二战中的数学问题——密码学

nullnull二战中的数学问题——密码学 课题组长：李佳音 高二（9）班 指导教师：孙凤建 组员：甘恬，谈天之，李斯凡，陈翀实，常天羽，汪宁远论文结构：论文结构：1 密码的起源和基本概念 密码起源于战争 密码的历史分为古典密码和近代密码，划分的依据是是否运用计算机。 二战前的密码都是古典密码。 古典密码的组成： 1古典替换密码体制 古典单码加密法 古典多码加密法 2古典换位密码体制 古典置换加密法论文结构：论文结构：2 二战中最著名的密码——恩尼格玛密码机 加密原理 恩尼格玛加密的关键 恩尼格玛密码机破解论文结构：论文结构：3 我们的自创密码（重点） 首先，我们发现有关字母的加密方法已经很多，也较为系统了，所 以我们希望为我们的母语自创一套加密方法。 经讨论，我们对于密码有几个要求（也作为编码的原则）： 1 密码里的对应法则要相对便于记忆（但不能和前人的太类似） 2 加密的过程要相对简单，容易理解 3 密码不能太简单，不能太容易被破解 美国数学家曾经利用素数特点发明了编制容易而极破译难的密码RSA 码，这一点启发了我， 让我想到了这样一个数学模型——素数 null汉字在编码上不如英语字母方便，汉字是方块象形字，缺少符号化的特点，所以首先可以将汉字转化成数字，这可以通过汉字区位码做到，每个汉字都可以表示成一个四位数abcd 我们先是对abcd直接处理，后来发现效果不好，较麻烦。 在以往的数学学习中，我们知道数学中有一种处理较复杂问题的方法，叫做二分法，四位数较难用人工研究，所以我想到把它拆开，通过研究两位数来达到简化问题的目的。 null密码也是一种对应，要求一一对应，而有关素数的数论中有一个很符合要求的定理。质因数分解定理 算术基本定理：“每一个大于1的整数都能分解成质因数乘积的形式，并且如果把质因数按照由小到大的顺序排列在一起，相同的因数的积写成幂的形式，那么这种分解方法是唯一的。”——又称为“质因数分解定理”，强调整数分解连乘积的形式；又称为“唯一分解定理（自然数），强调自然数分解唯一的性质。 ——百度百科null于是，我们有了最初的编码方法：将四位数abcd分解为两个两位数ab和cd 对于每个两位数可以唯一（这是可以构造成密码的保证）分解质因数： ，其中为 正整数， 为素数。 下面给出100以内的素数表： 强调：对应码不一定要顺序排列，这里为了更简单的介绍，采取了上面的对应码方式。null对于 斑（ 1663） 可以表示为 和 然后将素因子对应的对应码和素因子的次数分别写出（中间要空开）： 16对应 1 4 63对应 2 2 4 1 同样地， 73对应 21 1 97对应 25 1 30对应 1 1 2 1 3 1 20对应 1 2 3 1 反过来， 如12 1 对应37 1 1 4 2 对应98 那么四位数1663可以表示：1 4 2 2 4 1 考虑到在编码中，因为0在编码中无法作次数，也无法作为素数对应码，所以可以作为分成两个数的代表码 于是，1663可以表示：1 4 0 2 2 4 1 7397可以表示：21 1 0 25 1 3020可以表示：1 1 2 1 3 1 0 1 2 3 1null由上面的编码过程，下面完整地发送一句话——数学真奇妙 数4293学4907真5370奇3870妙3578 42=2*3*7 93=3*31 49=7*7 07=7 53=53 70=2*5*7 38=2*19 70=2*5*7 35=5*7 78=2*3*13 “数学真奇妙”：1 1 2 1 3 1 0 2 1 11 1 0 4 2 0 4 1 0 16 1 0 1 1 3 1 4 1 0 1 1 8 1 0 1 1 3 1 4 1 0 3 1 4 1 0 1 1 2 1 6 1 由密码表的特点，我将它命名为： L100密码大单元null自创密码分析： 我的最初想法是密码要与前人不同，所以有了上面的编码。 优势：1不同于所有的古典编码法，多次尝试法，出现频率和首选关联集分析法，概率分析法都无能为力了（它本身不是简单的对换，还加入了汉字代码的特点）。 2不需要密码本，操作简单，加密解密只需要基本数学知识。 劣势：1“0”的重复性是密码中的瑕疵，重复性往往是破解密码的关键。 2密码总共的单元数必然是偶数个，“0”分开的大单元数也必然是偶数个（加密本身的特性，应该无法改进）。null由于上面的不足，我们有了下面的推广与改进： 1“0”的处理（自我研究的核心） 观察到，每个大单元奇数位上没有重复（质因数分解本身的特点）因此可以用每个大单元中第一个数代替0 （解码中将第一个重复的数换回0，这样两个劣势都可以解决了）。 那么，“数学真奇妙”在L100密码下的最终结果： 1 1 2 1 3 1 1 2 1 11 1 2 4 2 4 4 1 4 16 1 16 1 1 3 1 4 1 1 1 1 8 1 1 1 1 3 1 4 1 1 3 1 4 1 3 1 1 2 1 6 1 2上面把四位数拆开的做法只是为了素数表的简洁，不用记录，也不用辅助工具，即使背不下来，也可以临时推出。 但是再用计算机的情况下，完全不用拆开，事实上，10000以内的素数也只有1229，对计算机来说不算太多，加密方法与之前的本质相同，只不过素数表需要携带了，一般人无法背诵。我把它叫做L10000密码。null 总结与心得 当然，一项研究是没有终点的，在今后的课余时间，我还会继续分析改进这套密码。毕竟，它还是很基础的，如果要应用，还要有很多的检测和修改。在这次研究性活动中，我在研究和与他人合作中，发现处理一个现实问题远比做课本习题更难，寻找模型，初步思考，分析改进每一样都是没有固定解法的。通过这次活动，我增强了有关素数，映射，同余式的理解，更增强了与他人合作的能力，作为组长，我不仅要领导，组织组员研究，还要综合所有人的观点。我认为这些锻炼是很难得的，现在回想起来，都是很宝贵的经历。null