9-2偏导数

null三、小结 思考三、小结 思考题一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法1.【偏导数的定义】(1)【二元函数在一点处的偏导数】null(2)【二元函数在区域内的偏导数】null偏导数的概念可以推广到二元以上函数如u = f (x , y , z) 在(x , y , z) 处 (3)【多元函数的偏导数】null【解】null【证】原结论成立．【证完】null【解】不存在．null【证】null2.【有关偏导数的几点说明】(1)(2)①②求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；［解］［例如］③null一元函数中在某点可导 连续，多元函数中在某点偏导数存在 连续，(3). 【偏导数存在与连续的关系】【解】【例5】null按定义可知：null但函数在原点处并不连续(令y=kx,知极限不存在,故不连续).偏导数存在【思考题】连续 偏导数存在. 举例说明（见下页思考题）【结论】连续.null【思考题】【思考题解答】 不能.如图(可用偏导数定义判断)null(4). 【偏导数的几何意义】如图nullnull【几何意义】【练习】P69 习题9-2二、高阶偏导数二、高阶偏导数①［二阶纯偏导数］②［二阶混合偏导数］1. 【高阶偏导数的定义】null【定义式】其余类推(2) 同样可得：三阶、四阶、…、以及n 阶偏导数。(3) ［定义］二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。【解】null【解】null(1)【问题】混合偏导数都相等吗？2. 【混合偏导数相等的条件】【例8】【解】null按定义可知：null【说明】本定理对于三阶及三阶以上的混合偏导数也有类似的结论: 例如三阶情形，若z = f (x,y)的所有三阶混合偏导数连续,则必有:(2)【问题】具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？即混合偏导数与求导次序无关.null【证完】【解】三、小结三、小结偏导数的定义：偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导（相等的条件）可偏导与连续的关系：可偏导连续