证明一个结论

已知： 2m ≥ ，m为整数，质数 p为不超过 m的最大素数。 求证： )2()2( mpm ππ <− 证明：设 1 2, , mp p p"" 是 2m 的前部质数，即 1 2, , mp p p"" 是不超过 2m⎡ ⎤⎣ ⎦的质数， 且 mp 是不超过 2m⎡ ⎤⎣ ⎦的最大质数。 当 8m > 时， ( )8 0m m− > ，即 2 8m m> ，两边开方可以得到 2 2m m> . 把自然数按 2m⎡ ⎤⎣ ⎦ 分段，则 2m m到 至少可以分一段，当 2 mm p⎡ ⎤ =⎣ ⎦ 时又因为， 2m m< ， 2 2mp m m m< < − ，所以 = 2 2mp m m m⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦故在 2m m到 至少有 一个质数。当 2 mm p⎡ ⎤ ≠⎣ ⎦ 时 又因为， 2m m< ， 2 2mp m m m⎡ ⎤ ⎡ ⎤< ≤ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ，所以 2mp m m⎡ ⎤< −⎣ ⎦故在 2m m到 至少有一个质数。 当 2 8m< ≤ 时，逐个验证。所以 ( ) ( )2m mπ π ⎡ ⎤> ⎣ ⎦ . 设 p是不超过 m的最大质数， mp 是不超过 2m⎡ ⎤⎣ ⎦的最大质数，因为 ( ) ( )2m mπ π ⎡ ⎤> ⎣ ⎦ 所以 mp p> ，又因为 ( )2 2m m p p− − = ，即 2 2m p m− 到 有 p 个数且 mp p> ，由推论 1 可以知道， 2 2m p m− 到 之间至少有一个质数。 即： )2()2( mpm ππ <−