高一数学教案：正弦定理、余弦定理（3）

高中数学易错、易混、易忘问备忘录 课 题：正弦定理、余弦定理（3） 教学目的： 1 进一步熟悉正、余弦定理内容； 2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化； 3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状； 4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式  教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求  授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学方法：启发引导式 1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等； 2 引导学生三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用 教学过程： 一、复习引入： 正弦定理： 余弦定理： ， 二、讲授新课： 1 正余弦定理的边角互换功能 对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它 其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们 两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决  例1已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且 ，求 的值 解：∵ (这是角的关系)， ∴ (这是边的关系) 于是，由合比定理得 例2已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列 求证：sinA＋sinC＝2sinB 证明：∵a、b、c成等差数列， ∴a＋c＝2b(这是边的关系)① 又 ② ③ 将②、③代入①，得 整理得sinA＋sinC＝2sinB(这是角的关系) 2 正、余弦定理的巧用 某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下： 例3求sin220°＋cos280°＋ sin20°cos80°的值 解：原式＝sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150° ∵20°＋10°＋150°＝180°， ∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角  设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理得：a2＋b2－2abcos150°＝c2（※） 而由正弦定理知：a＝2Ｒsin20°，b＝2Ｒsin10°，c＝2Ｒsin150°，代入(※)式得： sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin2150°＝ ∴原式＝ 例4在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长 ( ) 分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系 其中 利用正弦二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的  解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则 , ① 又由余弦定理可得ｘ2＝（ｘ＋1）2＋（ｘ＋2）2－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cosα 将①代入②整理得：ｘ2－3ｘ－4＝0 解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍) 所以此三角形三边长为4，5，6  评述： 此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程 例5已知三角形的一个角为60°，面积为10 cｍ2，周长为20cｍ，求此三角形的各边长 分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式Ｓ△ABC＝ absinC表示面积，其三是周长条件应用  解：设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得 由①式得：b2＝［20－（a＋c）］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40（a＋c） ④ 将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0 再将③代入得a＋c＝13 由 ∴b1＝7，b2＝7 所以，此三角形三边长分别为5cｍ，7cｍ，8cｍ  评述： (1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用  (2)由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力  三、课堂练习： 1 在△ABC中，已知B=30°,b=50 ,c=150，那么这个三角形是( ) A 等边三角形B 直角三角形C 等腰三角形 D 等腰三角形或直角三角形 2 在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则此三角形为( ) A 直角三角形 B 等腰三角形C 等边三角形 D 等腰直角三角形 3 在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，则secA=  4 △ABC中， ，则三角形为  5 在△ABC中，角A、B均为锐角且cosA＞sinB，则△ABC是 6 已知△ABC中， ，试判断△ABC的形状 7 在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状  参考：1 D 2 A 3 8 4 等腰三角形5 钝角三角形 6 等边三角形 7 等腰三角形或直角三角形 四、小结 熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断 五、课后作业： 1 在△ABC中，已知 ，求证：a2，b2，c2成等差数列 证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B） cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B 2cos2B＝cos2A＋cos2C ∴2sin2B＝sin2A＋sin2C 由正弦定理可得2b2＝a2＋c2, 即a2，b2，c2成等差数列  2 在△ABC中，A＝30°，cosB＝2sinB－ sinC (1)求证：△ABC为等腰三角形；(提示B＝C＝75°) (2)设D为△ABC外接圆的直径BE与AC的交点，且AB＝2，求AD∶DC的值 答案：（1）略 （2）1∶ 六、板书设计（略） 七、课后记：