N_S方程在不同坐标中的直接导出

文章编号 :1004 - 2261(2000) 04 - 20 - 05 N2S 方程在不同坐标中的直接导出 黄庆达 (天津理工学院 动力工程系 , 天津 300191) 摘要 : 采用直接微分运算的方法 , 将哈密顿算子 ( ¨) 及拉普拉斯算子 ( ¨2) 换算成柱坐 标及球坐标的表示式 , 进而经过直接微分运算 , 给出纳维 ———斯托克斯 ( N2S ) 方程在柱 坐标及球坐标中的表示式. 关键词 : 柱坐标 ; 球坐标 ; 迁移加速度 中图分类号 : O183. 1 　　　文献标识码 : B Ξ N2S equation at coordinates can be got dorctly HUA N G Qi n2da ( Tianjin Institute of Technology , Tianjin 300191 ,China) Abstract :This paper gives the illust rations of Hamilton operator ( ¨) and laplace operator ( ¨2) in cylin2drical and spherical coordinates with ordinary differential methods , by which the illust ra2 tions of Navier —Stokes equation in cylindrical and spherical coordinates can be got directly. Key words :cylindrical coodinate ; spherical coordinate ; remove acceleration 　　在流体力学教科书中 , 当叙述到不可压缩粘 性流体的运动微分方程 ( N - S 方程) 时 , 为 了便于应用 , 同时给出了方程的柱坐标及球坐标 的表示式. 但因数学推导过程难度过大 , 一般教 科书中都是略去的. 在相应的数学教科书中[3 ] , 叙述到这一问题时 , 都采用曲线坐标. 而曲线坐 标本身已有相当难度 , 且距方程的给出仍有相当 距离. 本文作者在教学过程中 , 试用同学们易于 理解的直接微分方法 , 给出了方程的数学推导过 程 , 大大降低了初学难度. 方便了同学对 N - S 方程的掌握及应用. (但此数学过程是否严格 , 敬希专家指正. ) 1 　柱坐标中 N - S 方程的数学推导过程 1. 1 　 N - S 方程的矢量式为[1 ] F - 1ρ ¨ P +ν¨2 u = 9u9t + ( u ·¨) u (1) 式中 : F —体积力　ρ —流体密度　 P —体中某点压强　ν—运动粘滞系数　 u —流体中某点流速　¨ —哈密顿算子　¨2 —拉普拉斯算子N - S 方程在直角坐标中的分量式为[1 ] :X - 1ρ 9P9x +ν 92 ux9x2 + 92 ux9y2 + 92 ux9z2 =　 9ux9t + ux 9ux9x + uy 9ux9y + uz 9ux9zY - 1ρ 9P9y +ν 92 uy9x2 + 92 uy9y2 + 92 uy9z2 =　 9uy9t + ux 9uy9x + uy 9uy9y + uz 9uy9z 第 16 卷第 4 期 2000 年 12 月 　 　　 天 　津 　理 　工 　学 　院 　学 　报 JOURNAL OF TIANJIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY 　　　 　Vol. 16 No. 4 　　Dec. 2000 Ξ 收稿日期 : 2000 - 07 - 13 作 　　者 : 黄庆达 (1941 - ) , 男 , 副教授 Z - 1ρ 9P9z +ν 92 uz9x2 + 92 uz9y2 + 92 uz9z2 = 　 9uz9t + ux 9uz9x + uy 9uz9y + uz 9uz9z (2) 为了给出 N - S 方程在柱坐标系中的表示 式 , 需先给出哈密顿算子 ¨及拉普拉斯算子 ¨2 在柱坐标中的表示式. 1. 2 　柱坐标中独立变量γ、θ、z 与直角坐标中独 立变量 x 、y、z 之间的关系 r = x 2 + y2 , 　θ = arc tan y x , 　z = z 据上述关系有 : 　 9r9x = cosθ, 　　 9r9y = sinθ, 　 9θ9x = - sinθr , 　　 9θ9y = cosθr . ∴ 99x = 99r 9r9x + 99θ 9θ9x = cosθ 99r - sinθr 99θ 　 99y = 99r 9r9y + 99θ9θ9y = sinθ 99r + cosθr 99θ 图 1 　直角坐标与柱坐标的关系 Fig. 1 　Relation of culindrical and right angle coordinate 1. 3 　哈密顿算子 ¨在柱坐标中的表示式 哈密顿算子 ¨在直角坐标中的表示式为 :¨ = 99x i + 99y j + 99z k 据上述坐标变量之间的微分关系为 :99x 2 + 99y 2 + 99z 2 = cosθ 99r - sinθr 99θ 2 + 　 sinθ 99r + cosθr 99θ 2 + 99z 2 = 99r 2 + 1r 99θ 2 + 99z 2 (3) ∴哈密顿算子 ¨在柱坐标中的表示式为 :¨ = 99r r0 + 1r 99θθ0 + 99z K (4) 1. 4 　拉普拉斯算子 ¨2 在柱坐标中的表示式 拉普拉斯算子 ¨2 在直角坐标中的表示式为[1 ] :¨2 = 929x 2 + 929y2 + 929z 2 据哈密顿算子的计算过程有[3 ] :929x 2 = 99x 99x = cosθ 99r - sinθr 99θ cosθ 99r - sinθr 99θ = cos 2θ 929r2 + sin2θr 99r + 2sinθcosθr2 99θ - 　2sinθ·cosθ r 929r9θ+ sin2θr2 929θ2929y2 = sinθ 99r + cosθr 99θ sinθ 99r + cosθr 99θ = sin2θ 929r2 + cos2θr 99r - 2sinθcosθr2 99θ+ 　2sinθ·cosθ r 929r9θ+ cos2θr2 929θ2929z 2 = 929z 2 ∴拉普拉斯算子 ¨2 在柱坐标中的表示式为[2 ] :¨2 = 929r2 + 1r 99r + 1r2 929θ2 + 929z 2 (5) 或 ¨2 = 1 r 99r r 99r + 1r2 929θ2 + 929z 2 (5′) 1. 5 　N - S 方程中的迁移加速度 ( u·¨ ) u 在柱 坐标中表示式[4 ] ( u ·¨) u = [ u rr0 + uθθ0 + uz K · 　　　　 99r r0 + 1r 99θθ0 + 99z K ] u · = ur 99r + uθr 99θ+ uz 99z urr0 + uθθ0 + uz K = u r 9u r9r + uθr 9u r9θ - u2θr + uz 9u r9z r0 + 　 u r 9uθ9r + uθr 9uθ9θ + u ruθr + uz 9uθ9z θ0 + 　 u r 9uz9r + uθr 9uz9θ + uz 9uz9z K (6) 1 . 6 　N - S 方程中拉普拉斯算子 ¨2 对速度 u 的作用项[5 ]¨2 u = 929r2 + 1r 99r + 1r2 929θ2 + 929z 2 12第 4 期 　　　　　　　　　　黄庆达 : N2S 方程在不同坐标中的直接导出 　　　　 u rr0 + uθθ0 + uz K = 92 u r9r2 + 1r 9u r9r - u r r 2 - 2 r 2 9uθ9θ + 1r2 92 u r9θ2 + 92 u r9z 2 r0 + 92 uθ9r2 + 1 r 9uθ9r - uθr2 + 2r2 9u r9θ + 1r2 92 uθ9θ2 + 92 uθ9z 2 θ0 +92 uz9r2 + 1r 9uz9r + 1r2 92 uz9θ2 + 92 uz9z 2 K (7) 1 . 7 　 N - S 方程在坐标中的表示式 将 (6) 式及 (7) 式代入 N - S 方程的矢量式 中 , 即可给出 N - S 方程的柱坐标表示式 :9u r9t + u r 9u r9r - u2θr + uθr 9u r9θ + uz 9u r9z = Fr - 1 ρ 9p9r +ν 92 u r9r2 + 1r 9u r9r - u r r 2 - 2 r 2 9uθ9θ + 1r2 92 u r9θ2 + 92 u r9z 29uθ9t + ur 9uθ9r + ur ·uθr + uθr 9uθ9θ + uz 9uθ9z = Fθ - 1 ρ·r 9p9θ +ν 92 uθ9r2 + 1r 9uθ9r - uθr2 + 2 r 2 9u r9θ + 1r2 92 uθ9θ2 + 92 uθ9z 29uz9t + ur 9uz9r + uθr 9uz9θ + uz 9uz9z = Z - 1ρ 9p9z +ν 92 uz9r2 + 1r 9uz9r + 1 r 2 92 uz9θ2 + 92 uz9z 2 (8) 2 　球坐标中 N - S 方程的数学推导过程 2 . 1 　球坐标中独立变量 r、θ、β与直角坐标中独 立变量 x 、y、z 之间的关系 r = x 2 + y2 + z 2 ; θ = arc tan x 2 + y2 z ; β = arc tan y x 据上述关系有 :9r9x = sinθ·cosβ , 9r9y = sinθ·sinβ , 9r9z = cosθ9θ9x = cosθ·cosβr , 9θ9y = cosθ·sinβr , 9θ9z = - sinθr9β9x = - sinβr ·sinθ , 9β9y = cosβr ·sinθ , 9β9z = 0 2 . 2 　直角坐标与球坐标变量之间的微分关系 计算过程同柱坐标99x = 99r 9r9x + 99θ 9θ9x + 99β 9β9x 　 = sinθ·cosβ 99r + cosθ·cosβr 99θ - sinβr ·sinθ 99β99y = 99r 9r9y + 99θ9θ9y + 99β9β9y 　 = sinθ·sinβ 99r + cosθ·sinβr 99θ+ cosβr ·sinθ 99β99z = 99r 9r9z + 99θ9θ9z + 99β9β9z = cosθ 99r - sinθr 99θ 图2 　直角坐标与球坐标的关系 Fig. 2 　Relation of spherical and right angle coordinate 2. 3 　哈密顿算子 ¨在球坐标中的表示式 利用与 (3)式、(4)式相同的运算过程 ,可给出¨在球坐标中的表示式为[6 ] :¨ = 99r r0 + 1r 99θθ0 + 1r ·sinθ 99ββ0 2. 4 　拉普拉斯算子 ¨2 在球坐标中的表示式 据哈密顿算子的计算过程有 :929x2 = sinθ·cosβ 99r + cosθ·cosβr 99θ - sinβr ·sinθ 99β 　 sinθ·cosβ 99r + cosθ·cosβr 99θ - sinβr ·sinθ 99β 　 = sin2θ·cos2β 929r2 + cosθ·sin2βr2sinθ 99θ - 2sinθ·cosθ·cos2β r 2 99θ+ cos2θ·cos2βr 99r + 2sinθ·cosθ·cos2β r 929r ·9θ+ 2sinβ·cosβr2 ·sin2θ 99β - 2sinβ·cosβ r 929r ·9β+ sin2βr 99r + cos2θ·cos2βr2 929θ2 - 2cosθ·sinβ·cosβ r 2 ·sinθ 929θ·9β+ sin2βr2 ·sin2θ 929β2 (9) 22 　　　　　　　　　　　　天 　津 　理 　工 　学 　院 　学 　报 　　　　　　　　　　　　16 卷 929y2 = sinθ·sinβ 99r + cosθ·sinβr 99θ+ cosβr ·sinθ 99β 　 sinθ·sinβ 99r + cosθ·sinβr 99θ+ cosβr ·sinθ 99β 　 = sin2θ·sin2β 929r2 - cosθ·cos2βr2sinθ 99θ - 2sinθ·cosθ·sin2β r 2 99θ+ cos2θ·sin2βr 99r + 2sinθ·cosθ·sin2β r 929r ·9θ - 2sinβ·cosβr2 ·sin2θ 99β+ 2sinβ·cosβ r 929r ·9β+ cos2βr 99r + cos2θ·sin2βr2 929θ2 + 2cosθ·sinβ·cosβ r 2 ·sinθ 929θ·9β+ cos2βr2 ·sin2θ 929β2 (10)929z2 = cosθ 99r - sinθr 99θ cosθ 99r - sinθr 99θ 　 = cos2θ 929r2 + 2sinθ·cosθr2 99θ - 2sinθ·cosθ r 929r ·9θ+ sin2θr 99r + sin2θr2 929θ2 (11) 由 (9) 、(10) 、(11)式有 :¨2 = 929r2 + 2r 99r + cosθr2 ·sinθ 99θ+ 1 r 2 929θ2 + 1r2 ·sin2θ 929β2 [6 ] (12) 或 ¨2 = 1 r 2 99r r2 99r + 1r2 ·sinθ 99θ sinθ 99θ + 1 r 2 ·sin2θ 929β2 (12′) 2. 5 　迁移加速度 ( u·¨ ) u 在球坐标中的表示式 ( u ·¨) u = [ u rr0 + uθθ0 + uββ0 · 　 99r r0 + 1r 99θθ0 + 1r ·sinθ 99ββ0 ] u = u r 99r + uθr 99θ+ uβr ·sinθ 99β u rr0 + uθθ0 + uββ0 = u r 9u r9r + uθr 9u r9θ + uβ r ·sinθ 9u r9β - u2θ + u2βr r0 + u r 9uθ9θ + uθr 9uθ9θ - u ruθ r + uβ r ·sinθ 9uθ9β - u2β·cosθr ·sinθ θ0 + u r 9uβ9r + uθr 9uβ9θ + uβr ·sinθ9uβ9β + u ruβr + uθ·uβ·cosθ r ·sinθ β0 (13) 在上述计算中需用到下述 6 式 :9r09θ = θ0 , 9θ09θ = - r0 , 9β09θ = 0 9r09β = sinθβ0 , 9θ09β = cosθβ0 ,9β09β = - sinθr0 - cosθθ0 2 . 6 　拉普拉斯算子 ¨2 对速度的作用项¨2 u = 929r2 + 2r 99r + 1r2 929θ2 + cosθr2 ·sinθ 99θ+ 1 r 2 ·sin2θ 929β2 u rr0 + uθθ0 + uββ0 = 92 u r9r2 + 2 r 9u r9r - 2 u rr2 + 1r2 92 u r9θ2 + cosθr2 ·sinθ9u r9θ - 2 uθ·cosθ r 2 ·sinθ + 1 r 2 ·sin2θ 92 u r9β2 - 2r2 9uθ9θ - 2 r 2 ·sinθ 9uβ9β r0 + 92 uθ9r2 + 2r 9uθ9r + cosθr2 ·sinθ9uθ9θ + 1 r 2 92 uθ9θ2 - uθr2 ·sin2θ+ 2r2 9ur9θ + 1r2 ·sin2θ92 uθ9β2 - 2cosθ r 2 ·sin2θ 9uβ9βθ0 + 92 uβ9r2 + 2r 9uβ9r + cosθr2 ·sinθ9uβ9θ + 2 r 2 ·sinθ 9u r9β - uβr2 ·sin2θ+ 1r2 92 uβ9θ2 + 2cosθ r 2 ·sin2θ 9uθ9β + 1r2 ·sin2θ92 uβ9β2 β0 (14) 2 . 7 　N - S 方程在球坐标中的表示式 将 (13) 式及 (14) 式代入 N - S 方程的矢量 表示式中 ,即可给出 N - S 方程在球坐标中的表 示式 :9u r9t + u r 9u r9r + uθr 9u r9θ + uβr ·sinθ9u r9β - u 2 θ + u 2 β r = Fr - 1 ρ 9p9r +ν 92 u r9r2 + 2r 9u r9r + 1 r 2 92 u r9θ2 + cosθr2sinθ9u r9θ + 1r2sin2θ92 u r9β2 - 2r2 9uθ9θ - 2 u r r 2 - 2 uθcosθ r 2 ·sinθ- 2 r 2 ·sinθ 9uβ9β9uθ9t + ur 9uθ9r + uθr 9uθ9θ+ uβr ·sinθ9uθ9β+ ur ·uθr - u 2 β·cosθ r ·sinθ = Fθ - 1 ρ·r 9p9θ +ν 2r 9uθ9r +92 uθ9r2 + 1r2 92 uθ9θ2 + cosθr2sinθ9uθ9θ + 1r2sin2θ92 uθ9β2 + 2 r 2 9u r9θ - uθr2 ·sin2θ - 2cosθr2 ·sinθ9uβ9β 32第 4 期 　　　　　　　　　　黄庆达 : N2S 方程在不同坐标中的直接导出 　　　　 9uβ9t + ur 9uβ9r + uθr 9uβ9θ+ uβr ·sinθ9uβ9θ+ ur ·uβr + uθ·uβ·cosθ r ·sinθ = Fβ - 1 ρr ·sinθ 9p9β +ν 92 uβ9r2 + 2 r 9uβ9r + 1r2 92 uβ9θ2 + cosθr2sinθ9uβ9θ + 1r2sin2θ92 uβ9β2 + 2 r 2 ·sinθ 9u r9β - uβr2 ·sin2θ+ 2cosθr2 ·sinθ9uθ9β (15) 参 　考 　文 　献 : [1 ] 孔 　珑 . 工程流体力学 (第 2 版) [ M ] . 北京 : 水 力水电出版社 , 1992. [2 ] 周谟仁 . 流体力学 泵与风机 (第 3 版) [ M ] . 北 京 : 中国建筑工业出版社 , 1994. [3 ] 徐芝纶 . 弹性力学 [ M ] . 北京 : 人民教育出版社 , 1982. [4 ] 武汉建材学院基础部与武汉师范学院教育系. 工程 数学 [ M ] . 北京 : 人民教育出版社 , 1980. [5 ] 西安冶金学院. 供热与通风 [ M ] . 北京 : 中国工业 出版社 , 1961 [6 ] 李富成 . 流体力学及流体机械 [ M ] . 北京 : 冶金工 业出版社 , 1980 [7 ] Jerry H , Ginsberg & Joseph. Genin. Combined ver2 sion. (second edition) [ M ] . New York : Statics and Dynamics American press Inc , 1984. [ 8 ] Памрашещ А Н ГпграмеханпкаВоенноморскожо мпнпсмерсмщаСоюзаССРмоскъа, 1962. 42 　　　　　　　　　　　　天 　津 　理 　工 　学 　院 　学 　报 　　　　　　　　　　　　16 卷