3.2 随机变量的独立性

nullnull§3.2 随机变量的独立性一、二维随机变量的独立性 定义 设( X , Y )是二维随机变量, 若对任意实数对( x , y )均有随机事件A 与B 相互独立，若P(AB)=P(A)P(B)成立，称X与Y相互独立.null 意义 对任意实数对( x , y )，随机事件 { X ≤ x }、 { Y ≤ y } 都相互独立.例3.2.1等价条件:1.X与Y相互独立对任意实数(x , y )均成立.2. (离散型)X与Y 相互独立null对所有(xi , yj )均成立. 注 若否定结论, 只需找到一对(i, j)使pij ≠ pi· p·j或 pij = pi· p·j3. (连续型)X与Y相互独立在平面上除去“面积”为0 的集合外成立.例3.2.2例3.2.3例3.2.4练习null二. 多维随机变量的独立性 定义 设 n 维随机变量（X1 ,X2,…Xn )的联合分布函数为 F(x1 , x2 ,…, xn )， 若对任意实数x1 , x2 ,…, xn 均有称X1 ,X2,…Xn 相互独立. 注 对任意实数向量(x1 , x2, …, xn), n个随机事件 Ak={Xk ≤ xk},k=1,2, …,n， 都相互独立.null 思考 随机事件A1，A2，…，An 相互独立，应有以下 P(Ai1 Ai2…Ais）= P(Ai1 )P(Ai2) … P(Ais）2n-n-1个等式同时成立，缺一不可.如何理解？null 定理3.2.1 若n维随机变量（X1 ,X2,…，Xn ) 相互独立，则任意k个随机变量( 2 k n )也相互独立. 注 随机变量相互独立则一定两两独立，但逆不真. 例3.2.5 定理3.2.1 若n维随机变量（X1 ,X2,…，Xn ) 相互独立，则 2). 随机变量 g1(X1), g2(X2),…, gn(Xn)也相互独立.null 3) m维随机向量(X1 ,X2,…,Xm ) 与n维随机向量(Xm+1 ,Xm+2 ,…,Xn ) 也相互独立. 4) 随机变量 h (X1 ,X2,…,Xm ) 与g(Xm+1 ,Xm+2, …,Xn ) 也相互独立.如 3维随机变量X1 ,X2 ,X3 相互独立，则 X12 , X22 , X32 也相互独立.X1 +X2与X3也相互独立.sinX1 与X3也相互独立.nullX1 +X2与X1 －X2 不一定相互独立.随机变量的独立性 本质上是随机事件的独立性null 例3.2.1 设随机变量 X 的概率密度为问 X 与︱X︱是否相互独立. 1) 直观判断X 与︱X︱是否相互独立？对所有实数对(a, b) 均成立.2) 判定X 与︱X︱相互独立，则需验证null 3) 随机事件{ X≤a } 与{︱X︱ ≤a } 有下述关系解 对于任意给定的实数 a > 0 有null即 X 与︱X︱ 不相互独立.null 例3.2.3 已知二维随机变量( X , Y )的概率密度为问 X , Y 是否相互独立？解1nullnull例3.2.4 设随机变量 X , Y 相互独立, X~U( 0, a ) , Y~ U(0, / 2)且 0 < b < a 试求 P { X < b cosY }解因为随机变量 X , Y 相互独立，则nullnull 练习 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 填出空白处的数值.3/41/4 1/21/24 3/8null 例3.2.2 设随机变量 ( X, Y ) 具有联合概率密度问: X、Y 是否相互独立？ 分析 f (x, y) 在如图所示区域内不等于 0, 在其余区域均等于 0。null因为当 x≤0 或 x≥1时,在整个积分路径上被积函数 f (x, y) 始终为 0; 因此当 0< x <1 时,null类似地,当y≤0 或 y≥1时,当 0< y <1 时,null于是,故当 0< x <1 且 0< y < x 时,f (x, y) = 2≠fx(x) fy(y) = 4x(1-y)因此, X 与 Y 不相互独立.找出了一个 面积不为0 的区域null 例3.2.6 将一枚均匀硬币独立地掷两次，引进随机事件如下令null有null但因即ξ1、ξ2、 ξ3不相互独立. 即ξ1与 ξ2相互独立，同理可验证ξ1与 ξ3， ξ2与 ξ2也分别相互独立.