{}为等差数列，为等比数列；分别列出 ，再把所有式子同时乘以等比数列的公比 ，即 ；然后错一位，两式相减即可。适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。 典型例题： 例1. 设等差数列 的前n项和为 ,且 , . (Ⅰ)求数列 的通项公式; (Ⅱ)设数列 前n项和为 ,且 ( 为常数).令 EMBED Equation.DSMT4 .求数列 的前n项和 . 例2.已知数列 的前 项和 （其中 ），且 的最大值为 。 （1）确定常数 ，并求 ； （2）求数列 的前 项和 。 五、周期（循环）数列（扩展）的运用：对于数列{An}，如果存在一个常数T,对于任意整数n>N，使得对任意的正整数恒有Ai=A(i+T)成立，则称数列{An}是从第n项起的周期为T的周期数列。 典型例题： 例1.已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例2.对于 ，将n表示为 ,当 时 ，当 时 为0或1，定义 如下：在 的上述表示中，当 ，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.[中国教#*育&出版^网@] （1）b2+b4+b6+b8=　　▲　　.； （2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是　　▲　　.. 六、数列构造的应用：所谓数列的构造，是指某些复杂的等差等比形式。 典型例题： 例1.已知数列满足， . 令，证明：是等比数列； (Ⅱ)求的通项公式。 例2.设数列的前项和为 已知 （I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。 例3.设，，，，则数列的通项公式= ． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例4.设数列 的前n项和为Sn，满足 且 成等差数列。 （1）求a1的值；（2）求数列 的通项公式。（3）证明：对一切正整数n，有 . 例5.设数列 的前 项和为 .已知 , , . (Ⅰ) 求 的值; (Ⅱ) 求数列 的通项公式; 例6.在数列 中， ， ， ． （Ⅰ）证明数列 是等比数列； （Ⅱ）求数列 的前 项和 ； （Ⅲ）证明不等式 ，对任意 皆成立． 七、数列与函数（方程）的综合应用：数列与函数的结合，利用函数的性质体现数列的变化。 典型例题： 例1.设 满足 ，且 ，则 =__________ 例2.已知数列 的通项公式 ， ，则 的最大值为__________ 例3.设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。 （1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。 例4.公比为 等比数列 的各项都是正数，且 ，则 【 】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 例5.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数 ，如果对于任意给定的等比数列 ， 仍是等比数列，则称 为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：① ；② ；③ ；④ 。 则其中是“保等比数列函数”的 的序号为【 】 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 例6. 观察下列事实 的不同整数解 的个数为4 ， 的不同整数解 的个数为8， 的不同整数解 的个数为12 ….则 的不同整数解 的个数为【 】 A.76 　 B.80 　 C.86 　 D.92 例7.已知 ，各项均为正数的数列 满足 ， ，若 ，则 的值是 ▲ 例8.已知数列 的前 项和为 ，且 对一切正整数 都成立。 （Ⅰ）求 ， 的值； （Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，当 为何值时， 最大？并求出 的最大值。 八、数列与其他知识的综合应用： 典型例题： 例1.函数 的图像如图所示,在区间 上可找到 个不同 的数 使得 则 的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 例2.设函数 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 . （Ⅰ）求数列 ； （Ⅱ）设 的前 项和为 ，求 。 例3. 中，内角 、 、 成等差数列，其对边 、 、 满足 ，求A． 例4.在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数 列。 (Ⅰ)求 的值； (Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求 的值。 例5.如图,互不-相同的点 和 分别在角O的两条边上,所有 相互平行,且所有梯形 的面积均相等.设 若 则数列 的通项公式是______. 例6.在数列 中， ，其中 ．求数列 的通项公式。 _1400830602.unknown _1417615490.unknown _1432147315.unknown _1432363596.unknown _1432363718.unknown _1432363891.unknown _1432794286.unknown _1432794362.unknown _1435426541.unknown _1435426630.unknown _1432794295.unknown _1432794271.unknown _1432363889.unknown _1432363890.unknown _1432363741.unknown _1432363888.unknown _1432363641.unknown _1432363694.unknown _1432363612.unknown _1432149859.unknown _1432192903.unknown _1432193075.unknown _1432193185.unknown _1432193223.unknown _1432193109.unknown _1432193029.unknown _1432149860.unknown _1432149857.unknown _1432149858.unknown _1432147332.unknown _1432147367.unknown _1432147400.unknown _1432147341.unknown _1432147322.unknown _1432140341.unknown _1432140635.unknown _1432140685.unknown _1432147307.unknown _1432140702.unknown _1432140669.unknown _1432140556.unknown _1432140576.unknown _1432140451.unknown _1432133248.unknown _1432140250.unknown _1432140290.unknown _1432133378.unknown _1432133482.unknown _1432133481.unknown _1432133278.unknown _1432133016.unknown _1432133190.unknown _1417615655.unknown _1417615620.unknown _1401196674.unknown _1416204461.unknown _1416226280.unknown _1416226353.unknown _1417589427.unknown _1417615382.unknown _1417589367.unknown _1417589402.unknown _1416226336.unknown _1416226165.unknown _1416226208.unknown _1416226244.unknown _1416226201.unknown _1416204542.unknown _1416204556.unknown _1416204508.unknown _1416204521.unknown _1416204493.unknown _1401292569.unknown _1401292625.unknown _1416121189.unknown _1401292600.unknown _1401292525.unknown _1401292544.unknown _1401196698.unknown _1401020760.unknown _1401183965.unknown _1401184060.unknown _1401184095.unknown _1401184150.unknown _1401184183.unknown _1401196614.unknown _1401184175.unknown _1401184106.unknown _1401184084.unknown _1401184015.unknown _1401184049.unknown _1401183972.unknown _1401040434.unknown _1401068401.unknown _1401068423.unknown _1401068457.unknown _1401068469.unknown _1401068447.unknown _1401068411.unknown _1401068370.unknown _1401040355.unknown _1401040388.unknown _1401020783.unknown _1401040316.unknown _1401020784.unknown _1401020782.unknown _1400983906.unknown _1400984088.unknown _1401017936.unknown _1401017965.unknown _1401017980.unknown _1401017952.unknown _1400984117.unknown _1400984140.unknown _1400983975.unknown _1400984068.unknown _1400983939.unknown _1400858020.unknown _1400858303.unknown _1400858320.unknown _1400858746.unknown _1400858081.unknown _1400858173.unknown _1400858287.unknown _1400858128.unknown _1400858038.unknown _1400830671.unknown _1400830692.unknown _1400830653.unknown _1400676415.unknown _1400700309.unknown _1400791928.unknown _1400817659.unknown _1400827314.unknown _1400827393.unknown _1400827151.unknown _1400791979.unknown _1400792024.unknown _1400815205.unknown _1400792003.unknown _1400791950.unknown _1400758446.unknown _1400758540.unknown _1400758542.unknown _1400791904.unknown _1400758541.unknown _1400758502.unknown _1400758539.unknown _1400758530.unknown _1400758500.unknown _1400758501.unknown _1400758499.unknown _1400700442.unknown _1400757844.unknown _1400757849.unknown _1400757839.unknown _1400700350.unknown _1400700424.unknown _1400700321.unknown _1400694883.unknown _1400695006.unknown _1400695100.unknown _1400695181.unknown _1400700261.unknown _1400695135.unknown _1400695059.unknown _1400694917.unknown _1400686081.unknown _1400694591.unknown _1400685903.unknown _1400686024.unknown _1400685857.unknown _1400595348.unknown _1400605304.unknown _1400618456.unknown _1400676329.unknown _1400676338.unknown _1400676347.unknown _1400676334.unknown _1400657152.unknown _1400657195.unknown _1400657115.unknown _1400618472.unknown _1400608959.unknown _1400609212.unknown _1400618433.unknown _1400609062.unknown _1400608933.unknown _1400604592.unknown _1400605302.unknown _1400605303.unknown _1400605257.unknown _1400605264.unknown _1400605238.unknown _1400604994.unknown _1400604579.unknown _1400604585.unknown _1400600954.unknown _1400604536.unknown _1400601121.unknown _1400600931.unknown _1234568101.unknown _1234568128.unknown _1242885849.unknown _1367069189.unknown _1400595329.unknown _1400595340.unknown _1400595318.unknown _1242887012.unknown _1367069132.unknown _1242887065.unknown _1242887005.unknown _1242885794.unknown _1242885820.unknown _1242885826.unknown _1242885676.unknown _1242885681.unknown _1242885768.unknown _1242885669.unknown _1234568103.unknown _1234568104.unknown _1234568105.unknown _1234568102.unknown _1234567958.unknown _1234567962.unknown _1234567966.unknown _1234568099.unknown _1234568100.unknown _1234568098.unknown _1234567967.unknown _1234567964.unknown _1234567965.unknown _1234567963.unknown _1234567960.unknown _1234567961.unknown _1234567959.unknown _1225177592.unknown _1234567956.unknown _1234567957.unknown _1225177658.unknown _1221723919.unknown