中位线33

中位线 中位线 甲内容提要 1.​ 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 2.​ 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。 3.​ 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。 4.​ 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论， ①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5.​ 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。 甲内容提要 6.​ 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 7.​ 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。 8.​ 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。 9.​ 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论， ①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 10.​ 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。 乙例题 例1.​ 已知：△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点。求证：PM＝PN　 （1991年泉州市初二双基赛题） ：作ME⊥AB，NF⊥AC，垂足E，F　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵△ABM、△CAN是等腰直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴AE＝EB＝ME，AF＝FC＝NF，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 根据三角形中位线性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 PE＝ AC＝NF，PF＝ AB＝ME　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 PE∥AC，PF∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴∠PEB＝∠BAC＝∠PFC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 即∠PEM＝∠PFN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴△PEM≌△PFN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴PM＝PN 例2.已知△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD是角平分线，CM⊥AD于M，且N是BC的中点。求MN的长。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 分析：N是BC的中点，若M是另一边中点，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 则可运用中位线的性质求MN的长，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 根据轴称性质作出△AMC的全等三角形即可。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 辅助线是：延长CM交AB于E（证明略）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。 已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是AC、BD的中点 求证：MN∥AB∥CD，MN＝ （AB－CD） 　　 分析一：∵M是AC中点，构造一个三角形，使N为另一边中点，以便运用中位线的性质。 ∴连结CN并延长交AB于E（如图1）证△BNE≌△DNC可得N是CE的中点。（证明略） 分析二：图2与图1思路一样。 分析三：直接选择△ABC，取BC中点P连结MP和NP，证明M，N，P三点在同一直线上，方法也是运用中位线的性质。 例4.​ 如图已知：△ABC中，AD是角平分线，BE＝CF，M、N分别是BC和EF的中点　　　　　　　　　　　　　　　　 求证：MN∥AD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 证明一：连结EC，取EC的中点P，连结PM、PN MP∥AB，MP＝ AB，NP∥AC，NP＝ AC ∵BE＝CF，∴MP＝NP ∴∠3=∠4= ∠MPN＋∠BAC＝180 （两边分平行的两个角相等或互补） ∴∠1=∠2= ， ∠2=∠3 ∴NP∥AC ∴MN∥AD　　　　　　 证明二：连结并延长EM到G，使MG＝ME连结CG，FG　　　 则MN∥FG，△MCG≌△MBE ∴CG＝BE＝CF　∠B＝∠BCG　　　　　　　　　　　　　　　 ∴AB∥CG，∠BAC＋∠FCG＝180 ∠CAD＝ （180 －∠FCG） ∠CFG＝ （180 －∠FCG）=∠CAD 　∴　MN∥AD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例5.​ 已知：△ABC中，AB＝AC，AD是高， CE是角平分线，EF⊥BC于F，GE⊥CE交CB 的延长线于G　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　求证：FD＝ CG　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　证明要点是：延长GE交AC于H，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　可证E是GH的中点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 过点E作EM∥GC交HC于M，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 则M是HC的中点，EM∥GC，EM＝ GC　　　　　　　　　　　　　　　　　　 由矩形EFDO可得FD＝EO＝ EM＝ GC　　 丙练习32　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点　　　　　　　　　　　　　　 　则①四边形EFGH是＿＿＿＿＿形　　　　　　　　　　　　　　　 ②当AC＝BD时，四边形EFGH是＿＿＿形　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③当AC⊥BD时，四边形EFGH是＿＿形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④当AC和BD＿＿＿＿＿＿＿＿时，四边形EFGH是正方形形。 2.求证：梯形两底中点连线小于两边和的一半。 3.已知AD是锐角三角形ABC的高，E，F，G分别 是边BC，CA，AB的中点，证明顺次连结E，F， G，H　所成的四边形是等腰梯形。 4.​ 已知：经过△ABC顶点A任作一直线a, 5.​ 过B，C两点作直线a的垂线段　　　BB，和CC，，设M是BC的中点， 求证：MB，＝MC，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5.如图已知△ABC中，AD＝BE，DM∥EN∥BC 求证BC＝DM＋EN 6.如图已知：从平行四边形ABCD的各顶点向形外任一直线a作垂线段AE，BF，CG，DH。 求证AE＋CG＝BF＋DH　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7.如图已知D是AB的中点，F是DE的中点，求证BC＝2CE 8.平行四边形ABCD中，M，N分别是BC、CD的中点，求证AC平分MN 9.已知△ABC中，D是边BC上的任一点，M，N，P，Q分别是BC，AD，AC，MN的中点，求证直线PQ平分BD。 10.等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，点O是AC和BD的交点，∠AOB＝60 ， P，Q，R分别是AO，BC，DO的中点，求证△PQR是等边三角形。　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11.已知：△ABC中，AD是高，AE是中线，且AD，AE三等分∠BAC，求证：△ABC是Rt△。 12.已知：在锐角三角形ABC中，高AD和中线BE相交于O， ∠BOD＝60 ，求证AD＝BE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13.如图　已知：四边形ABCD中，AD＝BC，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 点E、F分别是AB、CD的中点，MN⊥EF　　　　　　　　　 求证：∠DMN＝∠CNM　　　　　　　　　　　　　　　　　 练习题参考答案 1.​ ①平行四边形②菱形③矩形④相等且互相垂直 2.​ 取一条对角线的中点，利用三角形两边差小于第三边 3.​ DG＝EF＝ AB 4.​ 过点M作a的垂线,必平分B，C， 5.​ △ABC的中位线也是梯形BCD，D中位线 6.​ 同上，有公共中位线 7.​ 取BC中点G，连结DG 8.​ 连结BD交AC于O，易证四边形MCNO是平行四边形 9.​ 证四边形MPNS是平行四边形 10.​ ∵△COD是等边三角形，CR⊥DO，RQ＝ BC，…… 11.​ 作EF⊥AC，EF＝ED＝ EC，∠C＝30 ，…… 12.​ 作EF⊥BC于F，AD，BE都等于2EF 13.​ 过AC的中点O作MN的平行线，则OE＝OF，……