抽象函数奇偶性对称性周期性

抽象函数周期性 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 对于 定义域内的每一个 ，都存在非零常数 ，使得 恒成立，则称函数 具有周期性， 叫做 的一个周期，则 （ ）也是 的周期，所有周期中的最小正数叫 的最小正周期。 分段函数的周期：设 是周期函数，在任意一个周期内的图像为C: 。把 个单位即按向量 在其他周期的图像： 。 2、奇偶函数： 设 ①若 ②若 。 3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称： ①点 ② ③ ④ ⑤ ⑥记住对称中心为：（0，0）、 、 的函数 的特征。 （2）轴对称：对称轴方程为： 。 ① 关于直线 ②函数 关于直线 成轴对称。 ③ 关于直线 成轴对称。 ④记住对称轴为：Y轴（X=0）、X轴（y=0）、直线 、直线 、直线 的函数 的特征。 二、函数对称性的几个重要结论 （一）函数 图象本身的对称性（自身对称） 若 ，则 具有周期性；若 ，则 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、 图象关于直线 对称 推论1： 的图象关于直线 对称 推论2、 的图象关于直线 对称 推论3、 的图象关于直线 对称 2、 的图象关于点 对称 推论1、 的图象关于点 对称 推论2、 的图象关于点 对称 推论3、 的图象关于点 对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数 与 图象关于Y轴对称 2、奇函数 与 图象关于原点对称函数 3、函数 与 图象关于X轴对称 4、互为反函数 与函数 图象关于直线 对称 5.函数 与 图象关于直线 对称 推论1:函数 与 图象关于直线 对称 推论2:函数 与 图象关于直线 对称 推论3:函数 与 图象关于直线 对称 （三）抽象函数的对称性与周期性 1、抽象函数的对称性 性质1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x) 易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。 2、复合函数的奇偶性 定义1、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。 定义2、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。 说明： （1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。 （2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x) （3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称） 3、复合函数的对称性 性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称 性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称 推论1、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称 推论2、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称 4、函数的周期性 若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 5、函数的对称性与周期性 性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b| 6、函数对称性的应用 （1）若 ,即 （2）例题 1、 ; 2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： 。 3、若 的图像关于直线 对称。设 . （四）常用函数的对称性 1、分段函数的奇偶性 ①奇函数： ②偶函数： 2、(1) 的周期 ;对称中心 ; 对称轴方程 . (2) 的周期 ;对称中心 + ; 对称轴方程 . (3) 的周期 ;对称中心 ; 3、（1） 的对称中心为（h,k）,对称轴为x=h及y=k。 （2） 的对称轴为y=k; 的对称轴为x=h; 三、函数周期性的几个重要结论 1、 ( ) 的周期为 ， ( )也是函数的周期 2、 的周期为 3、 的周期为 4、 的周期为 5、 的周期为 6、 的周期为 7、 的周期为 8、 的周期为 9、 的周期为 10、若 11、 有两条对称轴 和 周期 推论：偶函数 满足 周期 12、 有两个对称中心 和 周期 推论：奇函数 满足 周期 13、 有一条对称轴 和一个对称中心 的 四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型 灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。 1.求函数值 例1.（1996年高考题）设 是 上的奇函数， 当 时， ，则 等于（-0.5） （A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5. 例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知 是定义在实数集上的函数，且 ， 求 的值. 。 2、比较函数值大小 例3.若 是以2为周期的偶函数，当 时， 试比较 、 、 的大小. 解： 是以2为周期的偶函数，又 在 上是增函数，且 ， 3、求函数解析式 例4.（1989年高考题）设 是定义在区间 上且以2为周期的函数，对 ，用 表示区间 已知当 时， 求 在 上的解析式. 解：设 时，有 是以2 为周期的函数， . 例5．设 是定义在 上以2为周期的周期函数，且 是偶函数，在区间 上， 求 时， 的解析式. 解：当 ，即 ， 又 是以2为周期的周期函数，于是当 ，即 时， 4、判断函数奇偶性 例6.已知 的周期为4，且等式 对任意 均成立， 判断函数 的奇偶性. 解：由 的周期为4，得 ，由 得 ， 故 为偶函数. 5、确定函数图象与 轴交点的个数 例7.设函数 对任意实数 满足 ， 判断函数 图象在区间 上与 轴至少有多少个交点. 解：由题设知函数 图象关于直线 和 对称，又由函数的性质得 是以10为周期的函数.在一个周期区间 上， 故 图象与 轴至少有2个交点. 而区间 有6个周期，故在闭区间 上 图象与 轴至少有13个交点. 6、在数列中的应用 例8.在数列 中， ，求数列的通项公式，并计算 ，由 得总项数为500项， 7、在二项式中的应用 例9.今天是星期三，试求今天后的第 天是星期几？ 分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可. 解： 因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数， 故 天为星期四. 8、复数中的应用 例10.（上海市1994年高考题）设 ，则满足等式 且大于1的正整数 中最小的是 （A） 3 ； （B）4 ； （C）6 ； （D）7. 分析：运用 方幂的周期性求值即可. 解： ， 9、解“立几”题 例11.ABCD— 是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是 黑蚁爬行的路线是 它们都遵循如下规则：所爬行的第 段所在直线与第 段所在直线必须是异面直线（其中 .设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 （A）1； （B） ；（C） ； （D）0. 解：依条件列出白蚁的路线 立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期. 1990=6 ，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在 点，白蚁在C点，故所求距离是 例题与应用 例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值 例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2 例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当 时，f(x)=－2x+1，则当 时求f(x)的解析式 例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)= ，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性. 例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当 时，f(x)是减函数，求证当 时f(x)为增函数 例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值. 例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0， 求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？ 解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10 故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根 又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根， 因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+ =401个根. 例8、 函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D ） A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称 解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于 点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C） 例9、 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。（2001年理工类第22题） 例10、 设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x，则f(7.5)等于（-0.5）（1996年理工类第15题） 例11、 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（C ） A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数 C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数 例12、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝ 　　f(6－x)的图象（  ）。 　　　A．关于直线x＝5对称   　   B．关于直线x＝1对称 　　　C．关于点（5，0）对称   　  D．关于点（1，0）对称 例13、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时， 　　f(x)＝x，则f(7.5)=（   ）。 　　A．0.5         B．－0.5         C．1.5           D．－1.5 例14、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)， 　　f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（   ）。 　　A．偶函数，又是周期函数     B．偶函数，但不是周期函数 　　C．奇函数，又是周期函数     D．奇函数，但不是周期函数 例15、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。 参考：D，B，C，T＝2。 例16、在数列 求 =-1． 例17、已知f（x）是定义在实数集上的函数且满足：f（x+2）[1-f（x）]= 1+f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值。 例18、设偶函数 满足 ，则 (A) (B) (C) (D) 例19、若数列 满足 ，若 ，则 的值为___________。 例20、已知数列 满足 ，则 = （ ） 例21. f(x) 是R上的奇函数f(x)=- f(x+3) ,x∈[0,3/2]时f(x)=x,则f(2003) 例22. f(x)是R上的偶函数,f(1-x )=f(x+1),x∈[-1,0]时f(x)=Log0.5(-x)则f(2003) 例23. f(x)满足f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x),若f(a)=-f(2000),a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上单调。求a的值。 一组有趣的三角求值问题： ⑴cos0°+cos1°+cos2°+…+cos359°+cos360°；=0  ⑵tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°．=1 （3）  （4）   （5）cosαcos2αcos4α…cos2 α= ．   （6）sinαsin2αsin4α…sin2 α=？ （7） tanαtan2αtan4α…tan2 α=？ 利用不动点法求通项公式 例14 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：令 ，得 ，则 是函数 的两个不动点。因为 。 ，所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，故 ，则 。 评注：本题解题的关键是先求出函数 的不动点，即方程 的两个根 ，进而可推出 ，从而可知数列 为等比数列，再求出数列 的通项公式，最后求出数列 的通项公式。 例15 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：令 ，得 ，则x=1是函数 的不动点。 因为 ，所以 ，所以数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，则 ，故 。 评注：本题解题的关键是先求出函数 的不动点，即方程 的根 ，进而可推出 ，从而可知数列 为等差数列，再求出数列 的通项公式，最后求出数列 的通项公式。 几种常见类型的周期数列： 1、​ 形如 证明： ，数列 是周期为3的数列 例1.已知数列 中， ， 则能使 的 的数值是（　C　）（A）　14　（B）15　（C）　　16　（D）17 二、形如 数列 是周期为3的数列 例2、已知数列 满足 ， 则 1002 三、形如 证明： ， ，数列 是周期为6的数列。 已知数列 满足 ， ， ，记 则下列结论正确的是（　A　）（A） ， （B） ， （C） ， （D） ， 四、形如 证明： ，数列 是周期为4的数列。 例4、数列 满足 ， ，则 　　 　　　 五、形如 （等和数列） 证明： ，数列 是周期为2的数列 例5、在数列 中， ， ，设 为数列 的前项和，则 　　（　A　）（A） 　（B） 　（C）3