中心对称

23 23.2 中心对称(1)“预、学、练、作”专页 编写 王瑞英 审定 刘雅明 王秀英 教学内容 1两个图形关于这个点对称或中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及其运用它们解决一些实际问． 2．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心所平分． 3．关于中心对称的两个图形是全等图形． 教学过程 一、复习引入 请同学们独立完成下题． 如图，△ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，并写出简要作法． 二、探索新知 问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题： 1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？ 2．各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？ 点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合． 像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． （1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由． （2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点． 例2．如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形． 例3．（1）请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论． （2）作关于一定点O为对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论． 第一步，画出△ABC． 第二步，以△ABC的C点（或O点）为中心，旋转180°画出△A′B′和△A′B′C′，如图1和用2所示． 因此，我们就得到 1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 2．关于中心对称的两个图形是全等图形． 例4．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称． ：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到． 解：（1）连结AO并延长AO到D，使OD=OA，于是得到点A的对称点D，如图所示． （2）同样画出点B和点C的对称点E和F． （3）顺次连结DE、EF、FD． 则△DEF即为所求的三角形． 例5．如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）． 二、巩固 教材P70 练习． 四、归纳（学生，老师点评） 本节课应掌握： 五、布置作业 1．教材P74 复习巩固1 综合运用6、7． 1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．直角 B．等边三角形 C．直角梯形 D．两条相交直线 2．下列命题中真命题是（ ） A．两个等腰三角形一定全等 B．正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少 C．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．两直线平行，同旁内角相等 3．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是（ ） A．60° B．50° C．75° D．55° 23.2 中心对称(2)预、学、练、作专页 编写 王瑞英 审定 刘雅明 王秀英 教学内容 1．中心对称图形的概念． 2．对称中心的概念及其运用． 教学过程 一、复习引入 1．口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？ 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形． 2．（学生活动）作图题． （1）作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示． （2）作出三角形AOB关于O点的对称图形 二、探索新知 从另一个角度看，上面的（1）题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因为OA=OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它重合． 上面的（2）题，连结AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平行四边形，如图所示． ∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD ∴△AOB≌△COD ∴AB=CD 也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合． 因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． （学生活动）例1：从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形． （学生活动）例2：请说出中心对称图形具有什么特点？ 中心对称图形具有匀称美观、平稳． 三、巩固练习 教材P72 练习． 四、应用拓展 例4．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF的长． 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．中心对称图形的有关概念； 2．应用中心对称图形解决有关问题． 六、布置作业 1．教材P74 综合运用5 P75 拓广探索8、9 23.2 中心对称（4） 第四课时 教学内容 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y），关于原点的对称点为P′（-x，-y）及其运用． 教学目标 理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用． 复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用． 重难点、关键 1．重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点P′（-x，-y）及其运用． 2．难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面三题． 1．已知点A和直线L，如图，请画出点A关于L对称的点A′． 2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ADC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形． 3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形． 老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略） 二、探索新知 （学生活动）如图23-74，在直角坐标系中，已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答： 这些坐标与已知点的坐标有什么关系？ 老师点评：画法：（1）连结AO并延长AO （2）在射线AO上截取OA′=OA （3）过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″． ∵△AD′O与△A′D″O全等 ∴AD′=A′D″，OA=OA′ ∴A′（3，-1） 同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标． （学生活动）分组讨论（每四人一组）：讨论的内容：关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？ 提问几个同学口述上面的问题． 老师点评：（1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．（2）坐标符号相反，即设P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）． 例1．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形． 分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可． 解：点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）， 因此，线段AB的两个端点A（0，-1），B（3，0）关于原点的对称点分别为A′（1，0），B（-3，0）． 连结A′B′． 则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′． （学生活动）例2．已知△ABC，A（1，2），B（-1，3），C（-2，4）利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形． 老师点评分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′． 三、巩固练习 教材P73 练习．