映射函数反函数

映射、函数与反函数 映射、函数与反函数 一、高考要求： 1.了解映射的定义，理解函数的概念。 2.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。 二、双基梳理 1.​ 映射与函数 (1)映射包括非空集合A，B以及A到B的对应法则 ，三者缺一不可；理解映射应抓住：对于一个从集合A到集合B的映射来说，A中的每一个元素必有唯一的象，但B中的每一个元素不一定都有原象，如果有，也不一定只有一个。 (2)函数是定义在两非空数集之间的映射，其中定义域，对应法则和值域是函数定义的三要素，最重要的是定义域和对应法则，值域则是由定义域出发依据对应法则确定的。 2.​ 求函数解析式的常用方法 1​ 待定系数法：已知函数类型时，可用此法。 2​ 换元法：已知复合函数 解析式时，令 解出 代入 ，得 即可，但要注意新元 的取值范围。 3​ 凑配法：对 的解析式进行凑配，使它能用 表示出来，再用 代换所有的 即可。④消参法：若已知抽象的函数表达式时，常用此法。 3.​ 反函数的有关问题 （1）​ 反函数的存在的条件：若函数从定义域到值域是一一对应关系，则存在反函数。注意：奇函数未必都有反函数，偶函数未必都没有反函数， （2）​ 反函数的求法：当反函数存在时，一般是“一解”、“二换”、“三定义域”。必须注意，反函数的定义域必须由原函数的值域来确定。 （3）​ 反函数的有关性质：①互为反函数的的两个函数具有相同的单调性，其图象关于直线 对称，若有公共点，则公共点不一定在直线 上。②区分是否为反函数时必须慎重，如 与 不是反函数。③分段函数的反函数分段求，注意合成。 三．基础自测 1.与函数f(x)=|x|是相同函数的是（ ） A.y=  B.y=  C.y=elnx D.y=log22x 2.设M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 （ ）  A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.若对应关系f:A→B是从集合A到集合B的一个映射，则下面说法错误的是 （ ） A.A中的每一个元素在集合B中都有对应元素B.A中两个元素在B中的对应元素必定不同 C.B中两个元素若在A中有对应元素，则它们必定不同 D.B中的元素在A中可能有对应元素 4. 若函数 的反函数为 ，则 。 5.已知f（ ）=x2+5x,则f(x)= . 四．典型例题 例1 给出下列两个条件：（1）f( +1)=x+2 ; (2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式. 例2 已知函数f(x)= （1）画出函数的图象； （2）求f(1)，f(-1),f 的值. 五．提高演练 1.（1）已知f（ ）=lgx，求f（x）； （2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）； （3）已知f（x）满足2f（x）+f（ ）=3x，求f（x）. 六．过关检测： 1.下列函数中，与函数y=x相同的函数是（ ） A.y= B.y=( )2 C.y=lg10x D.y=  2.设M={x|-2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是图中的（ ）  3.若f(x)= ,则f(-1)的值为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知f( ，则f(x)的解析式可取为（ ） A.  B.-  C. D.- 5.函数f(x)= +lg(3x+1)的定义域是（ ） A.（-∞,- ） B.（- , ） C.（- ，1） D.（- ,+∞） 6.(2008·陕西理，11)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-3)等于（ ）A.2 B.3 C.6 D.9 7.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f［g(1)］的值为 ，满足f［g(x)］＞g［f(x)］的x的值是 . 8.已知函数 (x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数，且 ( )=16, (1)=8, 则 (x)= . 9.（1）设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)=1,且对任意实数a、b,有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x); （2）函数f(x) (x∈(-1,1))满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x). 参考答案： 基础自测 1.A;2.C;3.B;4. ;5. (x≠0) 典型例题 例1 （1）令t= +1,∴t≥1，x=（t-1）2. 则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x∈［1，+∞). （2）设f(x)=ax2+bx+c (a≠0), ∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2. ∴ ，∴ ，又f(0)=3 c=3,∴f(x)=x2-x+3. 例2（1）画出函数的图象； （2）求f(1)，f(-1),f 的值. 解 （1）分别作出f(x)在x＞0,x=0,x＜0段上的图象，如图所示，作法略. （2）f(1)=12=1,f(-1)=- f =f(1)=1. 提高演练 解 (1)令 +1=t，则x= ， ∴f（t）=lg ，∴f（x）=lg ,x∈(1,+∞). （2）设f（x）=ax+b，则 3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17， ∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7. （3）2f（x）+f（ ）=3x， ① 把①中的x换成 ，得2f（ ）+f（x）= ② ①×2-②得3f（x）=6x- ，∴f（x）=2x- . 过关检测：1.C;2.B;3.C;4.C;5.C;6.C;7.1,2;8. 3x+ ; 9. 解 （1）依题意令a=b=x,则f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1), 即f(0)=f(x)-x2-x,而f(0)=1,∴f(x)=x2+x+1. （2）以-x代x,依题意有 2f(-x)-f(x)=lg(1-x) ① 又2f(x)-f(-x)=lg(1+x) ② 两式联立消去f(-x)得 3f(x)=lg(1-x)+2lg(1+x),∴f(x)= lg(1+x-x2-x3)(-1＜x＜1).