湖南大学考研内容

一、极限与连续 湖南大学 《数学》考试大纲 一、极限与连续 内容：映射与函数；数列的极限、函数的极限；实数系的连续性、 连续函数、一致连续；欧氏空间中的点集、多元函数的极限与连续；函数和连续函数的各种性质。 要求：理解集合、映射、函数、极限、连续、一致连续等概念；理解极限和连续的有关性质和定理；掌握求数列和函数极限的各种；掌握连续性、间断性的判别方法。 二、微分学 内容：微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；全微分和偏导数的概念；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒公式；最值和极值。 要求：理解微分和导数的概念、关系、几何意义和性质；掌握求微分和导数（一阶和高阶，一元和多元，隐函数，复合函数）的各种方法；理解和应用微分中值定理、泰勒展开；掌握各种最值和极值的求法（一元和多元，条件极值）；判断函数的凹凸性；求空间曲面的切平面和空间曲线的切线。 三、积分学 内容：定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；重积分的概念及其性质、重积分的计算；曲线积分和曲面积分；反常积分的定义和判别。 要求：理解定积分的概念、性质、意义和微积分基本定理，理解黎曼积分概念，并能灵活应用；掌握不定积分和定积分的各种计算方法（换元法、分部积分、有理函数积分）；掌握用定积分计算几何量和物理量的方法；理解二重和三重积分的概念和性质，掌握二重和三重积分的计算方法；掌握曲线积分和曲面积分概念及计算，掌握各种积分之间的关系；掌握反常积分收敛性的讨论和判别方法。 四、级数 内容：数项级数、数项级数的判别法；级数的绝对收敛和条件收敛；函数项级数的收敛和一致收敛及其性质、收敛性的判别；幂级数及其性质、泰勒级数。 要求：理解级数收敛、发散、一致收敛的概念；掌握级数收敛的判别方法（绝对收敛、条件收敛、一致收敛）；掌握幂级数收敛半径和收敛区间的判别方法，并能利用幂级数的性质求和函数。 《高等代数》考试大纲 （一）多项式理论 一元多项式的整除性、带余除法、最大公因式、互素多项式、不可约多项式、多项式的因式分解、重因式等基本概念及其性质；多项式函数；多项式的根（重根）与它的一次因式（重因式）间的关系；多项式是否有重因式的判别法；  实、复系数多项式的不可约多项式的形式及分解式的形式；有理系数多项式的不可约判定及求整系数多项式的有理根等基本方法。 （二）行列式  n级排列的逆序数、对换、奇偶性；n阶行列式的定义、性质；行列式的子式、代数余子式及展开定理；行列式的计算方法；克莱姆法则；Vandermonde行列式； （三）线性方程组  n维向量空间；n维向量组的线性相关性；n维向量组的秩、向量组的等价，矩阵的秩等基本概念及性质； Gauss消元法；线性方程组有解的判定定理；线性方程组解的结构（括齐次线性方程组的基础解系定义、求法）。 （四）矩阵  矩阵的运算及性质；矩阵的秩；矩阵的初等变换与初等矩阵；矩阵在初等变换下的标准形；矩阵的逆、伴随阵、线性方程组的矩阵形式；行列式乘积定理；；分块矩阵；分块矩阵运算；矩阵和转置、对角阵、三角阵、矩阵单位；矩阵的迹、方阵的多项式； （五）二次型  二次型的矩阵表示；二次型的标准形与合同变换；复数域与实数域上二次型的标准形、形；惯性定理；实二次型、实对称矩阵正定的充分必要条件； （六）线性空间  线性空间的概念；一些重要的线性空间实例，基、维数与坐标；基变换与坐标变换； （七）线性变换  线性映射与线性变换的概念、运算；线性变换的矩阵表示；线性变换（矩阵）的特征多项式、特征值与特征向量；线性变换的值域与核；特征子空间;线性变换的不变子空间；线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件，线性变换及矩阵的最小多项式； （八）λ-矩阵  λ-矩阵在初等变换下的标准形、不变因子、行列式因子；矩阵相似的条件；数字矩阵或线性变换的不变因子、初等因子、Jordan标准形 。 （九）欧氏空间  向量内积；欧氏空间的概念及性质，度量矩阵；向量的长度、夹角、正交、距离，柯西一布涅科夫斯基不等式；标准正交基；欧氏空间的子空间的正交补，欧氏空间的同构；欧氏空间的正交变换与对称变换，对称变换与实对称矩阵用正交变换化实对称矩阵为对角阵的方法。