函数的幂级数展开

教案 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor级数）展开是数学课程中最重要的内容之一，也是整 个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较 它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如 何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算 能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学 中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论， 而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数 的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展 开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函 数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求 函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级 数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质 教育的一个不可忽视的环节。 3. 教学安排 首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f (x)在 x0 的某个邻域 O(x0, r)中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f (x) 在x0 的Taylor级数： （*） ).,(,)( ! )( )( 0 0 0 0 )( rxOxxx n xfxf n n n ∈−= ∑∞ = 另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式： (1) f (x) = ex = ∑∞ =0 !n n n x !!3!2 1 32 n xxxx n ""++++= + ⋯, x ∈(-∞, +∞)。 (2) f (x) = sin x = ∑∞ = + + − 0 12 !)12( )1( n n n x n )!12( )1( !5!3 1253 +−+−+−= + n xxxx n n"" + ⋯, x∈(-∞, + ∞)。 1 (3) f (x) = cos x = ∑∞ = − 0 2 !)2( )1( n n n x n )!2( )1( !4!2 1 242 n xxx nn−+−+−= "" + ⋯, x∈(-∞, + ∞)。 (4) f (x) = arctan x = ∑∞ = − − − − 1 12 1 12 )1( n n n x n 12 )1( 53 1253 +−+−+−= + n xxxx n n"" + ⋯, x∈[-1, 1]。 (5) f (x) = ln (1 + x) = ∑∞ = +− 1 1)1( n n n x n n xxxxx n n 1 432 )1( 432 −−++−+−= "" + ⋯, x∈(-1, 1]。 (6) ，α≠0是任意实数。 f x x( ) ( )= +1 α 当α是正整数 m时， f (x) = (1 + x)m = 1 + mx + 2 2 )1( xmm − + ⋯ + + x1−mmx m ，x∈(-∞, +∞) 即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。 当α不为 0和正整数时， ∑∞ = α ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛α=+ 0 )1( n nx n x , ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > <<− −≤ −∈ −∈ −∈ .0 ,01 ,1 ],1,1[ ],1,1( ),1,1( α α α 当 当 当 x x x 其中 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ n α ! )1()1( n n +−α−αα "" , (n = 1,2,⋯) 和 。 1 0 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛α 设函数f (x)在 x0 的某个邻域O(x0, r)中任意阶可导，要求它在O(x0, r)中的幂级数 展开，一开始就考虑利用公式（*）往往不是明智之举。下面我们通过具体实例 介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法： 1． 通过各种运算与变换，将函数化成已知幂级数展开的函数的和。 例 1 求 2253 1)( xx xf −+= 在 0=x 的幂级数展开。 解 利用部分分式得到 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⋅+⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅= xx xf 21 1 7 2 3 1 1 21 1)( ， 再利用（6）式（ 1−=α ），得到 ( ) n n n n xxf ∑∞ = + + ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−= 0 1 1 23 1 7 1)( ， ). 2 1, 2 1(−∈x 例2 求 在xxf 3sin)( = 6 π=x 的幂级数展开。 解 ) 6 (3cos 4 1) 6 ( 6 sin 4 33sin 4 1sin 4 3sin)( 3 πππ −−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+=−== xxxxxxf 2 ) 6 (3cos 4 1) 6 cos( 8 3) 6 sin( 8 33 πππ −−−+−= xxx ， 利用（2）式与（3）式，即得到 ).,(,) 6 )(132( )!2( )1( 8 3) 6 ( )!12( )1( 8 33)( 212 00 12 +∞−∞∈−−⋅−−−+ −= − ∞ = ∞ = + ∑∑ xxnxnxf nnn n n n n ππ 例3 求 )0(,ln)( >= xxxf 关于变量 1 1 + − x x 的幂级数展开。 解 令 , 1 1 + −= x xt 则 )10(, 1 1 <<− += t t tx 。利用（5）式，即得到 )1ln()1ln( 1 1lnln tt t tx −−+=− += n n n n n t n t n ∑∑ ∞ = ∞ = + +−= 11 1 1)1( .0,) 1 1( 12 12 12 12 1 1212 1 >+ −⋅+=⋅+= ∑∑ ∞ = ++∞ = x x x n t n n nn n 2．对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。 例 4 求 2 1)( x xf = 在 的幂级数展开。 1=x 解 由于 ∑∞ = −=−+== 0 )1()1(1 11)( n nx xx xg ，利用逐项求导，即可得到 ).2,0(,)1)(1()1()(')( 1 0 1 ∈−+=−=−= ∑ ∑∞ = ∞ = − xxnxnxgxf n n nn 例 5 求 f (x)= arcsin x 在 0=x 的幂级数展开。 解 利用(6)式 ) 2 1( −=α ，可知当 x∈(-1,1)时， 21 1 x− = 2 1 2 )1( −− x = ∑∞ = −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− 0 22 1 )( n nx n = 1 + 2 2 1 x + 4 8 3 x + ⋯ + nx n n 2 !)!2( !)!12( − + ⋯， 对等式两边从 0到 x积分，利用幂级数的逐项可积性与 ∫ − x t t 0 21 d = arcsin x， 即得到 arcsin x = x + ∑∞ = + + − 1 12 12!)!2( !)!12( n n n x n n ， x∈[-1, 1]。 其中关于幂级数在区间端点 x = ±1的收敛性，可用 Raabe判别法得到。 特别，取 x = 1，我们得到关于π的一个级数示： 2 π = 1 + ∑∞ = +⋅ − 0 12 1 !)!2( !)!12( n nn n 。 3．对形如 ，)()( xgxf )( )( xg xf 的函数，可分别用 Cauchy乘积与“待定系数法”。 设 f (x) 的幂级数展开为 ，收敛半径为R∑∞ =0n n n xa 1，g(x) 的幂级数展开为∑ , ∞ =0n n n xb 3 收敛半径为R2，则f (x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积： f (x)g(x) = ( )( ) = , ∑∞ =0n n n xa ∑∞ =0n n n xb ∑∞ =0n n n xc 其中cn = , 的收敛半径∑ = − n k knk ba 0 ∑∞ =0n n n xc ≥R min｛R1，R2｝。 当b0 ≠ 0时，我们可以通过待定系数法求 )( )( xg xf 的幂级数展开：设 )( )( xg xf = , ∑∞ =0n n n xc 则 (∑ ) ( )= , ∞ =0n n n xb ∑∞ =0n n n xc ∑∞ =0n n n xa 分离 x的各次幂的系数，可依次得到 b0 c0 = a0 ⇒ c0 = 0 0 b a , b0 c1 + b1 c0 = a1 ⇒ c1 = 0 011 b cba − ， b0 c2 + b1 c1 + b2 c0 = a2 ⇒ c2 = 0 02112 b cbcba −− ， ⋯⋯ 一直继续下去，可求得所有的cn 。 例 6 求ex sin x的幂级数展开( 到x5 )。 解 ex sin x = ( !4!3!2 1 432 xxxx ++++ + ⋯)( "−+− !5!3 53 xxx ) = x + 532 30 1 3 1 xxx −+ + ⋯， 由于 与 的收敛半径都是xe xsin ∞=R ，所以上述幂级数展开对一切 x∈(-∞, + ∞) 都成立。 例 7 求tan x的幂级数展开( 到x5 )。 解 由于 tan x是奇函数，我们可以令 tan x = x x cos sin = c1 x + c3 x3 + c5 x5 + ⋯， 于是 (c1 x + c3 x3 + c5 x5 + ⋯)( "−+− !4!21 42 xx ) = "−+− !5!3 53 xxx ， 比较等式两端x, x3与x5 的系数，就可得到 c1 = 1, c3 = 3 1 , c5 = 15 2 , 因此 tan x = x + 3 1 x3 + 15 2 x5 + ⋯。 4． “代入法” 4 对于例 7，我们还可采用如下的“代入法”求解：在 u−1 1 = = 1 + u + u∑∞ =0n nu 2 + ⋯ 中，以 u = "+− !4!2 42 xx 代入，可得到 xcos 1 = 1 + ( "+− !4!2 42 xx ) + ( "+− !4!2 42 xx )2 + ⋯ = 1 + x2 + 24 5 x4 + ⋯， 然后求 sin x与 xcos 1 的 Cauchy乘积，同样得到上述关于 tan x的幂级数展开。 需要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们目 前无法得到它的收敛范围，而只能知道在x = 的小邻域中，幂级数展开是成立 的（事实上，tan x的幂级数展开的收敛范围是 (- 0x 2 π , 2 π )，它的证明需要用到复 变函数的知识）。 “代入法”经常用于复合函数，例如形如e f (x)，ln(1 + f (x))等函数的求幂级数展 开问题。 例 8 求 在 的幂级数展开( 到xxexf sin)( = 0=x 4 ) 解 以 "+−=+ −== + ∞ = ∑ 6)!12( )1(sin 3 12 0 xxx n xu n n n 代入 "+++++=== ∑∞ = xxxx n xexf n n x 432 0 sin sin 24 1sin 6 1sin 2 1sin1 ! sin)( ， 即可得到 ),(, 8 1 2 11)( 42sin +∞−∞∈+−++== xxxxexf x " 。 注 对于求函数 在xexf cos)( = 0=x 的幂级数展开问题，我们不能采用以 "−+−== 42 24 1 2 11cos xxxu 代入 ∑∞ = = 0 ! cos)( n n n xxf 的方法，请学生思考为什 么，并思考应该怎样正确使用“代入法”。 例 9 求ln x xsin 的幂级数展开( 到x4 )，其中函数 x xsin 应理解为 f (x) = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠ .01 ,0,sin x x x x ， 解 首先，利用 sin x的幂级数展开，可以得到 x xsin = "−+− !5!3 1 42 xx 。 令 u = "−+− !5!3 42 xx 代入 ln (1 + u) = u - "−+ 32 32 uu ，即得 5 ln x xsin = ( "−+− !5!3 42 xx ) - 2 1 ( "−+− !5!3 42 xx )2 + ⋯ = "−−− 1806 42 xx 。 利用例 9，我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式 x xsin = ∏∞ = π−1 22 2 )1( n n x , 两边取对数，再分别将 ln )1( 22 2 π− n x 展开成幂级数， ln x xsin = ∑∞ = π−1 22 2 )1ln( n n x = - ∑∞ = +π+π1 44 4 22 2 ) 2 1( n n x n x " 。 将上式与本例中的结果相比较，它们的x2系数，x4系数都对应相等，于是就得到 等式 ∑∞ =1 2 1 n n = 6 2π , ∑∞ =1 4 1 n n = 90 4π 。 如果我们在计算时更精细些，也就是将ln x xsin 的幂级数展开计算到x6，x8，⋯， 还可以获得∑∞ =1 6 1 n n ，∑∞ =1 8 1 n n ，⋯的精确值。 注意点 1． 如果 在 邻域的幂级数展开存在，则幂级数必然是它在 x)(xf 0x 0 的Taylor 级数（*）；但反之则不然。事实上，我们举出过在 0xx = 任意阶可导的函 数 ，它在 的Taylor级数并不收敛于 。但一般来说，对于有解析 表达式的初等函数 ，只要它在 )(xf 0x )(xf )(xf 0xx = 任意阶可导，则它在 的Taylor 级数就是它在 邻域的幂级数展开。 0x 0x 2． 要让学生知道，遇到求函数的幂级数展开问题，不要首先想到用（*）式。 事实上，上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法，比起直接利用公式（*） 来都要方便，而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方 法。 3． 一般来说，利用“待定系数法”与“代入法” 求幂级数展开，我们往往只 能求出幂级数的初始几项，而不易求出幂级数的一般项，也不易求出幂级数 的收敛半径。但是对于许多具体问题，只要求出幂级数的初始几项就够了， 例如例 9中的问题。关于幂级数的收敛半径，等学生学习了复变函数课程后 就很容易确定。 6 教案