菲涅尔透镜一般设计武汉理工

第 ３２卷 　第 ６期 ２０１０年 ３月 武 　汉 　理 　工 　大 　学 　学 　报JOURNAL OF WUHAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Vol ．３２ 　 No ．６　 Mar ．２０１０ DOI ：１０ ．３９６３／j ．issn ．１６７１-４４３１ ．２０１０ ．０６ ．０１６ 菲涅尔聚光透镜的一般设计及效率分析 李 　鹏１ ，吴贺利１ ，杨培环１ ，蔡兰兰１ ，王利权１ ，翟鹏程２ （１ ．武汉理工大学机电学院 ，武汉 ４３００７０ ；２ ．武汉理工大学理学院 ，武汉 ４３００７０） � 摘 　要 ：　针对各种类型的 Fresnel透镜的设计方法 ，从弧形基面 Fresnel透镜的结构设计出发 ，通过对不同楞型条件的 推导 ，从而获得能够适应各种类型 Fresnel透镜结构设计的统一的设计公式 。并据此 ，提出了 Fresnel透镜效率计算方法 ， 对目前常用 Fresnel透镜的光学效率进行分析对比 ，对其适用性和优缺点作了定性评价 。 关键词 ：　 Fresnel透镜 ；　设计方法 ；　透过率 中图分类号 ：　 O ４３６ ．２ 文献标识码 ：　 A 文章编号 ：１６７１-４４３１（２０１０）０６-００６２-０５ General Design Method and Optical Efficiency of the Solar Concentrator by Fresnel Lens L I Peng１ ，WU He-li１ ， YANG Pei-huan１ ，CA I Lan-lan１ ，WANG L i-quan１ ，ZHA I Peng-cheng２ （１ ．School of Mechanical & Electrical Engineering ，Wuhan University of Technology ，Wuhan ４３００７０ ，China ； ２ ．School of Sciences ，Wuhan University of Technology ，Wuhan ４３００７０ ，China） Abstract ：　 A general design formula for the Fresnel lens is obtained through a simple deduction which is initially based on an optical model for the design of the Fresnel lens with a curved base ．A method to calculate optical efficiency of the Fresnel lens is brought forward and the comparisons are made between different shapes Fresnel lens which are commonly used now ．The quali- tative evaluation of their adaptability ，the advantages and the disadvantages has finally been done in this paper ． Key words ：　 Fresnel lens ；　 design ；　 transmittance 收稿日期 ：２００９-１０-１７ ． 基金项目 ：国家高技术研究发展（２００７AA０５Z４４４） ． 作者简介 ：李 　鹏（１９６８-） ，男 ，博士 ，副教授 ．E-mail ：lpwhut＠ live ．whut ．edu ．cn Fresnel透镜是由法国物理学家 Augustin Jean Fresnel在 １８２２年发明的 ，它是采用多个同轴排列或平行 排列的棱镜序列组成不连续曲面取代了一般透镜的连续球面 。 Fresnel透镜因其结构简单 ，便于制造 ，重量 体积上更轻 、更薄 ，设计上可以获得更大的孔径与焦距比 ，所以作为太阳能聚光器的应用也越来越受重视 。 其中以美国 Wagner等提出采用 Fresnel透镜进行太阳光谱分离的研究预计可以设计出效率超过 ５０％ 的聚 光光伏发电系统［１ ，２］较为突出 。太阳能 Fresnel聚光透镜的设计主要是以透镜的光学效率 、成像面上光斑的 能量均匀性 、色散以及聚光光斑大小与聚光光伏电池的匹配等为主要控制指标［３］ 。 郭孝武等曾提出了 Fresnel透镜的一般设计公式 ，没有包括弧形基面 Fresnel透镜的设计 ，也没有给出 Fresnel透镜光学效率的计 算方法 。该文从弧面基面 Fresnel透镜的结构设计出发 ，给出了统一设计公式的简略推导过程 ，获得了 Fres- nel透镜的一般设计公式 ，并发现平板 Fresnel透镜是设计公式的特例 ，该方法能够适应弧形基面和平基面形 状的 Fresnel透镜 、楞面朝外或者朝内的透镜 、以及点聚焦和线聚焦等不同类型的 Fresnel透镜的结构设计 ； 据此 ，提出了 Fresnel透镜的光学效率的计算方法 ，并对目前常用的不同结构 Fresnel透镜的光学效率进行了 分析和比较 ，对其适用性和优缺点作了定性的评价 。该文研究结果对太阳能聚光光伏发电系统的光学系统 设计具有一定的理论指导意义 。 1 　 Fresnel聚光透镜一般设计方法 图 １为弧形基面 Fresnel透镜光线聚集的原理示意图 ，设 F为在光轴上一点光源 ，光束从 F点出发 ，经 过介质到达透镜经折射聚焦于透镜的另一侧 F′点 。图 ２为图 １中第 i楞尖劈透镜元横截面的局部放大图 ， 由图 ２可见 ，一束光线通过透镜的第 i楞经过了 ２个光学界面的折射 ，即经过 A 折射至 B ，然后折射于聚焦 点 F′ 。设 O和 O′分别为弧形基面横切面圆心和横切面中心 。 根据光的折射定律 sin αisin α′i ＝ sin βisin βi ′ ＝ n１n２ ＝ N （１） 其中 ，n１为大气压下的空气折射率 ，取 n１ ＝ １ ，n２为透镜的折射率 ；αi 、α′i 、β′i 、βi 分别为透镜两侧的 入射角和折射角 ；ui 为入射光与光轴 FF′的夹角 ；u′i 为折射光与光轴 FF′的夹角 ，通常称其为第 i楞尖劈透 镜元的入射光偏向角 ；f 和 f′分别为 F和 F′到光轴 O′点的距离 ；R 为 Fresnel透镜的圆弧曲率半径 ；r 为球 冠的外廓半径 。根据图 ２所示几何关系有 θi ＝ θγ ＋ θν ＝ α′i ＋ βi ，其中 θi 为第 i楞尖劈透镜元的顶角 ，θγ ＝ W′i ，则 αi ＝ ui ＋ W′i （２） βi ＝ θν ＋ W′i － α′i （３） β′i ＝ θν ＋ u′i （４） 由式（１） ～式（４）得 θi ＝ W′i ＋ tan－１ sin W′i · N２ － sin２ ui ＋ W′i － cos W′isin ui ＋ W′i － sin u′icos u′i － cos W′i · N２ － sin２ ui ＋ W′i － sin W′isin ui ＋ W′i （５） 　 　式（５）即为 Fresnel聚光透镜的一般设计公式 ，根据该式可以计算使光轴上任意点光源聚光到特定成像 面的第 i楞尖劈透镜元顶角 ，假设楞面采用等宽设计时 ，当给定弧长即可由此确定第 i楞透镜元的其它结构 尺寸 ，再由各楞组合即可形成弧形基面 Fresnel透镜 。 对式（５）中参数作一定限制 ，即可获得不同结构透镜的设计公式 。例如 ：楞面朝内 ，平行光从光面正入射 时 ，f ＝ ∞ ，ui ＝ ０° ，则式（５）变为 θi ＝ W′i ＋ tan －１ sin W′i · N２ － sin２ W′i － cos W′isin W′i － sin u′icos u′i － sin２ W′i － cos W′i · N２ － sin２ W′i 　 　楞面朝外 ，平行光从楞面正入射时 ，f′＝ ∞ ，ui′ ＝ ０° ，则式（５）变为 θi ＝ W′i ＋ tan－１ sin W′i · N２ － sin２ ui ＋ W′i － cos W′isin ui ＋ W′i １ － cos W′i · N２ － sin２ ui ＋ W′i － sin W′isin ui ＋ W′i （６） ３６第 ３２卷 　第 ６期 　 　 　 　李 　鹏 ，吴贺利 ，杨培环 ，等 ：菲涅尔聚光透镜的一般设计方法及效率分析 　 　 　 　 　 　 　 　 　当 R趋近于无限大时 ，W′i 无限趋近 ０ ，此时为平基面 Fresnel透镜 ，由此看出平板 Fresnel透镜的设计 公式为文中一般设计公式的特例 ，式（６）可变为 θi ＝ tan－１ sin ui ＋ sin u′iN２ － sin２ ui － cos u′i 　 　该式与郭孝武等提出的设计公式［４］是一致的 。 同理 ，楞面朝内 ，平行光从光面正入射时 ，f ＝ ∞ ，ui ＝ ０° ，则式（６）变为 θi ＝ tan－１ sin u′iN － cos u′i 　 　楞面朝外 ，平行光从楞面正入射时 ，f′＝ ∞ ，ui′ ＝ ０° ，则式（６）变为 θi ＝ tan －１ sin uiN２ － sin２ ui － １ 　 　这里讨论正入射时弧形基面楞面朝内（下称弧形基面） 、平基面楞面朝外（下称平面朝外）以及平基面楞 面朝内（下称平面朝内）透镜的尖劈顶角 θi 与偏向角 u′i 的关系 ，以 n ＝ １ ．４９ ，F数（即焦距 f 和口径 D 的比 值）为 １ ．３ ，球面透镜形状为球冠 ，H／R ＝ ０ ．１１２作为主要的设计参数 。可以发现随偏向角增大 ，透镜元尖劈 顶角 θi 逐渐增大 ；在偏向角小于 ８°时 ，即在透镜的中心附近 ，不同形状的透镜元顶角基本相同 ，而偏向角增 大接近透镜的边缘时 ，不同形状的透镜元顶角出现明显差异 ，其中平面朝外透镜的顶角最大 ，而平面朝内透 镜的顶角最小 。由于偏向角与透镜的 F数有关 ，F越小 ，偏向角越大 ，顶角 θi 也越大 。 2 　 Fresnel聚光透镜光学效率 作为太阳能聚光透镜 ，Fresnel透镜的光学效率是一个非常重要的评价指标 ，透镜的光学效率可以定义 为透镜中透射光的总能量与入射到透镜上的光能量之比 。 导致 Fresnel透镜光学损失的原因很 多 ，图 ３为光学损失原因分析示意图 ，从 图 ３可以看出 ，光学损失大致可以分为反 射损失 、吸收损失 、工艺性损失以及结构 损失 ，其中工艺性损失是由于考虑到透镜 成型对理想透镜轮廓进行修改而导致部 分光线发散引起的光学损失 ，比如脱模锥 度 、圆角等 。如图 ３（b）所示 ，它可以通过 精密加工技术减小 ；结构损失是由于 Fresnel透镜采用棱镜元组成的不连续曲面取代一般透镜的连续球面而 导致部分光线发散引起的光学损失 ，例如 ，对于平面朝外的 Fresnel透镜 ，由于楞高会遮挡部分折射光线 ，使 得从第二楞开始就出现部分透射光发散 ；对于平面朝内的 Fresnel透镜 ，当 F数小于某临界值时 ，出射界面上 入射角大于其全反射角 ，使透射光不能到达设定的焦斑范围内而损失 ，如图 ３（a）所示 。反射损失和结构损 失则主要与透镜的形状 、设计要求有关 ，不同形状的透镜 ，上述各光学损失大小不尽相同 ，因此其光学效率不 同 。 在众多光学损失中 ，太阳光在入射界面和出射界面上的反射损失是最主要的 。根据菲涅尔反射公式 ，其 反射率 R［５］为 R ＝ １２ · sin２ θ１ － θ２sin２ θ１ ＋ θ２ ＋ tan ２ θ１ － θ２tan２ θ１ ＋ θ２ 　 　其中 θ１ 、θ２分别为入射角和折射角 ，当入射角 θ１ ＝ ０时 ，R ＝ １ － n１ ＋ n ２ 。 由于不同形状透镜的结构不同 ，在入射界面和出射界面上的太阳光的入射角也各不相同 ，图 ４ 、图 ５分 别给出了正入射时弧形基面 、平面朝外以及平面朝内透镜的入射界面和出射界面上太阳光的入射角 θ１ 与偏 向角 u′i 的关系 ，入射角计算条件与顶角计算条件相同 。 由图 ４可见 ，平面朝内透镜入射界面上太阳光的入射角最小 ，为 ０° ，而弧形基面入射角最大 ，且都随着偏 ４６　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　武 　汉 　理 　工 　大 　学 　学 　报 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ２０１０年 ３月 向角增大而增大 ，说明入射界面上平面朝内透镜阳光反射损失最小 ，弧形基面最大 ，透镜由中心到边缘的光 反射损失逐渐增大 ；由图 ５可以发现不同形状透镜在出射界面上太阳光的入射角与入射界面上的入射角正 好相反 。但随偏向角的变化相同 ，因此太阳光在透镜上的反射损失随透镜的偏向角增大（或 F数减小）而增 大 。 由于太阳光是由波长在 ２８０ ～ ４ ０００ nm范围内的光波组成 ，而不同波长光的折射率不同 ，因此 ，在透镜 中同一楞透镜元上 ，不同波长光的反射率和材料吸收率也各不相同 。根据太阳光谱 ，假设第 j 波段光在 Fresnel透镜的第 i楞入射界面上的反射率为 Rij１ ，出射界面上的反射率为 Rij２ ，吸收率为 XS ，由图 ２可以看 出 ，从入射界面到出射界面的光程为 GC ，入射界面上的入射角为 αi ，折射角为 α′i ，出射界面上的入射角为 βi ，折射角为 β′i ，则第 j 波段光在透镜第 i楞上的透过率 Tij为 Tij ＝ １ － Rij１ · １ － Rij１ · １ － XS G C （７） 　 　其中 Rij１ ＝ １２ · sin２ αi － α′isin２ αi ＋ α′i ＋ tan ２ αi － α′itan２ αi ＋ α′i Rij２ ＝ １２ · sin２ βi － β′isin２ βi ＋ β′i ＋ tan２ βi － β′itan２ βi ＋ β′i 　 　 Fresnel透镜总的光学效率为各楞透镜元不同波长太阳光透过的能量总和与入射到透镜表面能量之 比［６］ T ＝ ∑ Wi · Ti ∑ Wi （８） 式中 ，Wi 为第 i楞透镜元上入射光的能量 ；Ti 为第 i楞透镜元上入射光的透过率 ；Si 为第 i楞透镜元的面 积 。由于实际的 Fresnel透镜存在工艺性和结构导致的光学损失 ，因此光学效率分析时 ，需要对每楞透镜元 实际透光面积进行修正 ，根据以上分析 ，假设每楞透镜元中导致光线发散的面积为 S′i ， Wi ＝ I · Si － Si′ （９） 　 　 将式（９）代入式（８） ，有 T ＝ ∑ I · Si － Si ′ · Ti ∑ Wi 3 　不同结构 Fresnel聚光透镜光学效率的比较 根据上述公式 ，对弧形基面 、平面朝外以及平面朝内 ３种不同结构的 Fresnel透镜的光学效率分别进行 了计算（未考虑材料吸收） ，为了分析透镜的通光口径和焦距大小对透镜的光学效率的影响 ，这里采用 F 数 作为变量来分析 ，分析时采用的材料为 PMMA（有机玻璃） ，其折射率取为１ ．４９ ，３种 Fresnel透镜的透过率同 F数之间的关系如图 ６所示 。 由图 ６可看出 ：不同类型的 Fresnel透镜的透过率随着 F数增大而增大 ，并且趋近于 PMMA材料极限透 过率 ９２ ．４％ 。当 F数大于 ０ ．８时 ，平面朝内的透镜光学效率最高 ；反之 ，弧形基面的透镜光学效率最高 ，而 平面朝外的透镜介于二者之间 ，这是由于透过率是由透镜入射界面上和出射界面上反射率综合决定的 ，反射 率与入射角有关 。由图 ４ 、图 ５可以看出 ，平面朝内的透镜在入射界面上太阳光的入射角最小 ，而在偏向角 ５６第 ３２卷 　第 ６期 　 　 　 　李 　鹏 ，吴贺利 ，杨培环 ，等 ：菲涅尔聚光透镜的一般设计方法及效率分析 　 　 　 　 　 　 　 较小即 F较大时 ，虽然平面朝内的透镜最大 ，但相对弧形基 面透镜入射界面上的入射角要小 ，因此当 F很大时 ，平面朝 内的透镜光学效率最高 ；反之亦然 。由图 ６还可看出 ，楞面 朝内透镜当 F数小于 ０ ．４５３ 时 ，光线则会出现全反射而不 能到达设计焦点 ，因此该类型透镜存在极限 F数 。 由以上分析可知 ，从光学效率的大小评价 ，弧形基面透 镜适合尺寸较大而焦距较小（F 较小）的透镜 ，而对尺寸较 小而焦距较大的透镜（F较大）的透镜应选择平面朝内结构 的透镜 。 综合光学效率 、加工难易程度 、安装 、结构光学损失 、适应范围等因素 ，对上述 ３种结构透镜的优缺点进 行对比 ，归纳如表 １所示 。 表 1 　 3种 Fresnel透镜的优缺点对比 弧形基面 平面朝外 平面朝内 理论光学效率 高 F ＞ １ 构．１后高 光程最短 ，吸收损失少 加工难易程度 难 易 易 结构光学损失 无 第二楞开始有楞面遮挡损失 F ＜ ０ ．４５３出现全反射 适应范围 适用于的 F数范围宽 适用于大 F数 适用于大 F数 安装 安装空间大 安装方便 安装方便 4 　结 　语 弧形基面透镜在较宽的 F数范围内都有较高的光学效率 ，而对尺寸较小而焦距较大的透镜（F较大）的 透镜选择平基面楞面朝内结构的透镜光学效率较高 。 参考文献 ［１］ 　 wWagner D J ．Refractive Spectrum Splitting Concentrator System［P］ ．US ７２０６１４２ ，２００７-４-１７ ． ［２］ 　 Barnett A ，Honsberg C ，Kirkpatrick D ，et al ．５０％ Efficient Solar Cell Architectures and Designs［C］／／Photovoltaic Energy Conversion ，Conference Record of the ２００６ IEEE ４th World Conference ，Waikoloa ：Inst of Elec and Elec Eng Computer Society ，２００６ ：２５６０-２５６４ ． ［３］ 　 Lorenzo E ，Luque A ．Fresnel Lens Analysis For Solar Energy Applications［J］ ．Applied Optics ，１９８１ ，２０（１７） ：２９４１-２９４５ ． ［４］ 　郭孝武 ．菲涅尔透镜统一设计方法［J］ ．太阳能学报 ，１９９１ ，１２（４） ：４２３-４２６ ． ［５］ 　李业发 ，杨廷柱 ．能源工程导论［M ］ ．合肥 ：中国科学技术大学出版社 ，１９９９ ． ［６］ 　张 　明 ，黄良甫 ，罗崇泰 ，等 ．空间用平板菲涅尔透镜的设计和光学效率研究［J］ ．光电工程 ，２００１ ，２８（５） ：１８-２１ ． ６６　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　武 　汉 　理 　工 　大 　学 　学 　报 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ２０１０年 ３月