实变函数知识点总结

第一章集合1集合的运算一、集合的概念定义1设有两个集合A，B。若xA∈，必有xB∈，则称A是B的子集或B包含A，记为ABBA⊂⊃或。若AB⊂，且存在xB∈满足xA∉，则称A是B的真子集。若ABBA⊂⊂且，则称A与B相等或相同。定义2设Λ是一个非空集合，对于每个α∈Λ，指定一个集合Aα，于是得到许多集合，它们的总体称为集合族，记为{}|Aαα∈Λ或{}Aαα∈Λ。二、集合的运算定义3设A，B是两个集合。（1）称集合{}|ABxxAxB∪=∈∈或为A与B的并集，即由A与B的全部元素构成的集合；（2）称集合{}|ABxxAxB∩=∈∈且为A与B的交集，即由A与B的公共元素构成的集合；定理1（1）交换律ABBA∪=∪，ABBA∩=∩；（2）结合律()()ABCABC∩∩=∩∩,()()ABCABC∩∩=∩∩;（3）分配律()()()ABCABAC∩∪=∩∪∩()()()ABCABAC∪∩=∪∩∪。更一般地有（4）()()ABABαααα∈Λ∈Λ∪∩=∩∪；（5）()()ABABαααα∈Λ∈Λ∩∪=∪∩；（6）设{}nA和{}nB为两集列，有()111nnnnnnnABAB∞∞∞===⎛⎞⎛⎞∪∪=∪∪∪⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠。定义4设A，B是两个集合，称集合{}\|ABxxAxB=∈∉且是A和B的差集，即在集合中而不在集合B中的一切元素构成的集合。如果BA⊂，则称\AB为B相对于A的补集或余集。定理2（1）(),,,,ccccccAAXAAAAXX∪=∩=∅==∅∅=；（2）\AB=cAB∩；（3）若AB⊂，则ccAB⊃；（4）若AB∩=∅，则cAB⊂；（5）()()()()()\\\,\\\ABCACBCABCABC∩=∩=∪。定理3（DMorgan法则）（1）()\\XAXAαααα∈Λ∈Λ∪=∩；（2）()\\XAXAαααα∈Λ∈Λ∩=∪；特别的，若X为全集，有（3）()ccAAαααα∈Λ∈Λ∪=∩；（4）()ccAAαααα∈Λ∈Λ∩=∪。定义5设X与Y是两个集合，称集合(){},|,XYxyxXyY×=∈∈是X与Y的直积集，简称X与Y的直积，其中()()1122,,xyxy=是指12xx=且12yy=。三、集合列的极限集定义6设{}kA是一列集合，分别称集合{}lim|kkAx→∞=∈k存在无穷多个k，使xA{}lim|kkAx→∞=∉k只有有限个k，使xA是集合列{}kA的上极限集与下极限集。注解：①limkkxA→∞∈⇔存在{}kA的子集列{}ikA，使ikxA∈，1,2i="；②limkkxA→∞∈⇔存在0N>，当kN>时，kxA∈；③11limlimkkkkkkkkAAAA∞∞=→∞=→∞∩⊂⊂⊂∪定理4设集列{}kA，则（1）1limkkknknAA∞∞→∞===∩∪；（2）1limkknknkAA∞∞==→∞=∪∩。注解：①()\limlim\kkkkEAEA→∞→∞=②()\limlim\kkkkEAEA→∞→∞=定理5（1）若{}kA是单调递增集列，则1limkkkkAA∞→∞==∪（2）若{}kA是单调递减集列，则1limkkkkAA∞→∞==∩四、集类定义8设X为一个集合，ζ是X上的一个非空集类，如果对任何12,EEζ∈，都有1212,\EEEEζζ∪∈∈，则称ζ为X上的一个环。如果还有Xζ∈，则称ζ为X上的一个代数或域。如果对任何一列kEζ∈，均有121,\kkEEEζζ∞=∪∈∈，则称ζ为X上的σ环，如果还有Xζ∈，则称ζ为X上的一个σ代数或σ域。定理6若ζ为环，则（1）ζ∅∈（2）任意12,EEζ∈，有12EEζ∩∈（3）若()αζα∈Λ是X上的环（或代数），则ααζ∈Λ∩是X上的环（或代数）。定理7设ζ为σ环，则（1）ζ为环；（2）对任意,1,2,,nEnζ∈="有1nnEζ∞=∩∈；（3）对任意,1,2,,nEnζ∈="有lim,limnnnnEEζζ→∞→∞∈∈；（4）()αζα∈Λ为X上σ环（σ代数），则ααζ∈Λ∩是X上σ环（σ代数）。定理8设A是由X的某些子集构成的集类，则存在唯一的环（或代数，σ环，σ代数）ζ，使（1）Aζ⊂；（2）任何包含A的环（或代数，或σ环或σ代数）*ζ，必有*ζζ⊂。定义9定理8中的环（或代数，或σ环或σ代数）ζ称为由集类A所张成的环（或代数，或σ环或σ代数），并用()Aζ（或()Aℜ或()Aσζ或()Aσℜ）来示。例题：设X为一非空集合，A为X的单点集全体所成的集类，则由①集类A所张成的环()Aζ={}|BB是X的有限子集若X为有限集，()Aζ也是代数、σ环、σ代数②若{}|nXanN=∈，则()Aζ={}|BB是X的有限子集()Aσζ=()Aσℜ=2A={}|BBX⊂2集合的势一、映射定义1有关映射的一些概念（舍）见教材P9。定理1设:TXY→为映射，则（1）()()1212;AAXATA⊂⊂⊂当时，有T（2）()()(),;TATAAXαααααα∈Λ∈Λ∪=∪⊂∈Λ（3）()()(),;TATAAXαααααα∈Λ∈Λ∩⊂∩⊂∈Λ（4）()()11212;BBYBTB−⊂⊂⊂-1当时，有T（5）()()()11,;TBTBBYαααααα−−∈Λ∈Λ∪=∪⊂∈Λ（6）()()()11,;TBTBBYαααααα−−∈Λ∈Λ∩=∩⊂∈Λ（7）()()()11ccTBTB−−=由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好注解：①、（3）中如：一个映射f把X全部映射成一个值，就可以造成左边为空集即可；②、()()()()TAATAA⊃=-1-1一般T，当T为单射时,有T③、()()11()()TBBTBB−−⊂=一般T，当T为满射时,有T定义2复合映射概念（舍）见教材P10二、集合的势定义3设A和B为两集合，若存在从A到B的一一映射，则称集合A与Ｂ对等，记为A~B注解：①、对等关系是等价关系②、设{}{}|,|ABαααα∈Λ∈Λ，其中{}Aα两两互不相交，{}Bα两两互不相交。若对任意的α∈Λ，有Aα~Bα，则Aαα∈Λ∪~Bαα∈Λ∪定义4如果集合A与B对等，则称A与B有相同的势或基数，记为AB=（其中A表示A的势或基数）定义5设集合A与B，记,ABαβ==，如果A~1BB⊂，则称α不大于β，记为ABαβ=≤=，如果αβαβ≤≠且，则α小于β，记为ABαβ=<=注解：对于有限集来说，基数可以看作集合中元素个数，而对于无限集，其基数表示所有对等集合共同的属性。结论：（1）映射T是从A到B的单射，则AB≤（2）映射T是从A到B的满射，则AB≥（3）设{}{}|,|ABαααα∈Λ∈Λ，其中{}Bα两两互不相交，若对任意的α∈Λ，有Aα~Bα，则ABαααα∈Λ∈Λ∪≤∪引理若21,AAA⊂⊂且A~2A，则A~1A~2A定理2（Bernstein）设A、B为两个集合，若AB≤且AB≥，则AB=三、可数集定义6凡是与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，它们的势（或基数）记作“阿列夫零”或a，称为可数势或可数基数。至多可数集的重要性质：性质1任一无限集A必含有可数子集，即a为无限集中最小的势；（定理3）性质2集合A是无限集的充要条件是A与其某一真子集对等；（定理4）性质3（至多可数集的性质）（定理5）（1）可数集A的任一子集B为至多可数集；（2）设12,,,nAAA"为至多可数集，则1niiA=∪仍为至多可数集，如果12,,,nAAA"中至少有一个可数集，则1niiA=∪为可数集；（3）设12,,,,nAAA""为至多可数集，则1iiA∞=∪仍为至多可数集，如果12,,,,nAAA""中至少有一个可数集，则1iiA∞=∪为可数集；（4）设12,,,nAAA"为可数集，则12nAAA×××"为可数集。（5）若集合{}12,,,|,1,,naaaiiiAxaAAin=∈=""为可数集，，则A为可数集。常用结论：①有理数集Q是可数集，nR中有理点集nQ为可数集。②1R中互不相交的开区间族是至多可数集。定理6若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则AB∪～A由证明归纳出两种证明对等的方法：（１）建立一一映射；设{}12,,Bbb="为可数集，AB∩=∅，由性质１知，Ａ存在可数子集{}112,,Aaa="，作映射:fABA∪→()212,,1,2,,,1,2,,,,1,2,kkkkkkaxakxfxaxbkxxabk−==⎧⎫⎪⎪===⎨⎬⎪⎪≠=⎩⎭"6""（2）要证A与B对等，可将A和B都分解为不交并，即1212,AAABBB=∪=∪再分别证明1A~1B，2A~2B()()()1111\,\\AAAAABAAABA=∪∪=∪∪⎡⎤⎣⎦四、不可数集定义7不是至多可数集的集合称为不可数集。定义8不可数集的基数称为连续基数，记作“阿列夫”或c定理7（常用的基数为c的集合）（1）[]{}0,1|01xRx=∈≤≤是不可数集；（2）R上任何区间的势均为c；（3）无理数集的势为c；（4）若kXc=，1,2,k="则1kkXc∞==∏；11,mkkkkXcXc∞==∪=∪=（5）若,,,XccXcαααα∈Λ=∈ΛΛ==∪且则定理8A⇔集合为A不可数集为无限集，且对A的任何可数子集B,有A~A\B定理9设A是任一无限集合，则2A≤A注解：①集合的基数中不存在最大基数②不存在集合A，使2A为可数集②22AA=定理10设集合A和B，若A~B,则2A~2B定理11可数集幂集的基数为连续基数，即2ac=。连续统假设：基数a与c之间是否存在其它的势？（至今悬而未决）3nR中的开集、闭集和Borel集一、nR中的距离、领域、区间定义1满足正定性、对称性、三角不等式的称为距离空间。定义2n维欧式空间定义3有界集定义定义4开球、闭球、球面的定义定义5nR中开区间、闭区间、半开半闭区间和体积的定义二、nR中开集定义6设nGR⊂，如果对任意xG∈，有0δ>，使(),BxGδ⊂，则称G为nR中开集。定理1nR中开集构成的集族τ满足下述三条性质：（1）,;nRτ∅∈（2）;ττ∈∩∈1212若G,G，则GG（3）,,;Gααατατ∈Λ∈∈Λ∪∈若G则称τ为nR上的一个拓扑，(),nRτ为拓扑空间。注解：无穷多个开集的交集不一定为开集，例如{}111,0nnn∞=⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠∩为闭集定义7（1）设nxR∈，若G为nR中的开集且xG∈，则称G为x的一个领域（2）设nER⊂，如果存在x的一个领域G，使得GE⊂，则称x为E的内点。（3）设nER⊂，nxR∈，如果对x任意领域既含有E的点，又含有cE的点，则称x为E的边界点。常用结论：①、();cEE∂=∂②、0;EE⊂③、()00.ncREEE=∪∪∂定理2设nER⊂，则（1）0E为开集；（2）0EEE⇔=为开集三、nR中闭集定义8设()(),1,2,knxxRk∈="，若()()()lim,lim0kkkkdxxxx→∞→∞=−=则称点列(){}kx收敛于X，记为()limkkxx→∞=两条收敛判定准则：（1）()()lim.kkkxxxG→∞=⇔∈对x的任何领域G，存在N>0，当k>N时，（2）()()lim1,2,,,lim.kkiikkxxinxx→∞→∞=⇔=="对每个有定义9设nER⊂，nxR∈，如果对X的任意领域G，必有{}(),GxE−∩≠∅则称X为E的聚点或极限点，聚点全体称为导集，记为'E；称'EEE=∪为E的闭包。相反，如果存在某个领域0G，使{}0GEx∩=，则称X为E的孤立点。常用结论：①、孤立点集为至多可数集；②、有限集为孤立点集，但可数集不一定为孤立点集，如Q。③、内点一定是聚点，但聚点不一定是内点；孤立点一定是边界点，但边界点不一定是孤立点。定理3设nER⊂，nxR∈，则以下为聚点等价性定义：()()(){}()()(){}()()20,,\;3,lim;4.kkkxEBxxEExxxxGEδδ→∞>∩≠∅=1为的聚点；任意存在中互异点列对的任意领域，它必含有的无穷多个点定理4设E是nR中的有界无限点集，则E中至少有一个聚点。定理5设k1,2,nERk⊂="，,则()()''1111''11111,.2,.mmmmkkkkkkkkkkkkkkkkEEEEEEEE====∞∞∞∞====⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞⊂=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∪∪∪∪∪∪∪∪定义10设nFR⊂，若FcnFRn为中的开集，则称为R中的闭集。定理6设{}|ncFRFμ=⊂为开集为所有闭集构成的闭集族，则μ具有下列性质：()()()()121212,,;3.nRFFFFFFαααμμμμαμ∈Λ∅∈∈∈∈∈Λ∈∪∩，；若则若，则注解：无穷多个闭集的并集不一定为闭集，例如11,1(0,1]nn∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∪左开右闭集定理7nER⊂设，则下列叙述等价：()()()()()()'234,1,2,,lim,kkkEEEEExEkxxxE→∞⊂=∈==∈"1为闭集；；；设若则。定理8(有限覆盖定理)Fℑℑℑ设F是有界闭集，是一族领域，覆盖了F,则在中必有有限个领域覆盖。拓广:(Lindelof定理)nEREE⊂ℑℑ设，为的一个开覆盖，则在中有至多可数个开集覆盖。定义11()()()()()'''123EEEEEEEEE⊂⊃=若，则闭集前面已证明；若，则称为自密集；若，则称为完备集或完全集。注解：①可数集为闭集；②设E为非空点集，若E的任意子集都为闭集，则E不一定是有限集，如自然数集。③有限个完全集的并集仍为完全集''111mmmkkkkkkEEE===⎛⎞==⎜⎟⎝⎠∪∪∪有限个完全集的交集不一定为完全集，如[][]{},,abbcb=∩④若E为非空完全集，则Ec=定义12()()12nncnEREREER=如果，则称为中的稠密集；如果在每个非空开集中存在非空开子集完全含于中，则称为中的疏朗集。常用结论：①集合E为稠密集的充要条件：任意非空开集G,必有GE≠∅∩。②集合E为疏朗闭集的充要条件：E的余集为稠密开集。疏朗集的余集为稠密集，但反之不成立，如有理数集与无理数集。③有理数集和无理数集均为R中的稠密集；自然数集和有限集均为R中的疏朗集。重要例子：（Cantor集）将【0，1】每次挖掉剩余闭区间的中间三分之一长的开区间后，剩下的部分{}[]111222122112122111,,,,,,,,,,,,0,1\.nnnnnnnnnnnnknnknFFFFIIIIIIPFI−−∞∞=====""""∩∪∪设第次剩余部分为，记，挖去的开区间列为作点集性质：①P为非空有界闭集；②P为完全集；③P为疏朗集；④Pc=四、nR中的Borel集。定义13至多可数个开集的交集为Gδ型集；至多可数个闭集的并集为Fσ型集。常用结论：①开集为Gδ型集，闭集为Fσ型集；②集合E为Gδ型集充要条件：E的余集为Fσ型集；③至多可数个Gδ型集的交仍为Gδ型集；至多可数个Fσ型集的并仍为Fσ型集。④任一至多可数集E为Fσ型集，特别的有理数集和有理点集为Fσ型集；无理数集和无理点集为Gδ型集定义14由nR中一切开集构成开集族τ生成σ代数称为Borel代数，简记ℜℜ中元素成为Borel集。常用结论：①开集、闭集、Gδ型集与Fσ型集皆为Borel集；②Borel集的余集为Borel集；③Borel集的并、交、上（下）极限皆为Borel集。五、开集的构造定理9（nR开集的构造）（详细原理见教材P31）()()()()()()()()11,,,,,,,22nRGaabbRnG−∞+∞−∞+∞≥中非空开集是至多可数个互不相交的开区间的并集，反之亦真；中非空开集是至多可数个互不相交的半开半闭区间的闭集。六、点集间的距离定义15设12,,nxREE∈为nR非空集合，称()(){}11,inf,|dxEdxyyE=∈为点X到集合1E的距离。称()(){}1212,inf,|,dEEdxyxEyE=∈∈为集合1E到集合2E的距离。常用结论：()()()()()()12121,0,2,03,0,xEdxEExEdxEEEdEE∈⇒=∈⇔=≠∅⇒=∩反之不成立；若为闭集，则；反之不成立。引理设E为非空集合，则函数()(),fxdxE=在nR上一致连续推论1函数()()0,fxdxx=在nR上一致连续。定理10设F为nR中非空闭集，nxR∈，则存在yF∈，使得()(),,dxFdxy=定理11设12,FF为nR中非空闭集，且其中至少有一个集合是有界的，则存在12,xFyF∈∈，使得()()12,,dFFdxy=注解：定理11中“至少有一个集合是有界集”不能缺少，如(){}1212121,0|,,|0,ExxRRExxxRRx⎧⎫⎛⎞=∈⊂=≠∈⊂⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩⎭定理12（隔离性定理）若12,FF为nR中非空闭集，且12FF=∅∩，则存在nR中开集12,GG，使得112212,,GFGFGG⊃⊃=∅∩且。例：若F为nR中闭集，则F为Gδ型集；若G为nR中开集，则G为Fσ型集定理13（连续延拓）若F是nR闭集，()fx在F上的连续函数()()fxMxF≤∈则存在nR上连续函数()()()()(),ngxfxxFgxMxR=∈≤∈4集合与函数一、特征函数定义1X是非空集合，AX⊂，称()1,,0,AxAxxAχ∈⎧⎫=⎨⎬∉⎩⎭为集合A特征函数注解：显然()()()ABxxxXABχχ=∈⇔=定理1()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(){}()()()()()\limlim11;023,451;6max,min;7lim,lim;8limkkkkkkAAABABABABABABABABAAAAkAAAAkkkAXxAxABxxxXxxxxABxxxxxxxxxxAxxxxααααααααχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχ∈Λ∈Λ∈Λ∈Λ→=⇔≡=∅⇔≡⊂⇔≤∀∈=+−=∅==−⎡⎤⎣⎦====∪∩∩∪∩∩；；特别的时；；设是任一集列，则()()()()()limlimlimkkkkkAkAAkAxxXxxxXχχχ∞→∞→∞⇔∈=∈存在任意存在，且极限二、集合与函数归纳的一些重要集合等价式：（仅列举部分）()()()()()(){}()()()()()()()()()()()()111|0|;2E,limlim||;3||.nnnnnnkkknfxERExfxExfxnfxfxfxfxfxExfxExfxfxERfxEExfxcExfxccRαα∞=+→∞→∞⊂⎡⎤≠=>⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦≤=>=>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⊂⇔><∀∈⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∪1设定义在的实值函数，则定义在，则设定义在开集的实值函数，则在上连续与开集定义2()()()()()()()()(){}()()0000000'"'"0000000,,lim,limsup,,0,EnEEfxERxEfxBxEBxxxfxfxxxBxfxxxδδδδωωδδδδω++→→⊂∈===−∈<<∩EE设函数定义在集合上，若在上有定义，我们称为在出的振幅，当为开集，简记从而得到一些常用结论：（1）连续的等价条件：()()000fxxxω⇔=E在出连续（2）函数连续点集结构()()nfxGRfxGδ⊂设定义在开集的实值函数，则的连续点集为集第二章测度论实变函数论的核心问题是对数学中的黎曼积分进行推广，即Lebesgue积分。数学分析中黎曼积分的缺陷：一方面被积函数的连续性要求太强，以至于著名的Dirichlet函数这样一种非常简单的函数不可积；另一方面应用有局限，表现在可积函数项级数的逐项积分以及可积函数列的积分与极限的可交换性，一般要求函数列与函数项级数具有一致收敛性。改进两方面：一方面是积分范围划分的改进，由此产生了集合的测度；另一方面是对被积函数进行改进，由此产生了可测函数。本章介绍Lebesgue测度，它是通常意义下“面积或体积”的推广，即能保持其特性：①非负性；②当集合为区间时，其测度即为区间的体积；③完全可加性，即当{}iE为一列互不相交的有测度集合时，1iiE∞=∪的测度恰好为每个集合的测度之和。1外测度一、外侧度定义定义1设nER⊂，{}iI是nR中覆盖E的任一列开区间，即1iiEI∞=⊂∪，记1iiIμ∞==∑（μ可以取+∞），称所有这样的所成数集的下确界为E的Lebesgue外侧度，记为*mE，即*11inf|iiiimEIEI∞∞==⎧⎫=⊂∪⎨⎬⎩⎭∑注解：对任意nER⊂，*mE均存在。二、外测度的基本性质定理外测度具有如下性质：（1）对任意nER⊂，都有*0mE≥且*0m∅=（非负性）（2）设nBAR⊂⊂，则**mBmA≤（单调性）（3）设niAR⊂，则**11iiiimAmA∞∞==⎛⎞∪≤⎜⎟⎝⎠∑（次可加性）（4）设,nABR⊂，若(),0dAB>，则()***mABmAmB∪=+（隔离）注解：①、任何可数点集的外测度为零；②、若*0mA=，则对任意nER⊂，总有()**mEAmE∪=；③、零测集的任意子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集；④、对任何区间nIR⊂，总有*mII=；常用结论：1、若E有界，则*mE<+∞；若*mE=+∞，则E无界。2、Cantor集P、至多可数集、连续（可积）函数对应的图像的点组成的集合均为零测集，从而是可测集；3、若1ER⊂为有界集，且*0mE>，则对所有*0mEμ≤≤，存在1EE⊂，使*1mEμ=（推广的介值性定理）。2可测集外测度是否是通常意义下的“体积”的拓广，需满足完全可加性，而对外测度而言，只有当(),0dAB>时，才有()***mABmAmB∪=+，仅当AB∩=∅时，可能有(),0dAB=，完全可加性不一定成立，所以需改进。一、可测集的定义及等价条件定义1设nER⊂，如果对任意nTR⊂，总有()()***cmTmTEmTE=∩+∩，则称E为Lebesgue可测集，或称E是可测的，此时，E的外测度*mE称为E的Lebesgue测度，记为mE。注解：与外测度不同的是，并非每个集合都是可测的。定理1设nER⊂，则下列三种说法是等价的：（1）E是可测集；（2）cE是可测集；（3）对任意,cAEBE⊂⊂，总有()***mABmAmB∪=+注解：由（3）零测集为可测集，再由（2）推出nR可测。二、可测集的基本性质定理2（1）12121212,,,\EEEEEEEE⇒∪∩可测均可测；（2）()11,mmiiiiiEEE==⇒∪∩"i=1,2,,m可测可测，并且当iE两两不交时，11mmiiiiEmE==⎛⎞∪=⎜⎟⎝⎠∑m，（对于可数个可测集列也同样成立）。注解：（1）定理2中（2）说明了测度具有完全可加性；（2）lim,limnnnnEE→∞→∞可测。由于11lim,limnknknknnnknnEEEE∞∞∞∞==→∞==→∞=∪∩=∩∪。（3）综上所述，可测集对集合的至多可数并、交、差（余）及极限运算是封闭的，若μ表示nR中可测集全体，则显然μ是一个σ域。（4）2cμ=三、单调可测集列的性质定理3设()nE"n=1,2,为单调上升的可测集列，记1lim,limnnnnnnSEEmEmS∞=→∞→∞=∪==则。即极限集测度=测度极限。定理4设()nE"n=1,2,为单调下降的可测集列，记001lim,limnnnnnnnnEEEEmEEmE∞=→∞→∞∞=∩==若存在某个,使<+则,注解：①、定理4中条件“00nnEE∞若存在某个,使<+”不能去掉，否则结论不一定成立，如取()(),,nEn=+∞"n=1,2,，1lim0nnnnmEmEmEm∞→∞=⎛⎞=+∞≠==∩=∅⎜⎟⎝⎠。②、由定理3有1limnknknnEE∞∞==→∞=∪∩，kknE∞=∩中单调上升，有limlimnknknnmEmE∞→∞=→∞⎛⎞⎛⎞=∩⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠；③、由定理4有，1limnknnknEE∞∞→∞===∩∪中kknE∞=∪单调下降，若存在00,kkknknEE∞∞==⎛⎞∪∪<+∞⎜⎟⎝⎠使m，则()limlimnknnknmEmE∞→∞→∞=⎛⎞=∪⎜⎟⎝⎠考虑到nkknEE∞=⊂∪，则有nkknmEmE∞=⎛⎞≤∪⎜⎟⎝⎠两边取极限有，()limlimnnnnmEmE→∞→∞≤④、()limlimlimlimnnnnnnnnmEmEmEmE→∞→∞→∞→∞⎛⎞≤≤≤⎜⎟⎝⎠从而设nE为可测集，且limnnEE→∞=，若nE有界，则limnnmEmE→∞=⑤对任意可测集A、B，有（1）若(),BAmB⊂+则mA=mA\B（2）若(),mBmB<+∞≤则mA-mA\B（3）若(),,BAmBmB⊂<+∞=且则mA-mA\B3可测集类及可测集的结构一、可测集类定理1（1）零测集为可测集；（2）零测集的子集为零测集，从而为可测集；（3）至多可数个零测集的并集为零测集，从而为可测集。定理2nR中任何区间I都是可测集，mII=。注：区间包括开区间、闭区间、左闭右开区间、左开右闭区间定理3nR中的开集、闭集、Borel集都是可测集。注：Borel集是Gδ集（至多可数个开集的交集）与Fσ集（至多可数个闭集的并集）但并非每个可测集都是Borel集二、可测集与Borel集的关系定理4设nER⊂，则存在Gδ集G，使EG⊂，且*mGmE=定理5设nER⊂，则下列关系等价：（1）E为可测集；（2）对任意0ε>，存在开集G，使EG⊂，且()\mGEε<；（3）存在Gδ型集Ｇ，使EG⊂，且(),\0mGmEmGE==。注解：()\\EGGE=表明任意可测集可以表示成一Gδ型集与一零测集的差集。定理６设nER⊂，则下列关系等价：（1）E为可测集；（2）对任意0ε>，存在闭集Ｆ，使FE⊂，且()\mEFε<；（3）存在Fσ型集Ｆ，使FE⊂，且(),\0mFmEmEF==。注解：①、()\EFEF=∪②、以上两个定理表明，只要有了全部的Gδ和Fσ和全部的零测集，一切可测集都可以通过Gδ型集与一零测集的差集或Fσ型集与一零测集的并集获得。定理7设A、B分别为pR和qR中的可测集，若EAB=×，则E为pqR+中的可测集，且mEmAmB=•注解：定理证明中所用到的结论：①nR开集的构造：nR()2n≥中非空开集G是可数个互不相交的半开半闭区间的并集；②E是可测集，则存在一列单调递减的开集列{}nG，使得nEG⊂，且1\0nnmGE∞=⎛⎞∩=⎜⎟⎝⎠；或存在一列单调递增的闭集列{}nF，使得nFE⊂，且1\0nnmEF∞=⎛⎞∪=⎜⎟⎝⎠。（见教材P64课后习题20、21题）③当可测集A、B无界时，A、B分别都可以表示成一列互不相交的有界可测集的并集，即11,ijijAABB∞∞===∪=∪，其中,ijAB都是有界可测集。④思路：由定理5（3）存在Gδ集12,GG，使121,,AGBGmAmG⊂⊂=且()()212,\0,\0mBmGmGAmGB===**12\,\AGABGB==记()()()()****12\\\EABGGABABAB=×=××××第三章可测函数1可测函数的定义及简单性质一、可测函数的定义及等价定义1、简单函数定义1设E为可测函数，()fx为定义在E上的函数，如果（1）1miiEE==∪，其中iE为两两不交的可测集；（2）在每个iE上，()ifxc=，即()11,,mmcxEfxcxE∈⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪∈⎩⎭#亦即，()()1imiEifxcxχ==∑则()fx称为E上的简单函数。注解：①、可测集E上的两个简单函数的和、差、积仍为E上的简单函数；若()0gx≠时，()()fxgx也是E上的简单函数。②、复合函数中内函数为简单函数，则复合函数为简单函数。定义2设()fx为E上非负实函数，集合()(){}1,|,0nxyxEyfxR+∈≤<⊂称为()fx在E上的下方图形，记为(),GEf。注解：(),GEf为可测集，且()1,miiimGEfcmE==∑。2、非负可测函数定义3设E为可测集，()fx为定义在E上非负函数，如果存在一列单调递增的非负简单函数(){}mxϕ，即()()10nxxϕϕ≤≤≤≤""，使()()limmmfxxϕ→∞=，则称()fx为E上的非负可测函数或称()fx在E上非负可测。下面定理刻画了非负可测函数的特性：定理1设()fx为可测集E上的非负函数，则()fx在E上非负可测充要条件：对任意实数a，()|Exfxa<⎡⎤⎣⎦都是nR中可测集。3、一般可测函数定义4设()fx是定义在可测集E上实函数，如果对任意实数a，()|Exfxa<⎡⎤⎣⎦都是可测的，则称()fx为E上的可测函数，或称()fx在E上可测。下面给出可测函数的几种等价定义：定理2设()fx是可测集E上实函数，则下列各条件是等价的：aR∀∈，()|Exfxa>⎡⎤⎣⎦或()|Exfxa≥⎡⎤⎣⎦或()|Exfxa<⎡⎤⎣⎦或()|Exfxa≤⎡⎤⎣⎦是可测集，如果之一成立，则()fx为E上可测函数。常用结论：①区间上的连续函数和单调函数都是可测函数；②可测集E上连续函数为可测函数；③()fx为E可测函数充要条件：(),|rQExfxr∀∈>⎡⎤⎣⎦可测；而(),|rQExfxr∀∈=⎡⎤⎣⎦可测得不出()fx可测，设A不可测集，()[],,0,1\xxAfxxxA∈⎧⎫⎪⎪=⎨⎬−∈⎪⎪⎩⎭，()|Exfxr=⎡⎤⎣⎦为单点集或空集，而有()|0ExfxA≥=⎡⎤⎣⎦为不可测集。推论：若()fx在可测集E上为可测函数，则（1）()()()|,|,|ExfxExfxExfx⎡⎤=+∞=−∞=+∞⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦均可测；（2）对任意实数()(),||abExafxbExfxa≤≤<=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦和均可测。二、可测函数的简单性质定义6设()xπ是一个与集合E中的点x有关的命题，如果存在FE⊂，使0mF=且()xπ在\EF上恒成立，则称()xπ在E上几乎处处成立，记为()..xaeEπ成立于。例如：①对于【0，1】上的蒂尼克雷函数，即在有理点处取1在无理点处取0.由于有理点集为零测集，所以()[]..0,1Dxae=0,于。②设(){}(),nfxfx均为可测集E上的实函数，若()()|0nmExfxfx=⎡⎤⎣⎦不收敛于，则称(){}nfx几乎处处收敛于()fx。③设()fx为定义在可测集E上实函数，若()|0mExfx⎡⎤=+∞=⎣⎦，则称()fx在E上几乎处处有限。注解:①()fx在E上几乎处处有限，则()fx在E上可测充要条件：对任意实数a，b，()|Exafxb≤<⎡⎤⎣⎦为可测集。证明：（必要性）根据上述推论已得证。（充分性）()()()|a||ExfxExafxExfx≥=≤<+∞=+∞⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦∪，而()()1||1nExafxExanfxan+∞=≤<+∞=+−≤<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∪且根据上述推论知()|Exfx=+∞⎡⎤⎣⎦为可测集，从而()|aExfx≥⎡⎤⎣⎦可测。②(),|abExafxb∀<≤<⎡⎤⎣⎦可测推不出()fx在E上可测。反例：设110mEEEE>⇒∃⊂使为不可测集取()11,,\xEfxxEE+∞∈⎧⎫=⎨⎬−∞∈⎩⎭则(),|abExafxb∀<≤<∅⎡⎤⎣⎦=可测但()1,|aRExafxE∀∈≤=⎡⎤⎣⎦不可测。定理3若()()fxx，g在E上几乎处处相等，则当其中一个在E上可测，另一个也在E上可测。（()()||ExfxaExgxa>>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦与只相差一零测集）注解：此定理表明任意改变()fx在一个零测集上的函数值不改变()fx的可测性。定理4（1）若()fx在E上可测，0E为E的可测子集，则()fx在0E上可测；（2）若()fx在可测集()1,2mEm="上可测，则()fx在1mmEE+∞==∪上可测。引理设()()fxx，g在E上可测，则()()|Exfxx⎡⎤⎣⎦>g是可测集证明：全体有理数集{}12,,rr"，有分解()()()()1|||mmmExfxxExfxrExgxr+∞==><⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦∪∩>g。定理5若()()fxx，g在E上可测，则下列函数（假定它们都在E上有定义或几乎处处有定义）均在E上可测：()()()()()()()()()()()()11;2;3;4;5cfxfxgxfxfxgxfx+。设()fx定义在E上，令()(){}()(){}max,0,max,0fxfxfxfx+−==−，分别称为()fx的正部和负部。有()()()()()(),fxfxfxfxfxfx+−+−=−=+。定理6设()fx定义在可测集E上，则()fx在E上可测的充要条件：()(),fxfx+−均在E上可测。定理7若(){}mfx是上可测函数列，则()()()()()()()()()()()()111sup,infE2limsuplim,liminflimEmmmmkmkmmmmkmmkmhxfxlxfxxfxfxxfxfxμλ≥≥→∞→∞→∞≥→∞≥======在上可测；在上可测。证明：（1）()()()()11||;||mmmmExhxaExfxaExlxaExfxa∞=∞=≤=≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦≥=≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∩∩。（2）()(){}()(){}11infsup,supinfkkmkmkmmxfxxfxμλ≥≥≥≥==。注解:①特别的，若()limmmfx→∞存在，或几乎处处存在，则()li