38－第38讲高阶常系数线性微分方程、欧拉方程

nullnull—— 一元微积分学 大 学 数 学（一）第三十讲 一元微积分的应用(六)脚本编写：刘楚中制作：刘楚中 —— 微积分在物理中的应用null第七章 常微分方程本章学习要求：了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法：了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.null第五节 二阶常系数线性微分方程null一、二阶常系数齐次线性微分方程形如即null二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为null二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为null由刘维尔公式求另一个解：于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为null二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为3) 特征方程有一对共轭复根：是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为null由线性方程解的性质：均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的：null故当特征方程有一对共轭复根时，原方程的通解可示为null二阶常系数齐线性微分方程特征方程特 征 根通 解 形 式null解null解null解故所求特解为null解null解取 x 轴如如图所示。由力学的虎克定理，有（ 恢复力与运动方向相反 ）由牛顿第二定律，得null我们要找的规律是下列初值问的解：null从而，所求运动规律为null二、n 阶常系数齐线性微分方程形如nulln 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为null解null解在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程试求此方程的通解。null三、二阶常系数非齐线性微分方程形如它对应的齐方程为我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下，(2) 的特解。null常系数非齐线性微分方程算子解法null方程 (2) 对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为单根二重根一对共轭复根null假设方程有下列形式的特解：则代入方程 (2) ，得即null由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有方程 (2) 有下列形式的特解:null由多项式求导的特点可知，应有方程 (2) 有下列形式的特解:null由多项式求导的特点可知，应有方程 (2) 有下列形式的特解:null当二阶常系数非齐线性方程其中：null解对应的齐方程的特征方程为特征根为对应的齐方程的通解为将它代入原方程，得null比较两边同类项的系数，得故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为null解对应的齐方程的特征方程为特征根为对应的齐方程的通解为将它代入原方程，得null上式即故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为null解综上所述，原方程的通解为nullnullnullnull解代入上述方程，得从而，原方程有一特解为null解代入上述方程，得比较系数，得null从而，原方程有一特解为故null解由上面两个例题立即可得null解对应的齐次方程的通解为从而，原方程有一特解为null故原方程的通解为null四、欧拉方程形如关于变量 t 的常系数线性微分方程 。null引入算子记号：由归纳法可以证明：null解作代数运算后，得即这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且null方程 (1) 对应的齐方程的通解为为方程 (1) 特解形式，代入方程 (1) 中，得从而故原欧拉方程的通解为null