求函数解析式

8+88+888+8888+ 函数专讲【函数的解析式】 【求函数解析式的方法】 把两个变量的函数关系，用一个等式来示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。 求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知 求 或已知 求 ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式； （4） 满足某个等式，这个等式除 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法； （5）求函数解析式常用方法有待定系数法等。 【待定系数法】（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） 若已知 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得 的表达式。 【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。 分析：所求的函数类型已定，是一次函数。 设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=? 解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7 【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7 分析：所求的函数类型已定，是一次函数。 设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设f(x)=ax+b（a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴ +b( +a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1 【评注：】 待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 函数专讲【函数的解析式】 【求函数解析式的方法】 【换元法】（注意新元的取值范围） 已知 的表达式，欲求 ，我们常设 ，从而求得 ，然后代入 的表达式，从而得到 的表达式，即为 的表达式。 【配凑法（整体代换法）】 若已知 的表达式，欲求 的表达式，用换元法有困难时，（如 不存在反函数）可把 看成一个整体，把右边变为由 组成的式子，再换元求出 的式子。 【例题】已知f(x-1)= -4x，解方程f(x+1)=0 分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此题的关键 解1：f(x-1)== -2(x-1)-3，∴f(x)= -2x-3 f(x+1)= -2(x+1)-3= -4，∴ -4=0，x=±2 解2：f(x-1)= -4x，∴f(x+1)=f[（x+2)-1]= -4(x+2)= -4，∴ -4=0，x=±2 解3：令x-1=t+1，则x=t+2，∴f(t+1)= -4(t+2)= -4 ∴f(x+1)= -4，∴ -4=0，∴x=±2 评注：只要抓住关键，采用不同方法都可以达到目的。 解法1，采用配凑法； 解法2，根据对应法则采用整体思想实现目的； 解法3，采用换元法， 这些不同的解法共同目的是将f(x-1)的表达式转化为f(x+1)的表达式。 【小结：】待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法，其中，待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式，而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同--整体思想。 【消元法】 【构造方程组】（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等） 若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 【赋值法】 在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。 函数专讲【函数的解析式】 【例题】 (1)已知f（ ＋1）＝x＋2 ，求f(x)的解析式。 (2)已知f（x＋ ）＝x3＋ ，求f(x)的解析式。 (3)已知函数f（x）是一次函数，且满足关系式3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f(x)的解析式。 分析：此题目中的“f”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用。即：求出f及其定义域. (1)解法一：【换元法】 设t＝ ＋1≥1，则 ＝t－1，∴x＝（t－1）2 ∴f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1） ∴f（x）＝x2－1（x≥1） 解法二：【凑配法】由f( +1)=x+2 = -1，∴f(x)= -1(x≥1) 【评注：】 ①f(t)与f(x)只是自变量所用字母不同，本质是一样的。 ②求出函数解析式时，一定要注明定义域，函数定义中包括定义域这一要素。 (2)∵x3＋ ＝（x＋ ）（x2＋ －1）＝（x＋ ）[（x＋ ）2－3] ∴f（x＋ ）＝（x＋ ）[（x＋ ）2－3] ∴f（x）＝x（x2－3）＝x3－3x ∴当x≠0时，x＋ ≥2或x＋ ≤－2 ∴f（x）＝x3－3x（x≤－2或x≥2） (3)设f（x）＝ax＋b 则3f（x＋1）－2f（x－1）＝3ax＋3a＋2b＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17 ∴a＝2，b＝7 ∴f（x）＝2x＋7 评述：“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法，以上3个题目分别采用了这三种方法。值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域。 函数专讲【函数的解析式】 【例题】 (1)甲地到乙地的高速公路长1500公里，现有一辆汽车以100公里／小时的速度从甲地到乙地，写出汽车离开甲地的距离S(公里)表示成时间t(小时)的函数。 分析：从已知可知这辆汽车是匀速运动，所以易求得函数解析式，其定义域由甲乙两地之间的距离来决定。 解：∵汽车在甲乙两地匀速行驶，∴S＝100t ∵汽车行驶速度为100公里／小时，两地距离为1500公里， ∴从甲地到乙地所用时间为t＝ 小时 答：所求函数为：S＝100t t∈[0，15] (2)某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2％，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食.求出函数y关于x的解析式。 分析：此题用到平均增长率问题的分式，由于学生尚未学到，所以还应推导。 解：设现在某乡镇人口为A，则 1年后此乡镇的人口数为A(1＋1.2％)， 2年后的此乡镇人口数为A（1＋1.2％）2… 经过x年后此乡镇人口数为A(1＋1.2％)x。 再设现在某乡镇粮食产量为B，则 1年后此乡镇的粮食产量为B(1＋4％), 2年后的此乡镇粮食产量为B（1＋4％）2…， 经过x年后此乡镇粮食产量为B（1＋4％）x， 因某乡镇现在人均一年占有粮食为360 kg，即 ＝360， 所以x年后的人均一年占有粮食为y，即y＝ （x∈N*) 评述：根据实际问题求函数解析式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定自变量后去寻求等量关系，求得函数解析式后，还要注意函数定义域要受到实际问题的限制。 函数专讲【函数的解析式】 【例题】我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量 时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费 元；若用水量超过 时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每 付 元的超额费。已知每户每月的定额损耗费不超过5元。 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示： 月份 用水量 水费（元） 1 2 3 9 15 22 9 19 33 根据上表中的数据，求 、 、 。 解：设每月用水量为 ，支付费用为 元，则有 由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量15 ，22 均大于最低限量 ，于是就有 ，解之得 ，从而 再考虑一月份的用水量是否超过最低限量 ，不妨设 ，将 代入（2）式，得 ，即 ，这与（3）矛盾。∴ 。 从而可知一月份的付款方式应选（1）式，因此，就有 ，得 。 函数专讲【函数的解析式】 【例题】 （1）已知 ，求 ； （2）已知 ，求 ； （3）已知 是一次函数，且满足 ，求 ； （4）已知 满足 ，求 ． 解：（1）∵ ， ∴ （ 或 ）． （2）令 （ ），则 ，∴ ，∴ ． （3）设 ， 则 ， ∴ ， ，∴ ． （4） ①， 把①中的 换成 ，得 ②， ① ②得 ，∴ ． 注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法． 函数专讲【函数的解析式】 【例题】已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数 是奇函数．又知 在 上是一次函数，在 上是二次函数，且在 时函数取得最小值 。①： ；②求 的解析式；③求 在 上的解析式。 ①证明：∵ 是以 为周期的周期函数，∴ ， 又∵ 是奇函数，∴ ， ∴ ． ②解：当 时，由题意可设 ， 由 得 ，∴ ， ∴ ． ③解：∵ 是奇函数，∴ ， 又知 在 上是一次函数，∴可设 ，而 ， ∴ ，∴当 时， ， 从而当 时， ，故 时， ∴当 时，有 ，∴ ． 当 时， ，∴ ∴ 函数的解析式的求法 一．换元法 题1．已知f(3x+1)=4x+3， 求f(x)的解析式. 练习1．若 ，求 . 二．配变量法 题2．已知 ， 求 的解析式. 练习2．若 ，求 . 三．待定系数法 题3．设 是一元二次函数， ，且 ，求 与 . 练习3．设二次函数 满足 ，且图象在y轴上截距为1，在x轴上截得的线段长为 ，求 的表达式. 四．解方程组法 题4．设函数 是定义(－∞，0)∪(0，+ ∞)在上的函数，且满足关系式 ，求 的解析式. 练习4．若 ，求 . 五．特殊值代入法 题5．若 ，且 ， 求值 . 练习5．设 是定义在 上的函数，且 ， ，求 的解析式. 六．利用给定的特性求解析式. 题6．设 是偶函数，当x＞0时， ，求当x＜0时， 的表达式. 练习6．对x∈R， 满足 ，且当x∈[－1，0]时， 求当x∈[9，10]时 的表达式. 七．归纳递推法 题7．设 ，记 ，求 . 八．相关点法 题8．已知函数 ，当点P(x，y)在y= 的图象上运动时，点Q( )在y=g(x)的图象上，求函数g(x). 九．构造函数法 题9．若 表示x的n次多项式，且当k=0，1，2，…，n时， ，求 . 如何合理选择解析式的表达式求二次函数的解析式 【采用待定系数法】 二次函数的三种表达式： （1）一般式y=ax2+bx+c(a≠0) ； （2）顶点式y=a(x－h)2+k(a≠0)其中顶点的坐标为(h,k)； （3）交点式y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)其中x1、x2分别为二次函数与x轴的交点的横坐标。 【（1）一般式y=ax2+bx+c(a≠0) 】 【例1】已知二次函数的图象经过点（－1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求此二次函数的解析式。 分析：由已知三个点的坐标，代入二次函数的一般式可以得到三个方程，进而求出三个待定系数。 解：设该二次函数的解析式是y=ax2+bx+c(a≠0)，将已知三个点的坐标代入得方程组： a- b+ c=10 a=2 a+ b+c=4 ∴ 解这个方程组得： b=-3 4a+2b+c=7 c=5 ∴该二次函数的解析式是y=2x2-3x+5 归纳使用条件：已知三点的坐标. 【（2）顶点式y=a(x－h)2+k(a≠0)其中顶点的坐标为(h,k)】 【例2】已知二次函数的图象的顶点为（－2，3），且过点（－1，5），求此二次函数的解析式。 分析：将顶点坐标（－2，3）代入二次函数的顶点式，再利用点（－1，5）代入可以求出待定系数a即可。 解：设该二次函数的解析式是y=a(x+2)2+3(a≠0), 将点（－1，5）代入得：5＝a(-1+2)2+3 ∴a＝2 ∴该二次函数的解析式是y=2(x+2)2+3. 归纳使用条件：已知顶点坐标、最值或对称轴等。 【（3）交点式y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)】其中x1、x2分别为二次函数与x轴的交点的横坐标。 【例3】已知二次函数的图象与x轴交于点（－2，0），（4，0），且最值为－4.5. 求此二次函数的解析式。 分析：将－2和4代入二次函数的交点式，再利用最值为－4.5可以求出待定系数a即可。 解：设该二次函数的解析式是y=a(x+2)(x－4) (a≠0)，整理得： y＝ax2-2ax-8a＝a（x－1）2-9a 由题意可知：-9a＝－4.5，∴a＝0.5 ∴该二次函数的解析式是y＝0.5x2-x-4 归纳使用条件：二次函数与x轴的交点的横坐标。 推导：