重修练习-级数

1．已知级数 的前 项和∑∞ =1n nu n 1 2 += n nSn , （1）级数的一般项 =nu （2）级数的和 =S 2．写出下列级数的部分和 ，并用级数收敛与发散的定义讨论级数 的敛散性。 nS 1） )1( 1 nn n −+∑∞ = 。 2）∑∞ = +−1 )12)(12( 1 n nn 。 3．已知级数 （ ）收敛，判断下列级数的敛散性 ∑∞ =1n nu 0≠nu 1） 是 )01.0( 1 +∑∞ =n nu 2） 是 ∑∞ = + 1 100 n nu 3）∑∞ =1 1 n nu 是 4．利用几何级数、调和级数的敛散性及常数项级数的基本性质，判 断下列级数的敛散性。 1） 2 3 2 3 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 2 2 2 2 n n+ + + + +L L 2） 1 1 1 1 3 6 9 3n + + + + +L L 3） 1 1 1( ) 2 10nn n ∞ = +∑ 4） 1 1 1( ) 2 3n nn ∞ = +∑ 5） 1 1 5nn ∞ = ∑ 5．用比较审敛法判别下列正项级数的敛散性 1） 2 1 1 1n n n ∞ = + +∑ 2） 1 1ln(1 ) 2n n n ∞ = +∑ 6．用比值审敛法判别下列正项级数的敛散性 1 ! n n n n ∞ = ∑ 7．判别下列正项级数的敛散性 1） 2 1 1(1 )n n n ∞ = −∑ 2） 2 1 1 1(1 ) 2 n n n n ∞ = +∑ 3） 1 1 ( 0 1 nn a a ∞ = >+∑ ) 4） 1 ( ) ! ( )e n n n e n n λ λ∞ = −∑ λ ≥ 5） 1 1 3 (2 1) 3 !nn n n ∞ = ⋅ −∑ L 8．判别下列正项级数的敛散性 1 (1 cos ) n n π∞ = −∑ 9．判别下列级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 1） 2 1sin( ) lnn n n π∞ = +∑ 2） 1 2 1( 1) 2 n n n n∞ = +−∑ 10．利用级数收敛的必要条件，求下列数列的极限 2lim ( !) n n n n→∞ 11．求下列等比级数的收敛区间及和函数 1） 2 11 ( 1) 2 2 2 n nx x x−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠L L 2） 2 4 2 3 3 3 3 4 4 4 nx x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠L L 4） 1 1 ( 1)( 1) 5 n n n x n ∞ − = −−∑ 12．求下列幂级数的收敛半径与收敛域 1） 1 1 ( 1) (2 )n n n x ∞ − = −∑ 13．利用逐项求导法，求级数 2 1 0 2 1 n n x n +∞ = +∑ 的和函数。 14．将函数 1( ) 3 f x x = − 按以下方式展开，并求出级数的收敛域。 x的幂级数展开 1）按 2）按 1x − 的幂级数展开 15．将函数 2 1( ) 3 2f x x x= + + 在 3x = − 处展成幂级数。 16．写出函数 ( )f x 的傅里叶级数的和函数 ( )s x 2( ) , [ , )f x x x π π= ∈ −