保险费

1 第五章 年缴保费 本章主要研究两个内容：均衡纯保费（又称均衡净保费）与均衡毛保费。 第一部分： 年缴纯保费 分期缴纳的纯保费，由于以被保险人的生存为条件，因而形成一种从保单签 单之日开始的生存年金。这种生存年金的精算现值应等于保险金给付的精算现值 （即趸缴纯保费），即遵从 原则。 本章的结构体系（以缴纳保费的频率快慢来划分）： m      年缴一次的均衡纯保费 均衡纯保费 年缴 次的均衡纯保费 连续缴费的均衡纯保费 。 本章将按保费缴纳频率来划分为三节加以研究。 本章将以年缴一次均衡纯保费为例，研究其重要运用：即对保费返还保单进 行分析。 重点研究三种模型：一是全离散式：保险金在死亡年末给付，保费在各年初 生存时缴纳；二是半离散式：保险金在死亡时刻给付，保费在各年初生存时缴纳； 三是全连续式：保险金在死亡时刻给付，保费以连续生存年金方式缴纳。 尽管本章是均衡纯保费，实际上也存在变额保费方式，原理也是一样的，本 章只简单提及一下，有兴趣读者可进一步探讨。 第一节 年缴一次的均衡纯保费 一、人寿保险的均衡纯保费 （一）死亡年末给付保险金的人寿保险 1.终身寿险 （1）终身缴费 设（ x）参加的、于死亡年末给付保险金 1、终身缴费、年缴一次的终身寿 险的年缴均衡纯保费为 xP 。设保险人的损失变量（或称为亏损变量）为 0 xL ，则 2 1 0 1 K x x K L v P a+ + = − ɺɺ 。 （5.1.1） 从纯保费的角度以及收支平衡原则有 0( ) 0xE L = ，即 1 1 ( ) ( ) 0K x KE v P E a + + − =ɺɺ （5.1.2） 亦即 x x xP a A=ɺɺ （5.1.3） （5.1.3）体现了收支平衡原则，即保险费收入的精算现值等于保险金给付 的精算现值，并由此可求得 x x x A P a = ɺɺ = x x M N 。 （5.1.4） 下面考虑 0var( )xL ，为此，先对 0 xL 进行变形可得 1 1 0 1 KK x x v L v P d + + − = − = 1(1 ) Kx xP Pv d d ++ − （5.1.5） ∴ 10var( ) (1 ) var( )Kxx P L v d + = + = 2 2 2(1 ) ( )x x x P A A d + − = 2 2 2( ) x x x A A da − ɺɺ = 2 2 2(1 ) x x x A A A − − 。 （5.1.6） 在 1x xA da= − ɺɺ 两边同除以 xaɺɺ ，可得所以 1 x x P d a = − ɺɺ （5.1.7） 或 1 x x d P a = + ɺɺ （5.1.8） （5.1.8）的解释： 在（5.1.4）的右边的分子分母同乘以 d ，整理可得 1 x x x dA P A = − （5.1.9） 3 或 x x x xP dA P A= + （5.1.10） （5.1.9）、（5.1.10）的解释： （2）限期缴费 设保额为 1，限期 h年缴费的终身寿险年缴均衡纯保费为 h xP ，保险人的亏损 变量为 0h xL ，那么 1 1 0 1 ( 0,1, 2 1) ( ) K h x Kh x K h x h v P a K h L v P a K h + + +  − = − =  − ≥ ɺɺ ⋯ ɺɺ （5.1.11） 由 0( ) 0h xE L = 可得 : x h x x h A P a = ɺɺ = x x x h M N N +− 。 （5.1.12） 2.定期寿险 设 1 :x n P 为保额为 1的 n年定期寿险的年缴纯保费，由收支平衡原则可得 1 1 : : :x n x n x n P a A=ɺɺ （5.1.13） ∴ 1 1 : : : x n x n x n A P a = ɺɺ = x x n x x n M M N N + + − − （5.1.14） 同理可得，限期 h年缴费的 n年定期寿险的年缴纯保费为 1 1 : : : x n h x n x h A P a = ɺɺ = x x n x x h M M N N + + − − 。 （5.1.15） 3.两全保险 设 :x n P 为保额为 1的 n年期两全保险的年缴纯保费， :h x n P 为限期 h年缴费的 保额为 1的 n年期两全保险的年缴纯保费， 1 :x n P 为保额为 1的 n年期纯生存保险 的年缴纯保费，于是 4 : : : x n x n x n A P a = ɺɺ = x x n x n x x n M M D N N + + + − + − （5.1.16） = : 1 x n d a − ɺɺ （5.1.17） = 1 1 : :x n x n P P + （5.1.18） 由（5.1.17）可得 : : 1 x n x n d P a = + ɺɺ 。 （5.1.19） : : : x n h x n x h A P a = ɺɺ = x x n x n x x h M M D N N + + + − + − 。 （5.1.20） 例 5.1.1 试写出两全保险亏损变量的方差。 解：记 0 :x nL 表示两全保险亏损变量的方差，则 1 : 1 0 : : ( 0,1, 2 1) ( ) K x n K x n n x n n v P a K n L v P a K n + +  − = − =  − ≥ ɺɺ ⋯ ɺɺ = : : : : : : 1 (1 )x n x n x n x n x n x n Z P P Z P Z d d d − − = + − ∴ 2 2 : : 0 2: : ( ) var( ) ( ) x n x n x n x n A A L da − = ɺɺ = 2 2 : : 2 : ( ) (1 ) x n x n x n A A A − − （5.1.21） 例 5.1.3 证明： 1x xx x x x vq a P P a a += + ɺɺ ɺɺ 。 （5.1.23） 证明：∵ xP = x x A aɺɺ = 1x x x x vq vp A a ++ ɺɺ = 1 1x x x x x vq vp a P a + ++ ɺɺ ɺɺ = 1 x x x x x vq a P a a ++ ɺɺ ɺɺ ∴（5.1.23）得证。 （5.1.23）实际上可以看成是终身寿险年缴纯保费的递推公式，显然， 1P vω− = ，由此可求出各年龄的年缴纯保费，这又是一种求年缴纯保费的方法。 例 5.1.4 已知 xP =0.01662， xa =17.155， xp =0.99229，求 1xA + 。 5 例 5.1.5 已知 1 :2x P = 1 1 :1 1:1 2 x x A A + + ，求 xq 与 1xq + 的关系。 例 5.1.6 以 CL1（2000-2003）2.5%为例，计算 30 岁的人投保了于死亡年 末给付保险金 100000 元的 20 年期保险，求其年缴均衡纯保费。如果这个保险是： （1）定期寿险；（2）纯生存保险；（3）两全保险。 解： 1 30:20 Pɶ =100000 1 30:20 P =100000 30 50 30 50 M M N N − − ≈ 1 30:20 P ɶ =100000 1 30:20 P = 50 30 50 100000D N N− ≈ 30:20 Pɶ = 30:20 100000P = 30 50 50 30 50 100000 M M D N N − + − ≈ （二）死亡所在1/m年末给付保险金的人寿保险 鉴于研究方法与保险金于死亡所在年末给付类似，因此，这里仅举一例，其 余由读者思考。对于保险金于死亡所在时刻给付的人寿保险，同样地处理。 ( ) 1 : ( ) m h x n P A 表示（ x）参加的，于死亡所在1/m年末给付保险金 1，限期 h年 缴费的 n年定期寿险的年缴保险费，那么 ( ) 1 ( ) 1 : : : ( ) m m x n h x n x h A P A a = ɺɺ ≈ 1 : ( ) : x n m x h Ai i a ⋅ ɺɺ = ( ) x x n m x x h M Mi i N N + + − ⋅ − 。 （5.1.24） （三）死亡所在时刻给付保险金的人寿保险 : ( ) x n P A 表示（ x）参加的，于死亡所时刻给付保险金 1 的 n年两全保险的年 缴保险费，那么 : : : ( ) x n x n x n A P A a = ɺɺ = x x n x n x x h M M D N N + + + − + − 。 （5.1.25） 二、年金保险的均衡纯保费 6 （一）每年给付一次的生存年金保险 设 ( )r xrP aɺɺ 表示（ x）参加的，延期 r年，每年初生存时给付 1，每年缴费 1 次，限期 r年缴费的终身生存年金保险的年缴纯保费，依收支平衡原则有 : ( )r x xr rx rP a a a=ɺɺ ɺɺ ɺɺ ∴ : ( ) xr x r r xr x x rx r a N P a a N N + + = = − ɺɺ ɺɺ ɺɺ 。 （5.1.26） （二）每年给付m次的生存年金保险 设 ( )( )mr xrP aɺɺ 表示（ x）参加的，延期 r年，每 1 m 年初生存时给付 1 m ，年缴保 费 1 次，限期 r年缴费的终身生存年金保险的年缴纯保费，依收支平衡原则有 ( ) ( ) : ( )m mr x xr rx nP a a a=ɺɺ ɺɺ ɺɺ ∴ ( ) ( ) : ( ) m xrm r xr x r a P a a = ɺɺ ɺɺ ɺɺ ≈ : 1 2 r x r xr x r m a v p m a − −ɺɺ ɺɺ = 1 2 x r x r x x r m N D m N N + + + − − − 。 （5.1.27） （三）每年连续给付的生存年金保险 | : ( )r r x nP a 表示（ x）参加的，延期 r年，每年连续给付 1，年缴保费 1 次， 限期 r年缴费的 n年定期生存年金保险的年缴纯保费，依收支平衡原则有 | |: : : ( )r r rx n x r x nP a a a=ɺɺ ∴ | :| : : ( ) r x n r r x n x r a P a a = ɺɺ 三、年缴纯保费的应用---死亡时返还保费的保单分析死亡时返还保费的保单分析死亡时返还保费的保单分析死亡时返还保费的保单分析 有些人寿保单，被保险人死亡时返还既缴保险费，甚至还按一定的利率 返还既缴保险费的利息，以增加保单的吸引力。 （一）返还的保费计算利息 假设预定利率为 i，返还的保费按利率 j计息，以 n年期纯生存保险为例， 设年缴保费为P，保险费返还的现值为W ，则 7 1 1 ( 0,1, , 1) 0 ( ) K K j Ps v K n W K n + +  = − =  ≥ ɺɺ ⋯ = 1 1 ( 0,1, , 1) 0 ( ) K K j v v P K n d K n + + − = −   ≥ ɶ ⋯ 其中， 1 1 1 1 j v i i + = = + + ɶ ɶ ， 1 i j i j − = + ɶ ， 1 j j d j = + 。 1 1 : : ( ) ( ) x n x n j P E W A A d = − ɶ （5.1.29） 于是，在一般情形下有 1 :: ( )xx n nPa A E W= +ɺɺ （5.1.30） 将（5.1.29）代入（5.1.30）可求解出P。 特例，当 j i= 时， 0i =ɶ ，此时 1 : : ( ) ( ) (1 )nn x n x n xx n x n P P E W q A p A v p d d = − = − − + = : [ (1 ) ]n n xx n P da v p d − −ɺɺ = : ( )n xx n nP a E s−ɺɺ ɺɺ 。 （5.1.31） 将（5.1.31）代入（5.1.30），得 1 :: :x n xx n n x n n Pa A Pa P E s= + −ɺɺ ɺɺ ɺɺ ∴ 1 n P s = ɺɺ 。 （5.1.32） 显然，对于定期寿险有 1 :x n n x n A P E s = ɺɺ （5.1.33） 对于两全保险有 :x n n x n A P E s = ɺɺ 。 （5.1.34） （二）返还保费不计利息 返还保费不计利息，即 0j = 。那么 8 1( 1) ( 0,1, , 1) 0 ( ) KP K v K n W K n + + = − =  ≥ ⋯ 1 : ( ) ( ) x n E W P IA= 。 仍然以纯生存保险为例，那么 1 1 :: : ( )xx n n x nPa A P IA= +ɺɺ （5.1.35） ∴ 1 : 1 : : ( ) x n x n x n A P a IA = −ɺɺ 。 （5.1.36） 对于定期寿险、两全保险、延期寿险、甚至年金保险只需将（5.1.36）的分 子变为相应保险的趸缴纯保费即可。 例 5.1.9 以 CL1（2000-2003）2.5 为%计算基础，计算下列条件下的年缴 纯保费。（1）一个现年 30 岁的人，采用限期 20 年缴费，购买年额为 10000 元的 30 年延期的期末付的终身年金保险；（2）在问题（1）中，若在 30 年延期内死 亡，返回的保费不计利息；（3）在问题（2）中，将缴费期延长到 30 年，且返还 的保费按预定利率计息；（4）在问题（2）中，将缴费期延长至 30 年；（5）在问 题（1）中，将缴费期延长至 30 年。 解：（1）设年缴纯保费为 1P，则 1 303030:20 10000Pa a=ɺɺ ∴ 3030 611 30 5030:20 10000 10000 a N P a N N = = −ɺɺ ≈4088.48。 （2）设年缴纯保费为 2P ，则 1 1 2 30 2 230 2030:20 30:20 30:10 10000 ( ) 20P a a P IA P A= + +ɺɺ ∴ 30302 1 1 2030:20 30:20 30:10 10000 ( ) 20 a P a IA A = − −ɺɺ = 61 30 50 30 50 50 50 60 10000 ( ) ( 20 ) 20( ) N N N R R M M M− − − − − − = 61 30 50 30 50 60 10000 ( ) ( ) 20 N N N R R M− − − + ≈4318.45。 （3）设年缴纯保费为 3P ，则 9 3 30 3 30 303030:30 30:30 30 10000 ( )Pa a P a E s= + −ɺɺ ɺɺ ɺɺ ∴ 3030 613 30 30 6030 30 10000 10000a N P E s s D = = ⋅ ɺɺ ɺɺ ≈3292.67。 （4）设年缴纯保费为 4P ，则 1 4 30 43030:30 30:30 10000 ( )P a a P IA= +ɺɺ ∴ 30304 1 30:30 30:30 10000 ( ) a P a IA = −ɺɺ = 61 30 60 30 60 60 10000 ( ) ( 30 ) N N N R R M− − − − ≈3232.68。 （5）设年缴纯保费为 5P ，则 5 303030:30 10000Pa a=ɺɺ ∴ 615 30 60 10000N P N N = − ≈3078.48。 第二节 年缴m次的均衡纯保费 本节主要讨论真实纯保费、比例纯保费。 一、真实纯保费 年缴m次（ 1m > ）的真实纯保费指的是每 1 m 年初生存时就缴纳该 1 m 年分期 保费的一种均衡年缴纯保费。 （一）死亡年末给付保险金的人寿保险 1.终身寿险 设 ( )mxP 表示死亡年末给付保险金 1 的终身缴费终身寿险年缴m次，每 1 m 年 初生存时就缴纳该分期保费 ( )1 mxP m 的年缴真实纯保险费。由收支平衡原则有 ( ) ( )m m x x xP a A=ɺɺ （5.2.1） ∴ ( )mxP = ( )xm x A a ɺɺ （5.2.2） 10 ≈ 1 2 x x A m a m − −ɺɺ 。 （5.2.3） 下面，进一步分析年缴保费m次的终身寿险的年缴纯保费 ( )mxP 与 xP 的关系。 由（5.2.3）右边的分子分母同除以 xaɺɺ ，并运用（5.1.8）可得 ( ) 1 1 ( ) 2 m x x x P P m P d m ≈ − − + （5.2.4） 或 ( ) ( )1 1 2 2 m m x x x x x m m P P P P P d m m − − ≈ + + 。 （5.2.5） （5．2.5）的解释： 11 2.定期寿险 设 ( )1 : m x n P 为 n年定期寿险的年缴真实纯保费，则 ( ) 1 1 : ( ): : m x n mx n x n A P a = ɺɺ （5.2.6） ≈ 1 : 1 : : 1 (1 ) 2 x n x n x n A m a A m − − −ɺɺ = 1 : 1 : 1 1 ( ) 2 x n x n P m d P m − − + （5.2.7） ∴ ( )1 : m x n P ≈ ( ) ( )1 11 1 : : : : 1 1 2 2 m m x n x n x n x n m m P P P P d m m − − + + （5.2.8） 3.两全保险 设 ( ) : m x n P 为 n年两全保险的年缴真实纯保费，则 ( ) : ( ): : m x n mx n x n A P a = ɺɺ （5.2.9） 或 ( ) : m x n P ≈ ( ) 1 ( ) : : : : 1 1 2 2 m m x n x n x n x n m m P P P P d m m − − + + 。 （5.2.10） 4.限期 h年缴费的人寿保险 ( ) ( ) : m x h x m x h A P a = ɺɺ （5.2.11） ( ) 1 1 : ( ): : m x n h mx n x h A P a = ɺɺ （5.2.12） ( ) : ( ): : m x n h mx n x h A P a = ɺɺ （5.2.13） （二）死亡所在 1 m 年末给付保险金的人寿保险 1.终身寿险 令 ( ) ( )( )m mxP A 表示于死亡所在 1 m 年末给付保险金 1 的终身寿险的年缴纯保 费，则 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m x x m x A P A a = ɺɺ （5.2.14） 且 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )m m mxm x d P A a = + ɺɺ 。 （5.2.15） 2.定期寿险 ( ) 1 ( ) 1( ) : ( ): : ( ) m m m x n mx n x n A P A a = ɺɺ （5.2.16） 3.两全保险 ( ) ( ) ( ) : ( ): : ( ) m m m x n mx n x n A P A a = ɺɺ （5.2.17） 4.限期缴费的人寿保险 ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) m m m x h x m x h A P A a = ɺɺ （5.2.18） ( ) 1 ( ) 1( ) : ( ): : ( ) m m m x n h mx n x h A P A a = ɺɺ （5.2.19） ( ) ( ) ( ) : ( ): : ( ) m m m x n h mx n x h A P A a = ɺɺ （5.2.20） （三）死亡所在时刻给付保险金的人寿保险 这里只列举即期寿险情形下的年缴真实纯保费的计算公式。 ( ) ( ) ( )m xx m x A P A a = ɺɺ （5.2.21） 1 ( ) 1 : ( ): : ( )m x n mx n x n A P A a = ɺɺ （5.2.22） ( ) : ( ): : ( )m x n mx n x n A P A a = ɺɺ 。 （5.2.23） 例 5.2.1 已知 (6) 1 20:20 1 20:20 1.03 P P = ， 20:20 0.05P = ，求 (6) 20:20 P 解：∵ (6) 1 20:20 1 20:20 1.03 P P = 13 ∴ 1 1 20:20 20:20 (6) 20:20 20:20 1.03 A A a a ÷ = ɺɺ ɺɺ ∴ 20:20 (6) 20:20 1.03 a a = ɺɺ ɺɺ ∴ (6) 20:20 20:20 (6) (6)20:20 20:20 20:20 20:20 A a P P a a = = ɺɺ ɺɺ ɺɺ =0.05 1.03 0.0515× = 。 二、比例纯保费 比例纯保费就以比例期初付生存年金方式每年缴纳的纯保费，保费缴纳完全 依赖于被保险人生存时间的长短，即缴费直至被保险人死亡为止。 （一）死亡所在年末给付保险金的人寿保险 1.终身寿险 设死亡所在年末提供保险金 1 的终身缴费终身寿险的年缴m次的比例纯保 费为 { }mxP ，于是由收支平衡原则有 { } { }m m x x xP a A=ɺɺ （5.2.35） 解之得 ( ) { } { } m m x x x m x x A d A P a aδ= =ɺɺ ≈ ( ) 1 ( ) 2 m x x d A aδ −ɺɺ （5.2.36） 也可以采用保险调整法。首先，计算出死亡所在 1 m 年来返还多缴的保费近 似值为 { }1 2 m xP m ；其次，将其以终身寿险的死亡保险金形式一同给付给被保险人， 因此 { } { } { }1(1 ) 2 m m m x x x xP a P A m ≈ +ɺɺ （5.2.37） ∴ { } { } 1 2 m x x m x x A P a A m ≈ −ɺɺ = 1 1 (1 ) 2 2 x x x A m a da m m − − − −ɺɺ ɺɺ = 1 1 (1 ) 2 2 x x A d a m + −ɺɺ （5.2.38） = 1 1 1 2 2 x x P m d P m − − − （5.2.39） 14 通过级数展开，容易证明 ( )md δ ≈ 11 2 d m + ，进而可以证明 { } ( ) m x xm a a d δ =ɺɺ ≈ 1 1(1 ) 2 2 xd a m + −ɺɺ ， （5.2.40） 由此表明，（5.2.38）成立。 由（5.2.39）可以得到如下近似公式 { } { } { }1 1 2 2 m m m x x x x x m P P P P P d m − ≈ + + 。 （5.2.41） （5.2.41）的解释：死亡所在年度未缴纳的保费平均为 { }1 2 m xP ，因而每年初 应补收 { }1 2 m x xP P ；同时，由于迟缴保费带来的利息损失为 { } 1 2 m x m P d m − ，因此应在 xP 的基础上补充上面两项损失后就可得到 { }mxP 。 2．定期寿险 依据比例纯保费的定义可得 { } 1 { } 1 : : : m m x n x n x n P a A=ɺɺ （5.2.42） ∴ { }1 1 ( ) 1 : : { }: : : m m x n x n mx n x n x n A d A P a aδ= =ɺɺ 。 （5.2.43） 也可通过保险金调整法建立方程 { } { }1 1{ } 1 : : : : 1 (1 ) 2 m m m x n x h x n x n P a P A m = +ɺɺ （5.2.44） ∴ { }1 : m x n P = 1 : ( ) 1 : : 1 2 x n m x n x n A a A m −ɺɺ 。 （5.2.45） 对于限期缴费情形，有 1 1{ } : { }: : m x n h mx n x h A P a = ɺɺ 。 （5.2.46） 3.两全保险 ( ) ( ) : : { }: : : m m x n x n mx n x n x n A d A P a aδ= =ɺɺ （5.2.47） ( ) ( ) : : { }: : : m m x n x n h mx n x h x h A d A P a aδ= =ɺɺ （5.2.48） 对于死亡所在 1 m 年末、所在时刻给付保险金的人寿保险，仅举一例，有兴 趣的读者可以类似思考。 15 （二）死亡所在 1 m 年末给付保险金的人寿保险 ( ) 1 ( ) 1{ } : { }: : ( ) m m m x n mx n x n A P A a = ɺɺ 。 （5.2.49） （三）死亡所在时刻给付保险金的人寿保险 { } { } ( )m xx m x A P A a = ɺɺ 。 （5.2.50） 例 5.2.3 某 30 岁的人投保了保额为 100000 元的 20 年定期寿险，保险金 于死亡年末给付，假设年缴保费 12 次，以 CL1（2000-2003）2.5%为基础，计算： （1）每月真实纯保费；（2）每月比例纯保费。 解：（1）每年真实纯保费为 (12)1 30:20 100000P = 1 30:20 (12) 30:20 100000 A aɺɺ = 1 30:20 20 20 3030:20 100000 11 (1 ) 24 A a v p − −ɺɺ = 30 50 30 50 30 50 100000( ) 11 ( ) ( ) 24 M M N N D D − − − − ≈167.02 ∴每月真实纯保费为 13.92 元。 （2）每月比例纯保费为 {12} 1 30:20 100000P = 1 30:20 {12} 30:20 100000 A aɺɺ ≈ (12) 1 30:20 20 20 3030:20 100000 1 ( (1 )) 2 d A a v pδ − −ɺɺ = (12) 30 50 30 50 30 50 100000 ( ) 1 ( ) ( ) 2 d M M N N D D δ⋅ − − − − ≈167.03 ∴每月比例纯保费为 13.92 元。 第三节 连续缴费的均衡纯保费 16 一、死亡所在时刻给付保险金的寿险 （一）终身寿险 考虑连续缴费至死为止并于死亡之时给付保险金 1 的终身缴费终身寿险的 年缴纯保费设为 ( )xP A ，设保险人的亏损变量为 0 xL ，则 0 ( ) T x x T L v P A a= − （5.3.1） 由 0( ) 0xE L = 可得 ( ) 0x x xA P A a− = ∴ ( ) x xx x x A M P A a N = = 。 （5.3.2） 在 1x xA aδ= − 的两边同除以 xa ，得 1 ( )x x P A a δ= − （5.3.3） 或 1 ( )x x P A a δ= + 。 （5.3.4） 下面计算 0var( )xL 。由（5.3.1）可得 0 xL = ( ) 1 (1 ) ( )Tx x P A v P Aδ δ+ − （5.3.5） ∴ 0var( )xL = 2 ( ) (1 ) var( )Tx P A vδ+ = 2 2 2( )(1 ) ( )x x x P A A Aδ+ − = 2 2 2( ) x x x A A aδ − = 2 2 2(1 ) x x x A A A − − 。 （5.3.6） 例 5.3.1 已知 0.04µ = ， 0.06δ = ，求 ( )xP A ， 0var( )xL 。 解： xA = µ µ δ+ = 0.04 0.04 0.06+ =0.4 2 xA = 2 µ µ δ+ = 0.04 0.04 2 0.06+ × =0.25 17 ∴ ( ) 0.04 1 x x x A P A A δ = = − 0var( )xL = 2 2 2 0.25 (1 ) x x x A A A − = − 。 （二）定期寿险 设年缴纯保费为 1 : ( ) x n P A ，则 1 1 : : : ( ) x n x n x n A P A a = 。 （5.3.7） （三）两全保险 设 : ( ) x n P A 表示（ x）参加的，死亡时立即给付保险金 1，每年以生存为条件 连续缴费的 n年期两全保险的年缴纯保费。设 0 :x nL 为保险人的亏损变量，则 : 0 : : ( ) (0 ) ( ) ( ) T x n T x n n x n n v P A a T n L v P A a T n  − < ≤ =  − > 由 0 :( ) 0x nE L = 可得 : : : : 1 ( ) x n x n x n x n A P A a a δ= = − （5.3.8） 或 : : 1 ( ) x n x n P A a δ= + （5.3.9） ∵ 0 : : : :( )x n x n x n x nL Z P A Y= − = : : : ( ) 1 (1 ) ( )x n x n x n P A Z P Aδ δ+ − ∴ 2 2 : : 0 2: : ( ) var( ) (1 ) x n x n x n x n A A L A − = − 。 （5.3.10） 二、死亡所在 1 m 年末给付保险金的人寿保险 （一）终身寿险 设年缴纯保费为 ( )( )mxP A ，则 18 ( ) ( )( ) m m x x x A P A a = （5.3.11） （二）定期寿险 设年缴纯保费为 ( )1 : ( ) m x n P A ，则 ( ) 1 ( ) 1 : : : ( ) m m x n x n x n A P A a = （5.3.12） （三）两全保险 设年缴纯保费为 ( ) : ( )m x n P A ，则 ( ) ( ) : : : ( ) m m x n x n x n A P A a = （5.3.13） 三、死亡所在年末给付保险金的人寿保险 （一）终身寿险 设年缴纯保费为 xP ，则 x x x A P a = （5.3.14） （二）定期寿险 设年缴纯保费为 1 :x n P ，则 1 1 : : : x n x n x n A P a = （5.3.15） （三）两全保险 设年缴纯保费为 :x n P ，则 : : : x n x n x n A P a = （5.3.16） 例 5.3.2 某 30 岁的人投保了保额为 100000 元的 20 年定期寿险，保险金于 死亡年末给付，每年连续缴费，以 CL1（2000-2003）2.5%为基础，计算年缴纯 保费。 解：所求年缴纯保费为 1 1 30:20 30:20 30:20 100000 10000 A P a = 19 = 30 50 30 50 30 50 100000( ) 1 ( ) ( ) 2 M M N N D D − − − − ≈167.20。 例 5.3.4 某（35）参加了延期 30 年的期初付终身生存年金保险，年给付 额为 1，趸缴保费。保单规定：如果被保险人在 30 年延期内死亡，那么将退还 既缴的不计利息的保费。已知 65 9.92a =ɺɺ ， 35:30 0.22A = ， 135:30 0.07A = ，求此年金 保险的趸缴纯保费。 解：设趸缴纯保费为G，于是由题意可得 1 30| 3535:30G GA a = + ɺɺ ∴ 30| 35 1 35:30 1 a G A = − ɺɺ = 1 6535:30 1 35:30 1 A a A − ɺɺ = 1 6535:30 35:30 1 35:30 ( ) 1 A A a A − − ɺɺ = (0.22 0.07) 9.95 1.6 1 0.07 − × = − 。 补充习题： 5-16. 某 40 岁的人购买了 20 年延期，年额为 12000 元的期末付终身年金保 险，若限期 10 年保费，年缴一次，以 CL1（2000-2003）2.5%为例，求年缴保费。 5-17. 某 40岁的男子投保了20年缴费 20年期保险金额为20000元的纯生 存保险，并约定在保险期内死亡，返还已缴的纯保险费；若返还的保费：（1）不 计利息；（2）按年利率 2.5%计算利息，试以（CL1（2000-2003）2.5%为例，计 算该男子每年应分别缴纳的纯保险费。 5-18. 某 40 岁的人投保了 20 年期两全保险，保险金额为 20 万元，于死亡 年末给付，每年初均衡缴费一次，限期 10 年缴清保费，以（CL1（2000-2003） 2.5%为例，求年缴纯保费。 5-19. 某 30 岁的人投保了保额为 50000 元的 20 年两全保险，保险金于死亡 所在季末给付，假设年缴保费 4 次，以 CL1（2000-2003）2.5%为基础，计算：（1） 每年真实纯保费；（3）每年的比例纯保费。 5-20.对某（25）的人签发了一张终身寿险保单，保单规定：（1）若被保险 人在前 10 年死亡时给付保险金 10000 元，以后死亡则给付 20000 元；（2）前 10 年缴保费是以后年份的一半；（3）保费于被保险人 65 岁时缴清；（4）保险金于 被保险人死亡年末给付。以 CL1（2000-2003）2.5%为基础，求年缴纯保费。 详见：张运刚《寿险精算的理论与实验》西南财经出版社，2010 年 1 月 20 第二部分 毛保费 一、毛保费 毛保费（或毛保险费），又称为总保费，或营业保险费，是保险人向投保人 或被保险人实际收取的保险费。 以前所讲述的趸缴纯保费、年缴纯保费，是按预定利率、预定死亡率，依收 支平衡原则计算出来的，旨在用于抵补保险人所承担的赔付责任，即满足保险人 赔付的需要。 但是，保险公司作为一个经营实体、作为一个企业，在经营过程中要发生一 定的费用，如新契约费、代理人佣金、税金、行政管理费，也要获得合理的利润， 要考虑安全边际，等等。因此，保险人需要在纯保费的基础上附加一定的保费后， 再向投保人收取。这种在纯保费基础上附加的保费，称为附加保费。显然，附加 保费=毛保费−纯保费（这里的附加保费弥补了保险人的经营成本及获得适当的 利润）。 二、附加费用的分类与补偿 研究附加费用的目的是为了获得过去一段时期某公司或其某项业务发生的 附加费用的类型及其费用率（单位保额或单位保费支付附加费用的数额或比例）， 由此推断未来一段时期费用率的趋势，从而作出合理的关于预定费用率的假设。 这