Strongart数学科普：从平面距离到抽象距离

科普：从平面距离到抽象距离 提起距离，想必是为大多数人所熟知的，最朴素的说法是两点间 的线段的长度。但这里的一个隐含的前提是在一个平直的空间（欧氏 空间）之中，对于这一点只要想一下球面上的两点间的距离（大圆的 劣弧长）就容易理解了。可见，距离是与空间相关的，我们在说距离 的时候都是指某个空间中的距离，但这样的空间往往因为默认而被省 略。在下文中如果不作特殊说明的话，所涉及的空间都是指欧氏空间， 读者不妨以二维欧氏空间（就是通常所说的平面）做一个直观的类比。 事实上，我们可以把两点间的距离看作是连接这两点的曲线段的 最小长，只是在欧氏空间中这样的曲线段就是线段，而我们通常所说 的三角不等式则是这种最小性的表现。这一点对下文中关于距离的抽 象化过程，是非常关键的。 设点 A、B∈R，对于 A、B的距离 d 有两种不同的理解，这可以通 过下面的不同记法看出。 1）d=d（AB） 2）d=d（A，B） 如果把 d 视为一个函数的话，那么1）中它是在线段上取值，而2）中 则是在 R×R 的点上取值的。 在第一种理解的基础上，我们可以把d的定义域推广到平面区域 以及更高维的区域中去，于是得到面积和一般度量的概念，甚至可以 推广到象有理数集Q 这样的集合上面，得到所谓测度的概念。 在本文之中，我还是把它看成是 R×R上的函数，比如通常在平面 上两点 x 与 y之间的距离就给定为： d（x，y）=[（x1-y1）^2+(x2-y2)^2]^1/2 其中 x,y 分别为坐标是（x1,x2）、（y1,y2）的点。 类似的，我们容易把它推广至R^n 中，而这样的距离函数d有如 下的性质:对 R中的任何点 A、B、C D1：d(A,B)≥0（非负性） D2：d(A,B)=0当且仅当 A=B （唯一性） D3：d(A,B)=d(B,A) （对称性） D4：d(A,B)≤d(A,C)+d(C,B) （最小性） 其中 D4又往往被称为三角不等式，它是几何意义在先的，代数上等 价于所谓的柯西不等式。 受这样的启发，我们可以用一般的集合X来代替 R^n，结果就得 到了如下定义。 定义：所谓度量空间（又叫做距离空间）(X,d)，指在其中定义了度量 （或距离）d的这种结构的集合 X，d是定义在 X×X上的函数，且对 X 中的任何点 A、B、C，满足如下的度量（或距离）公理： D1：d(A,B)≥0 （非负性） D2：d(A,B)=0当且仅当 A=B （唯一性） D3：d(A,B)=d(B,A) （对称性） D4：d(A,B)≤d(A,C)+d(C,B) （最小性） 事实上，这样的一组公理并不是独立的，公理 D1完全可以由其余 的三个公理推出（为什么？），但由于 D1也是非常重要的，所以我们 还是把它单独放到了公理之中。 想必读者已经注意到上述四条公理与性质之间的相似之处了，这 正是所谓公理化方法的表现，我把它归结为“性质优先”这四个字。 简单的说，就是从研究具体对象的性质转到通过强化这样的性质来包 容更多乃至更高层次的对象。 细心的读者也许注意到了，在距离空间的定义中就使用了这样的 记号（X，d），它强调了尽管基础集合相同，但只要定义的距离不同， 它就不是同一个距离空间（就好象第一个坐标相同的两个点未必相同 一样）。那么是不是任何一个非空集合X 都能被赋予一个距离d呢？ 是肯定的。 命 对任何一个非空集合 X，都存在一个函数 d:X×X→[0， ∞）满足距离公理D1-D4. 证明：可以定义如下的距离ρ，ρ(x,y)=1，若 x≠y；ρ(x,x)=0， 若 x=y，则易知这样的ρ满足公理 D1-D4（请读者自己验证）。■ 上面定义的距离称为是离散距离，这样的名称大概是与相应的拓 扑有关。这样的抽象化比起从平直到弯曲的推广而言，显然是要高上 一个层次。 尽管我们通常也称某个X是距离空间，那是因为已经默认了一个 距离 d，比如在 R上定义的距离通常被默认为： d(x,y)=︱x-y︱，x∈R,y∈R 当然我们也可以在R 上定义其他的距离，比如说上面的离散距离ρ。 显然，(R,d)≠(R,ρ)，相信聪明的读者也还可以给出其他的距离。 而在所谓的欧氏空间 R^n 中，我们默认的距离则由下式给出： d（x，y）=[（x1-y1）^2+…+(xn-yn)^2]^1/2 （1） 其中 x,y 分别为坐标是（x1,…,xn）、（y1,…,yn）的点。读者若是觉 得太抽象的话，不妨还是考虑一下n=2的情形，它正是平面直角坐标 系中的两点间的距离，而其几何意义则是著名的毕达哥拉斯定 理。 对于 n维的情形，它可以直观的理解为n 维长方体的对角线之长， 但这里存在着一个直观的缺陷。n>3时，就不存在所谓朴素直观的几 何了，因此更值得以解析的方式处理。我们不妨就把（1）式作为欧 氏空间 R^n 中两点间距离的定义，其合理性则可以由距离公理D1-D4 来保证。 对于（1）式的距离，如果我们把其中的指数2换成任意的 p≥1， 同时把二次根式改成p 次根式，就得到 R^n 的另一个距离，只是证明 要稍微麻烦一些。同样，我们还可以把 R换成复数域 C，把相应的坐 标换成复数（注意其中的平方应该换成是相应模的平方），就可以定 义 C^n 中类似的距离。 最后我要说明的是，这样的公理化抽象的方法并不是万能的。事 实上。在 R^n 中还有一种距离尚未被包含在这样的公理化过程中。它 可以表现为集合与集合之间的距离，我们有如下的方法尝试推广： 由于距离有最小性，可以考虑集合之间的“最小值”。为什么我 在这里要加引号呢？请读者先考虑一下R上原点到区间（1，2）的距 离，是1吗？这里有一个极限的概念，严格的说应该是下确界（inf）， 但不熟悉它的读者还是不妨当它是某种可能取不到的“最小值”。 比如我们可以定义集合A与 B 之间的距离为： d(A、B)=inf{d(x,y);x∈A,y∈B} 在这样的定义之下，R^3中两相交直线间的距离为零，而非相交（平 行、异面）直线间的距离与朴素的几何学相同。 值得注意的是，这样的距离并不是距离空间中的距离，因为它不 满足 D2，甚至还不满足三角不等式D4！ 比如可以在距离为1的两异面直线 a、b上各取一点 A和 B，则他们的 连线 c=AB 与 a、b的距离都是0，这样得到 d（a，b）=1>0+0=d(a,c)+d(b,c) 可见这里的“距离”不满足三角不等式，已经被排除在距离空间之外 了。 即使你认为这是特例，要考虑把相交的两直线看成一条直线的话， 那也是徒劳的，因为我可以把直线 c稍微“拉开一点点”。如果实在 要“维护正统观念”的话，就只能说是我们以前看走了眼，其实通常 所谓的异面直线间的距离并不是真正意义上的距离。 本文作者 Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持 自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在 网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络 书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者 们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对 中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自 己的实际行动支持一下！ 欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者 Strongart，欢迎访问 Strongart的新浪博客。