Wallis公式新证明

第 11卷 第 3期 2011年 1月 1671— 1815(2011)3-0548—03 科 学 技 术 与 工 程 Science Technology and Engineering Vo1．11 No．3 Jan．201l ⑥ 201 1 Sci．Tech．Engng． 数学 Wallis公式新证明 屈芝莲 (宝鸡职业技术学院基础部，宝鸡 721013) 摘 要 借助于类比思维，利用根与系数关系类似联想的思维方法及差分方程解的收敛性，给出了沃利斯(Wallis)公式的新 证明。旨在借鉴模仿创新思想，利用新视角方法，促进工程数学与实际问题的融合，打通复杂计算的瓶颈，建立快速通道。 关键词 沃利斯公式 根与系数关系 差分方程 收敛 中图法分类号 O156．4； 文献标志码 A 沃利斯公式是关于圆周率的无穷乘积的公式， 在历史上第一次把 叮T示为有理数列的极限。沃 利斯公式形式上十分简单．虽然沃利斯公式对 的 近似计算没有直接影响，但是在导出Stirling公式中 及工程数学与实际问题计算中起到了重要作用。 近现代数学家学者给出了不少更严格的新证 明，半个世纪以来，已发表了十余种新简捷初等证 明，其中文献[1，2]证明更简捷。 1 有限次代数方程根与系数关系类比到无 限次方程法 类比的思维是人们把解决个别问题所得的经 验用来解决其它类似问题的一种类似联想的思维 方法。类比这一重要的数学方法，曾被 17世纪德国 著名数学家和天文学家开普勒(Kepler J，1571— 1630)视为“知道大 自然一切秘密”的“导师”，被波 利亚称作科学发现的“伟大的引路人”。这里我们 2010年 l0月21日收到 陕西省自然科学基金项 目(SJ08A28)资助 作者简介 ：屈芝莲(1958一)，女，汉族 ，陕西宝鸡人，副教授，研究方 向：基础数学。 也采用类比思维 有限次代数方程次方程 a0+aI +a2x +⋯ 十 ann =0，a。≠0，如果有 n个不同的根 A ，A ，A ，⋯， A ，则左边的多项式就能够表示为n线性因子乘积， 即 aO + a1 + fz2 2 + ⋯ + a n = ( 一 )( 一 )( 一意)-．’( 一 )。 比较这个恒等式两边 同次幂的系数，就得到 根与系数的关系。 特别地如果是偶次方程 b。一bl 十b2x +⋯ + (一1) bnx =0有2n个不同的根 。，一 。， ：，一 ， ⋯ ， ， 一 ，贝0 b0一bl +b2x +⋯+(一1) bnx = 6。( 一蓦)(t一善)( 一耋)⋯( 一薹)，比较二次项 系数有 6 =6。( + ；+⋯+ ) c 根据幂级数展开式 ，假设 ≠0，有 = 一 3 + 一 +⋯ (2) !。5 1 7 1。 、～ 3期 屈芝莲 ：Wallis公式新证明 549 利用无穷多项方程 ～ 葑+筹一薯+⋯：。 (3) 甫于方程 (3)的根 为 ：±叮T，±2,rr，±3'rr，±4叮T ， ±5订．⋯ 因而有 = 一务2+务4一 6if,+⋯=( 一 q．．f2)( 一 )× 一 + 一 一 (卜 一斋 )× 1一裔 )⋯(卜斋2)⋯= (-一裔2)。 sln~ x = n =l(1一 2 1I 似 I n (4) 由于 绝对收敛 ，故这无穷乘积是 =】 n竹 J 。 ’ ⋯ —一 绝对收敛的。 在式(4)中令 = 1 ，得 詈=鱼 ‰ = [直 ] ： 圳 ] 。 这即沃利斯公式 2 利用差分方程解的收敛 差分方程是解决实际问题的有力工具 ，运用得 当，可以化难为易。 设 =f cosn = fo c。s“一 dsin =[~oso-,JO 戈sjn ] 一 ⋯⋯ J 0 si ～ ⋯ ， ㈣ 础 ～ (n一1) "rr ⋯ n ：(n-1 一(n一 1)Io (5) 由此得差分方程： = ， 一 。 ，O J( =詈，，】：2 COSX =l，可得 = × ⋯ 丢×专×芋： 号 c6 d rcos O 2 = t × 7 m -L ，，～ 一 1 — 2 m -4 ⋯ 生5 × 3 ： 1 2，，0 — 3 一f2m+ 、fT ，一f n， f 詈，后为偶数 ⋯ { 2m 1，2 刀 f + )『1’ n ／ 日J姒 z ∈ [0，手]。 由于0≤ ≤号时，0≤COSX≤1，于是0≤ cos2m+l < cos < e0s m一。 ，我7『]有 O < Cos2m+I ． ~ ≤ Cos2mx ≤ 2COS2m-I X 。 即 0<，2 +1≤，2 ≤，2 一 。 由递推式(5)有： < < = 我们立刻得到： ， ≠ =1 (8) 』2 m + 1 结合式(6)、式(7)有 = {【 ] t。 即得到著名的沃利斯公式 ] ：芋。 参 考 文 献 】 匡继吕·常用不等式 (第三版) ． 济南：山东科学技术出版种 ． 2004：290 2 刘 证·Wallis公式 的一个新证明注记 ，高等数学研究 ，2005： 550 科 学 技 术 与 工 程 11卷 (1)：14—16 3 菲赫金哥尔茨 r M．微积分学教程 ：第二卷，第一分册．北京大学 高等数学教研组译．上海：商务印书馆，1955：l39—370 4 华东师范大学数学系．数学(第三版)．北京：高等教育出版 社 ，2001 New Proof of the W allis Formula QU Zhi—lian (Faculty of Science，Baoji Vocational Technology College，Bali 721013，P．R．China) [Abstract] With the help of analogical thinking，similar association thought method of relations between roots and coefficients are used，and the convergence of difference equations are given Wallis formula of the new proof． Learn from imitation to innovative ideas，using new perspective method，facilitating the integration of mathematics practical problems，open up the bottleneck of complex calculations to establish fast—track． [Key words] Wallis formula relationship between roots and coefficients difference equations conver- gence ； (上接第0547页) 3 Bollino K P．High-fidelity real—time fl-ajectory optimization for reus- able launch vehicles．Doctoral Thesis，Naval Postgra—duate Schoole ， December 2006 4 王志刚．远程火箭与卫星轨道力学基础．西安：西北工业大学出 版社 ，2006 5 李新国，方 群．有翼导弹飞行动力学．西安：西北工业大学出版 社 ．2005 6 马振华．现代应用数学手册——运筹学与最优化理论卷．北京： 清华大学出版社，1998 7 袁亚湘，孙文瑜．最优化理论与方法．北京：科学出版社，2003 8 周风岐．现代控制理论及其应用．西安：西北工业大学 出版 社 ．1994 9 封建湖，车刚明，聂玉峰．数值分析原理．北京：科学出版 丰十．2002 10 郑本武．航天飞机再人大气层最优轨迹．南京航空航天大学学 报，1993；25(4)：431__437 The Optimization Design of the Near Space Vehicles’Re-entry Trajectory WANG Le，FANG Qun，OU Yue—feng (College of Astronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，P．R．China) [Abstract] This research introduces the application of genetic algorithms method on the optimization design of the near space vehicles’re—entry trajectory．The performance index is chosed to minimize the square of the differ— ence between the actual term inal velocity and the ideal velocity．Using the penalty function method and the bound operator method，the constrained optimal control problem is transformed into the unconstrained optimal control prob— lem．By imposing the pangteliya the principle of the minimum and optimal control theory on the performance index， a group of the canonical equation，control equation and boundary condition are ultimately got．In the last，the re‘ entry trajectory optimization problem is solved using conjugate gradient method in C++environment．It is shown that the optimal re-entry trajectory by above methods could meet various restrictive conditions．Therefore，the con- jugate gradient method is a viable approach to the optimization of the near space vehicles’re—entry trajectory． [Key words] near space vehicle optimal control conjugate gradient method