关于广义费马数的一个结论

第26卷第5期 V01．26No．5 周口师范学院学报 JournalofZhoukouNormalUniversity 关于广义费马数的一个结论 贾耿华，周会娟 (洛阳理工学院数理部，河南洛阳471023) 摘 要：设b为偶数．本文给出了广义费马数F(b，咒)=b24+1是合数的一个充要条件． 关键词：广义费马数；素数；不定方程 中图分类号：0156．1文献标识码：A 文章编号：1671—9476(2009)05—0012一01 费马数‘13不但与很多经典数学问题有关，而且 在现代科学技术领域中也有广泛的应用，因此，有 关它的性质一直是数论中一个引人关注的课题．近 年来，人们又提出了广义费马数，即F(b，n)=b2“ +1，其中b为偶数，文[2]讨论了F(6，咒)、F(10， 竹)、F(12，，z)的因子的规律，本文给出了广义费马 数是合数的一个充要条件． 引理嗍 设P为素数，PIF(b，以)，则 P=1(mod2计1)． 定理 当，z≥3时，F(b，71)为合数的充要条 件是不定方程 22"X2+X一2-2”2b2”=Y2(1) 有正整数解(士。，y。)且满足 2"xo>yo． (2) 证 充分性． 若方程(1)有满足式(2)的正 整数解(zo，yo)，令kl一2"xo一肌，七2—2"xo+Yo， 其中Y。=√22”x3+z。一2-2”262“，则 (2计1kl+1)(2计1k2-+-1)= [2计1(2”zo—Yo)+1][2升1(2”zo+Yo)+13= 22外2(22“z：一舅)+2计1·2州XO+1— 22计2(2—2”2b2’一Xo)+22计2zo+1=b2”+1． 显然，2计1忌1+1>1，2州k2+1>1，所以F(b，咒)是 合数． 必要性． 若F(b，，1)为合数，由引理，F(b，n) 的素因数有2卧1h+1的形式，从而F(b，n)的因数 也有2卧1h+1的形式．则有 F(b，行)=(2计1ll+1)(2井1Z2+1)= 22畔2Z1Z2+2计1(Zl+Z2)+1= 2009年9月 Sep．2009 2Z"a2”+1(其中b=2a)， 净22井2Zll2+2件1(Zl+12)一22”nr， 其中Z。，z2为正整数，且z。≤l：． 当竹≥3时，2”≥2靠+2，所以存在z。使 Z1+Z2=2升1Xo． (3) 因此有 n一1ar=2计1Z1Z2+2计1zo． 即 Z1Z2=22"-2n-2a2”一xo．(4) 由式(3)、(4)可解出 zl=2"xo+√22“z5+Xo一2-z，卜zbr， —{ 一【z2—2一zo一√22“z3+zo一2-Z，卜2br．由于Z。，Zz是正整数，所以存在Y。∈z+，使得2Z"x5+zo一2-z棚b矿=Y；，且2"xo>Yo． 这就表明方程(1)有满足式(2)的解． I 推论 若F(b，咒)是合数，则F(b，咒)可分解为 F(b，竹)一[22什1zo一2计1Yo+13× [22什1zo+2-+1Yo+1]， 其中(z。，Y。)是不定方程(1)满足式(2)的任意一 组正整数解． 例 证明：F(6，3)=623+1=1679617是合 数． 证 不定方程 26X2+z一68·2—82Y2， 即 64x2+z一6561=Y2 有正整数解 (下转第29页) 收稿151期：2009—02—10；修回日期：2009—03—23 作者简介：贾耿华(1980一)，男，河南漯河人，助教，硕士研究生，研究方向：群论、数论． 万方数据 第26卷第5期 李婧，等：二维热传导方程的小波一Galerkin解法 29 从表1可以看出，热传导方程的小波一Galer- kin解与其精确解的绝对误差很小．这说明小波一 Galerkin对于解决热传导方程是很有效的． 参考文献： [13LiangZH，StephenSTYau．Wavelet—Galerkinmeth— odfortheKolmogorovequation[J]．Mathematicaland ComputerModelling，2004，40：1093—1121． E23RathishKumarBV，ManiMethr．Time-accuratesolu— tionsofKorteweg—deVriesequationusingwavelet Galerkinmethod[J]．AppliedMathematicsandCompu- tation，2005，162：447—460． [3]唐玲艳，宋松和．Hamilton—Jaeobi方程的小渡Galerkin 方法[J]．计算数学，2006，28(4)：401—408． [4]唐玲艳，宋松和．双曲型守恒律方程的小波解法[J]．数 值计算与计算机应用，2007，28(1)：11—17． [5]S6niaMGomes，ElsaCortina．Convergenceestimates forthewaveletGalerkinmethod[J]．SIAMJ．Numer． Anal．，1996，33：149—161． [6]DaubechiesI．小波十讲[M]．李建平，杨万年，译．北 京：国防工业出版社，2004． [7]王晶萍．抛物型方程的Wavelet—Galerkin方法[D]．中 国海洋大学优秀硕士，2006． Wavelet—Galerkinmethodfortwodimensionnalheatconductionequation LIJin91。ZHONGZhi—gu02 (1．SchoolofMathematicsandStatistics，NanyangNormalUniversity，Nanyang473061，China； 2．SchoolofPhysics&ElectronicEngineering，NanyangNormalUniversity，Nanyang473061，China) Abstract：Thewavelet—GalerkinmethodwasexpandedtothetwodimensionalspacetOsolveheatconductionequation withtwodimensionalmultiresolutionanalysisgeneratedbyDaubechieswavelets．Thenumericalresultswereusedtovalidate theproposedwavelet—Galerkinmethodasaneffectivenumericalalgorithmtosolvetheheatconductionequation． Keywords：wavelet—Galerkinmethod；Burgersequation；Daubechieswavelet；multiresolutionanalysis (上接第12页) (zo，Yo)=(386，3087)， 且23X386—3088>3087．因此，由定理可知 F(6，3)是合数．且由推论还可得出 F(6，3)=62。+1=1679617= [27·386—24·3087+1][27·386+ 24·3087+13—17X98801． 参考文献： [13柯召，孙琦．数论讲义：上册[M]．北京：高等教育出版 社。2001． [2]DubnerH，KellerW．FactorsofGeneralizedFermat number[J]．Math．comput．，1995，64(209)：397—405 [33皮新明．搜寻广义Fermat素数[J]．数学杂志，1998．18 (3)：276—280． AconclusionofgeneralizedFermatnumbers JIAGeng—hua，ZHOUHui-juan (DepartmentofMathematicsandPhysics，LuoyangInstituteof ScienceandTechonlogy，Luoyang471023，China) Abstract：Letbbeeven，thispaperdiscussesnecessaryconditionandsufficienconditionforgeneralizedFermatnumber F(b，咒)=624+1tobecompositenumber． Keywords：generalizedFermatnumber；prime；indeterminateequation 万方数据 关于广义费马数的一个结论 作者： 贾耿华， 周会娟， JIA Geng-hua， ZHOU Hui-juan 作者单位： 洛阳理工学院数理部,河南,洛阳,471023 刊名： 周口师范学院学报 英文刊名： JOURNAL OF ZHOUKOU NORMAL UNIVERSITY 年，卷(期)： 2009,26(5) 参考文献(3条) 1.Dubner H;Keller W Factors of Generalized Fermat number[外文期刊] 1995(209) 2.皮新明 搜寻广义Fermat素数 1998(03) 3.柯召;孙琦 数论讲义 2001 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zksfgdzkxxxb200905006.aspx