3-比萨斜塔实验的研究

1 比萨斜塔实验的研究 一. 比萨斜塔实验的历史 古希腊哲学家亚里士多德认为，重的物体比轻的物体下落的要快．这符合人 们的生活常识，如玻璃弹子就比羽毛落得快． 伽利略认为：下落速度与重量无关，所有物体下落速度都相同．伽利略批评亚 里士多德的理论是从逻辑推理开始的．设想一个重物（如铁球）与一个轻物（如木球） 同时下落，按亚里士多德的理论，当然是铁球落得快，木球落得慢．现在，试想把铁 球与木球绑在一起，同时抛出，会发生什么情况呢？一方面，铁球和木球组成了一个 比铁球更重的物体，应当下落的比铁球更快；另一方面，铁球下落被木球拖住，其速 度应该介于铁球与木球之间．这样，从同一个理论推出了互相矛盾的两个结论，所以， 亚里士多德的理论是值得怀疑的．正确结论应当是：下落速度与重量无关． 1586 年荷兰物理学家斯台文用两个大小不同重量比为 1：10 的铅球，让它 们从高 30 英尺（折合 9.15 米，1 英尺＝0.305 米）的高度落下，结果两者几乎同时 落在地面的木板上，围观者可以听到两个铅球撞击木板时发出的声音． 据传，伽利略曾于 1590 年在意大利比萨斜塔（高 58.4 米）上将两个重量 不等的铁球自塔顶垂直自由落下，结果两铁球同时着地．该实验一举推翻古希腊学者 亚里士多德提出的重量不同物体下落速度也不同的定理．伽利略做比萨斜塔实验这一 传闻来自伽利略晚年的学生维维安尼，他在写伽利略的传记中提到伽利略曾做此实 验．但历史学家考证，没有任何理由明伽利略做过这一实验． 事实上，一位亚里士多德派的物理学家为了反驳伽利略，真的于 1612 年在比萨 斜塔做了一个实验，结果表明，相同的材料但重量不同的物体并不是在同一时刻到达 地面，只差一个很小的距离． 1997 年诺贝尔物理学奖得主、斯坦福大学美籍华人物理学家朱棣文教 授领导的一个小组通过“坠落”原子而精确测算出了单个原子所受的重力加速度，并发 现这一重力加速度与由数十亿原子组成的宏观尺度物体所受重力加速度相同．这一结 果被物理学界视为意大利学者伽利略著名的“比萨斜塔实验”的现代翻版．朱棣文等在 研究中利用基于光学干涉原理的重力计，对做自由落体运动的玻璃管进行了重力加速 度的测量，并将其与在同一实验室中利用原子干涉仪测量出的单个原子所受重力加速 度进行了比较，结果发现两者几乎没有区别． 朱棣文教授等在英国《自然》杂志上撰文介绍说，他们利用原子干涉技术，对单 个原子所受重力加速度进行了迄今最精确的测量，进而得出了上述研究结论．朱棣文 等此次实验的测量精度达到了十亿分之三，比此前的测量精度提高 100 万倍（以前 为千分之三），充分显示了原子干涉作为一种强有力的精确测量手段的应用潜力． 二. 考虑空气阻力的自由落体运动 2 首先让我们一起来做一个实验：在同一高度同时扔下一枚硬币和一片纸片．我们 可以观察到硬币比纸片先落地．那么是不是物体越重下落越快呢？两个不同重量的物 体同时从同一高度落下，重的先落到地面．那么质量的大小和物体的下落有没有关系？ 又有什么关系呢？ 设物体在竖直方向的运动速度为 ( )v t ．物体在空气中运动受到的阻力，与物体运动 速度的大小有密切关系：设物体速度为 v时，物体所受空气阻力为 ( )f v ，显然 (0) 0f = ， ( )f v 是严格单调上升函数．我们设 2 31 2 3( )f v a v a v a v= + + +"，当物体的运动速度较小 时（不超过 40 /m s时）， 1( )f v a v≈ ．总之，物体运动的速度越小，空气阻力的影响就 越小，自由落体运动越接近理想情况．我们设空气阻力正比于运动速度 v，比例系数为 k． 以质量为m的物体的初始位置为坐标原点，垂直向上为 y轴正向，则物体受到的 重力为 mg− ，速度 0dyv dt = < ，空气阻力为 0kv− > ．由牛顿第二定律 maF = 且 2 2 dv d ya dt dt = = 得： 2 2 d y dym mg k dt dt = − − ． 记 k m μ = ，则 2 2 0 d y dy g dt dt μ+ + = ． 自由落体的运动方程为 2 2 0 (0) 0 '(0) 0 d y dy g dt dt y y μ⎧ + + =⎪⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎪⎩ ， 解得： ( 1)tdy g e dt μ μ −= − ， 2( ) (1 ) tg gy t t e μμ μ −= − + − ． 空气阻力比例系数 k较小，当 0μ → + 时 3 2 2 3 3 2 2 3 ( 1) [1 ( ) 1] 2 ( ) 2 tdy g g te t O t dt g tgt O t μ μμ μμ μ μ μ −= − = − − + + − = − + + ， 2 2 2 3 3 4 4 2 2 3 2 4 ( ) (1 ) [1 (1 ( ))] 2 6 ( ) 2 6 tg gy t t e g g t tt t O t gt g t O t μ μ μ μ μμ μμ μ μ μ −= − + − = − + − − + − + = − + + ． 选取五个外表完全相同的排球（颜色有区别！），设排球的质量为M ，我们向四个 排球里注入水，使其质量分别为 M2 、3M 、6M 和24M ．四个排球外表相同，空气阻 力比例系数 k 亦相同．我们在同一高度同时释放这四个排球，我们会观察到排球越重 下落越快．在时刻 t四个排球的位置分别为： Mm = 时, 2 3 1 2 6 gt gt ky M ≈ − + ； Mm 2= 时, 2 3 2 2 6 2 gt gt ky M ≈ − + × ； Mm 3= 时, 2 3 3 2 6 3 gt gt ky M ≈ − + × ； 6m M= 时, 2 3 6 2 6 6 gt gt ky M ≈ − + × ； 24m M= 时, 2 3 24 2 6 24 gt gt ky M ≈ − + × ． 显然 1 2 3 6 24y y y y y> > > > ，且 1 2 2 3 3 6 6 243( ) 3( ) 4( )y y y y y y y y− = − = − = − ． 从高度H处自由落下的物体着地所需时间 ( )T T H= 的： 2 3 2( ) 2 6 gT g TH Oμ μ− = − + + ， 设 2( ) ( )T T H Oα βμ μ= = + + ，代入上式可得 2 2 2 3 2 2 3 2 ( ( )) ( ( )) ( ) 2 6 ( ) 2 6 g O g OH O g gg O α βμ μ μ α βμ μ μ α μααβμ μ + + + +− = − + + = − − + + 比较无穷小量μ的同次方系数可得 4 2 3 2 0 6 gH gg α μααβμ ⎧− = −⎪⎪⎨⎪ = − +⎪⎩ 即 2H g α = ， 2 6 3 H g αβ = = ，故 22( ) ( ) 3 H HT T H O g g μ μ= = + + ． 1586 年荷兰物理学家斯台文的实验分析：高度 9.15 米， 21 9.15 2 gt = ， 1.37t s≈ ， 重 物 落 地 时 两 物 体 高 度 差 3 4.2 6 gth μ μΔ = Δ ≈ Δ ， 落 地 时 间 差 为 9.15 0.3 3 T g μ μΔ = Δ ≈ Δ ．1612 年比萨斜塔实验分析：，比萨斜塔高 58.4 米， 21 58.4 2 gt = ， 3.45t s≈ ， 重 物 落 地 时 两 物 体 高 度 差 3 67 6 gth μ μΔ = Δ ≈ Δ ， 落 地 时 间 差 为 58.4 2 3 T g μ μΔ = Δ ≈ Δ ．高度差放大到 6 倍左右，时间差放大到 6 倍左右！ 最后让我们再回到比萨斜塔实验上．由上面实验推导知 2 3 2 6 gt g ty μ≈ − + ．比萨斜 塔实验中采用两个实心铁球，重量大的铁球体积较大，空气阻力系数 k较大，故 k m μ = 变化较小，两个铁球几乎同时着地．由此可见，物理学家在做实验时的巧妙，这个实 验的“经典”之处在于均为实心铁球，因此它也不愧在“历史上最美丽的十大科学实验” 中排名第二位．如果两个铁球外表体积相同，但一个是空心，一个是实心，则实验的 结果可想而知，自然是实心铁球先着地． 伽利略的逻辑推理中的问：．外表相同的一个铁球与一个木球同时下落，铁球质 量大于木球，当然是铁球先着地，木球后着地．现在，试想把铁球与木球绑在一起， 同时抛出，会发生什么情况呢？一方面，铁球和木球组成了一个比铁球更重的物体， 同时外表形状的改变导致了空气阻力系数 k 的变大， k m μ = 介于原来的两者之间 （ 2k k k m m m m μ μ μ= = =铁 合 木 铁 铁 木 木 ＜ ＜＋ ），其速度应该介于铁球与木球之间；另一方面， 铁球下落被木球拖住，其速度应该介于铁球与木球之间．结论并不矛盾！，所以，亚里 士多德的理论应当改进为：外表形状完全相同的物体，重的比轻的下落快． 上抛运动的研究． 1. 上抛过程： 5 2 2 0 0 (0) 0 '(0) d y dy g dt dt y y v μ⎧ + + =⎪⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎪⎩ ， 解得： 0( ) ( 1)t t gv t v e eμ μμ − −= + − ，于是有 0 ( ) (1 )t gv gy t t e μμμ μ − + = − + − ． 2．小球达到最高点时的状态． 设小球在 1T 时达到最高点，则有 1( ) 0v T = ，即 1 1 0 ( 1) 0 T Tgv e eμ μμ − −+ − = ， 可得 2 3 2 30 0 0 0 1 2 3 1 ln(1 ) ( ) 2 3 v v v vT O g g g g μ μ μ μμ= + = − + + ，所以有最高点的高度 1 0 1 1 2 3 0 2 30 0 0 2 3 0 2 3 20 0 2 ( ) (1 ) 1 ( ( )) (1 ) 2 3 1 ( ) 2 3 T gv gH y T T e gv v v vg O vg g g g v v O g g μμ μ μ μμ μ μ μμ μ μ μ − + = = − + − + = − − + + + × − + = − + ． 当0 1μ< � 时，上升时间 1T 关于 kmμ = 严格单调下降，最高点的高度H关于 k m μ = 严格单调下降． 3．小球落地时的状态． 设小球在 2T 时落地，则有 0)( 2 =Ty ，即 2 0 2 (1 ) 0 T gv g T e μμμ μ − + − + − = ． 将 2 2 2 3 3 4 42 2 2 21 ( )2 6 T T Te T O Tμ μ μμ μ− = − + − + 代入上式得 0 2 2 3 3 4 42 2 2 2 2( ( )) 02 6 gv T Tg T T O Tμ μμ μ μμ μ + − + − + + = ， 6 2 2 20 0 2 2 2 2( ) 02 2 6 vg gv T T T O Tμ μ μ− − + + = ． 令 22 ( )T A B Oμ μ= + + ，有 20 0 ( )( ) ( ) 0, 2 2 v A Bg A Bv Oμ μμ μ++− − + = 可得 0 20 0 2 , 0 2 2 6 gAv vgB gA Aμ μ μ ⎧ − =⎪⎪⎨⎪− − + =⎪⎩ 解得 0 2 0 2 2 , 2 3 vA g vB g ⎧ =⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩ 所以 2 20 0 2 2 2 2 ( ) 3 v vT O g g μ μ= − + ． 当0 1μ< � 时，落地时间 2T 关于 kmμ = 严格单调下降，且上升时间 2 3 2 30 0 0 1 2 3 ( )2 3 v v vT O g g g μ μ μ= − + + 小于降落时间 2 20 0 2 1 2 ( )6 v vT T O g g μ μ− = − + ． 当0 1μ< � 时，上抛物体的落地速度的绝对值关于 k m μ = 严格单调下降， 2 2 2 0 2 2 32 0 2 2 2 22 0 2 0 2 2 20 0 ( ) ( 1) (1 ) ( ( )) 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) 3 T Tgv T v e e Tgv T T O gTv gT v T O vv O g μ μ μ μμ μ μμ μ μ μ μ − −= + − = − − − + = − + − + = − + +