质数与合数.

质数与合数 质数与合数 　　自然数是同学们最熟悉的数.全体自然数可以按照约数的个数进行分类. 　　像2、3、5这样仅有1和它本身两个约数的自然数，称为质数（或素数）. 　　像4、6、8这样除了1和它本身以外，还有其它约数的自然数，称为合数. 　　1只有一个约数，就是它本身.1既不是质数也不是合数、称为单位1. 　　因此，全体自然数分成了三类：数1；全体质数；全体合数. 　　任何一个合数都可以分解成若干个质因数乘积的形式，并且分法是唯一的，这个结论被称为算术基本定理. 问题1 24有多少个约数？这些约数的和是多少？ 分析 24＝23×3. 　　23的约数：1，2，22，23共4个. 　　3的约数：l，3共2个. 　　根据乘法原理，24的约数个数为： 　　（3＋1）×（1＋1）＝4×2＝8. 　　这8个约数为：l、2、4、8、3、6、12、24.它们的和为： 　　1＋2＋4＋8＋3＋6＋12＋24 　　＝（1＋2＋4＋8）＋3×（1＋2＋4＋8） 　　＝（1＋2＋4＋8）×（1＋3） 　　＝（1＋2＋22＋23）×（1＋3） 　　＝15×4＝60. 　　解 24＝23×3. 　　（3＋1）×（1＋1）＝8. 　　（1＋2＋22＋23）×（1＋3）＝15×4＝60. 　　答：24有8个约数，这些约数的和是60. 问题2 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？ 分析 8＝2×4＝2×2×2.因此，约数个数是8的自然数，有三种类型：P71、P1×P32、P1×P2×P3，其中P1、P2、P3是不同的质数. 　　解 8＝2×4＝2×2×2. 　　∵27＝128，3×23＝24， 2×3×5＝30. 　　∴有8个约数的最小自然数为24. 问题3 分别判断103、437是质数还是合数. 分析 对于一个不很大的自然数N（N＞1，N为非完全平方数）.可用下面方法去判断它是质数还是合数： 　　先找出一个大于N的最小的完全平方数K2，再写出K以内的所有质数；若这些质数都不能整除N，则N是质数；若这些质数中有一个质数能整除N，则N为合数.（请同学们想想这其中的道理） 　　解 103＜112.而11以内的质数2、3、5、7都不能整除103，故103是质数. 　　437＜212.而21以内的质数有： 　　2、3、5、7、11、13、17、19. 　　∵437÷19＝23， ∴437是合数. 问题4 将下面八个数分成两组，使这两组数各自的乘积相等. 　　14，33，35，30，75，39，143，169. 分析 把八个数分成两组后，应使每组数的乘积所含的质因数一样. 　　解 把已知的八个数分解质因数： 　　14＝2×7，33＝3×11. 　　35＝5×7，30＝2×3×5. 　　75＝3×52，39＝3×13， 　　143＝11×13，169＝132. 　　∵14×75＝35×30＝2×3×52×7， 　　39×143＝33×169＝3×11×132， 　　∴分成的两组为： 　　｛169，33，35，30｝与｛39，143，75，14｝ 　　或｛169，33，75，14｝与｛39，143，35，30｝. 问题5 一个数是5个2、3个3、2个5、1个7 　　的连乘积，这个数的两位数的约数中，最大的是几？ 分析 设这个数为N，则 N＝25×33×52×7.两位数中的最大数为99，其它数依次为98，97，….那么可以从两位数中最大的数开始找. 　　解 N＝25×33×52×7. 　　99＝32×11，不是N的约数. 　　98＝2×72，不是N的约数. 　　97是质数，不是N的约数. 　　96＝25×3，是N的约数. 　　所以，所求最大的两位数的约数是96. 问题6 有这样的质数，它分别加上10和14仍 　　为质数，你会求这个质数吗？ 分析 从最小的质数开始找，可以很快地找到3是符合条件的质数，还有没有符合条件的别的质数呢？没有. 解 因为3＋10＝13，3＋14＝17，所以3是符合条件的质数. 　　因为2＋10＝12，2＋14＝16，所以2是不符合条件的质数. 　　我们将一切大于2的自然数按照被3除的余数分为3n、3n＋1、3n＋2（n≥1的整数）这三类.因为（3n＋1）＋14＝3×（n＋5）不是质数，（3n＋2）＋10＝3×（n＋4）不是质数，而3n仅当n＝1时才是质数. 　　所以，3是唯一符合条件的质数. 问题7 在乘积 　　1000×999×998×…×3×2×1 ① 　　中，末尾连续有多少个零？ 分析 不必真的算出这个乘积，而可以从分析末尾的零是怎样产生的入手.因为2×5＝10，所以末尾的零只能由乘积①中的质因数2与5相乘得到.因此，只需计算一下，把乘积①分解成质因数的连乘积以后，有多少个质因数2，有多少个质因数5，其中哪一个的个数少，乘积①的末尾就有多少个连续的零. 解 先计算①中的质因数5的个数. 问题8 把一个两位数质数写在另一个两位数质数后边，得到一个四位数，它能被这两个质数之和的一半整除.试求出所有这样的质数对. 分析 先利用已知条件，求出这两个质数之和. 　　所以198x能被x＋y整除.又因为x是质数，所以198能被x＋y整除，即x＋y是198的约数.因为x与y均为两位数质数，所以一定是两位奇数，从而x＋y一定是两位或三位偶数.列举出198的两位或三位偶数约数： 　　198，66，18. 　　因为198与18都不能写成两个两位数质数之和，所以不符合题目要求.而66＝13＋53＝19＋47＝23＋43＝29＋37，故符合题目要求的质数对为： 　　（13，53）、（19，47）、（23，43）、（29，37）. 问题9 在101与300之间，只有3个约数的自然数有几个？ 分析 只有3个约数的自然数必是质数的平方，反之亦然. 　　解 在101至300之间的平方数： 　　112、122、132、142、152、162、172. 　　其中112、132、172是质数的平方，它们分别只有3个约数. 　　所以，只有3个约数的自然数有3个，即121、169、289. 问题10 新河村农民用几只船分三次运送405袋化肥.已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋.问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？（每只船至多载50袋） 分析 因为每只船载的化肥袋数相等，且分三次把405袋化肥运完，所以每次运送105袋.又每次运送的总袋数105应为每只船上载的化肥袋数与船数的积，即每次运化肥的船数与每只船上的化肥袋数都是105的约数.所以只要把105分解质因数.就可以求出船数和每只船载的化肥袋数. 解 105＝3×5×7. 　　因为每只船上载的袋数相等且至少载7袋，所以每次用的船数和每只船上所载的化肥袋数有以下几种情况： 　　（1）用3只船，每只船载35袋化肥. 　　（2）用5只船，每只船载21袋化肥. 　　（3）用7只船，每只船载15袋化肥. 　　（4）用15只船，每只船载7袋化肥. 　　（因为每只船至多载50袋，故每次不能用1只船载105袋.） 练习 　　1.72有多少个约数？这些约数的和等于多少？ 　　2.求不大于200的只有15个约数的所有自然数. 　　3.分别判断107、493是质数还是合数. 　　4.有学生3496人，分成人数相等的小组参加劳动，每组人数限定在20以上，40以下，求每组人数及可分的组数？ 　　5.一个人买了2元1角6分钱的铅笔，如果一支铅笔的价格少1分，那么他可以用这些钱多买3支铅笔.问他原来可以买几支铅笔？ 　　6.一个自然数可以分解为3个质因数的积，果这3个质因数的平方和为39630，求这个自然数. 　　在1，2，…，1000中有200个5的倍数，它们是：5，10，…，1000.在这200个数中，有40个能被25＝52整除，它们是25，50，…，1000.在这40个数中，有8个能被125＝53整除，它们是125，250，…，1000.在这8个数中，有1个能被625＝54整除，它是625.所以，①中的质因数5的个数等于200＋40＋8＋1＝249. 　　而①中的质因数2的个数，显然多于质因数5的个数.所以，乘积1000×999×998×…×3×2×1中，末尾连续有249个零.