血液中酒精浓度的数学模型

血液中酒精浓度的模型 2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 C题 饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？ 请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释； 2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答： 1）​ 酒是在很短时间内喝的； 2）​ 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。 参考数据 1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。 2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下： 时间(小时) 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 酒精含量 30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 时间(小时) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 酒精含量 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4 血液中酒精浓度的数学模型 摘要：把人体对酒精的吸收、排放简化为一般的房室模型，提出了吸收因子、消除因子的概念。针对短时间饮酒、长时间饮酒以及间断饮酒等情况，分别建立了关于人体体液中酒精浓度的微分方程模型，并且给出了显式解。对于特殊的周期性间断饮酒的模型，给出了更便于计算的叠加公式，并通过分析酒精浓度函数的极限过程，证明了其有界性。对短时间饮酒和长时间饮酒的情况分别计算了酒精浓度的最大值、取得最大值的时间和禁止驾车的时间范围，而且进行了比较，所得结论与实际吻合。 关键词：吸收因子；消除因子；微分方程；时间药物动力学；酒精浓度 1 问题分析及必要的假设 饮酒驾车的危害性，已受到交通部门，乃至全社会的高度重视。国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准，对驾驶人员血液中所允许的酒精浓度作了具体规定。那么，对于一个驾驶员，他能不能饮酒?饮酒后在多长时间内不能开车?对于一定量的酒，在短时饮完好还是在较长的时间内饮完好?本文就是针对这些问题，分析酒精在人体内的扩散过程，在一定简化、假设的基础上，寻找酒精在人体中吸收、消除的规律，建立体液(或血液)中酒精含量的数学模型，从数量上给予解答。 人喝了酒后，酒精便通过胃肠的吸收扩散到人的体液(包括血液)中去，同时体液中的酒精又通过汗液、尿液等排除到体外。事实上，根据时间药物动力学的研究[1]，这种吸收、扩散、消除过程，机理十分复杂，制约因素很多。在本文中，我们把这种过程大大简化，把人体设想为一个含有两个室(胃肠道和体液)的房室模型，并作如下简化和假设: 首先我们假设酒精进入体液后，迅速扩散到全身各个部位，包括到血管当中，即血管中酒精的浓度与其他体液中的酒精浓度相一致，这样我们所描述的体液中的酒精浓度也就是血液中的酒精浓度；另外我们假设体液的总体积保持一个常数 不变；再假设酒精被正常吸收和排出，排除呕吐等一些非正常的排出情况。 我们进一步假设胃肠道中的酒精被吸收到体液中的速率与胃肠道中酒精的质量成正比，即若设在 时刻胃肠中的酒精质量为 ，那么此时的吸收速度为 ，其中 称为吸收因子。在一般情况下，吸收因子 受诸如肠胃的蠕动、体液的PH值、肝肾血流量等多种因素的影响，且随它们的变化而变化[1]。在我们的讨论中，假设 在一定的时间段里为一定值。同时，体液在排出体外时的速率也是受到诸多因素的影响，比如气温的高低、运动量的大小以及每个人所处的环境和时间不同等，都会对体液排出体外的速率有直接影响。为了讨论问题的方便，我们假设体液的排出是以匀速进行的，并设单位时间内体液排出体外的体积为 ，令 ，称 为消除因子，它示单位体积的体液在单位时间内排出体外的量。 体液中的酒精含量一方面是通过胃肠吸收而得，另一方面，又得随着体液排出体外。很显然，体液(或血液)中酒精含量与吸收因子 、消除因子 及饮酒的酒量三者有关，而且随着时间的变化而变化。这样，酒精在人体体液中的吸收、消除就构成了一个“药物的动力量”过程。当然，一定量的酒精进入胃肠道可能有不同时间方式，比如，在很短的时间内进入(称为短时饮酒)、在较长的时间内进入(称为长时饮酒)或每隔一段时间分若干次进入(称为间断饮酒)等。我们的目的就是根据不同的饮酒方式分别建立体液中酒精浓度随时间的变化规律。其基本思想是通过 时刻吸收的酒精量和排出的酒精量来建立变量间的数学关系。 2 短时间饮酒模型 设人在很短时间内(近似看作瞬时)喝下 毫升的酒，则可根据酒的浓度计算出其中酒精的质量，记为 (单位： )，再设喝酒后 时刻胃肠中的酒精质量为 ，由假设可得初值问题 (1) 由分离变量法[2]易得 引理2.1 模型(1)的解为： 另外，在 时间内，吸收到体液中的酒精质量约为 ，再由假设知 是连续函数，因此由微元法可得从0到 时刻吸收到体液中的酒精质量为 。 现假设在 时刻体液中的酒精的浓度为 (单位：mg/100ml)，则又根据假设及元素法可得，从0到 时刻排除体外的酒精质量为 ，从而在 时刻体液中酒精质量为 故在 时刻体液中酒精浓度为 0 从而有： （2） 上式等号两端对 求导，得 注意到 ，再令 ，结合(2)式便得到关于 的微分方程为 （3） 这是一个一阶线性非齐次的初值问题，由常数变易法[2]容易得 引理2.2 模型(3)的解为 （4） 对于上述函数(4)，不难得以下推论： 推论2.3 函数(4)在区间 内单调递增，在区间 内单调递减， 且 (t→∞)。 上述推论表明开始时体液中的酒精浓度以较快的速度增加，在 时刻浓度最大，之后又逐渐降低，而且随着时间的无限推移，体液中酒精的浓度越来越低，直到完全消除。 为了检验上述模型合理性，我们取以下一组测量数据根据上述模型对k1和k3进行拟合：m=53000(mg)(相当于2瓶酒精度为4.2g/100ml的啤酒中酒精的含量[3])，V=49000(ml)(大概相当于一个体重为70kg的人的体液含量)， 与 的值见下表(来自2004年全国大学生数学建模竞赛C题): 表1 时间(小时) 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 酒精含量 30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 时间(小时) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 酒精含量 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4 我们利用表1中的数据在Excel数据表中进行初步的曲线拟合得出初值后，借助Matlab软件中的非线性回归命令进行循环拟合，得出对应于这一组数据的吸收因子和消除因子分别为：k1=1.98，k3=0.199。Excel系统拟合曲线(细)及由(4)式拟合的曲线(粗)如图1所示。 图1 两种类型的数据拟合曲线 由图1我们看到，通过模型(1)，(3)所建立的酒精浓度函数 ，基本符合实际人体体液中酒精浓度随时间的变化规律，这验证了我们所建立的基本模型(1)，(3)的合理性。当然，显然这里的 更加光滑，这显示了我们的所建立的模型具有理想化的特点。下面我们的重点是在上述模型的基础上讨论两类更为特殊的饮酒模型。 3 长时间饮酒模型 设某人在较长时间T0内，摄入酒精的质量为m，我们可以简单假设这种摄入是匀速进行的，即在T0时间内酒精以m/T0的速度进入胃肠道。 设当 时胃肠道中酒精质量为 ，体液中酒精浓度为 ，则 的变化率为 ，从而由假设可得下述初值问题： 解之得： (5) 从而，类似地可得当 时，关于 的微分方程为 解之得 (6) 其中A1=Em/T0。 当 时，设胃肠道中酒精的质量为 ，体液中的酒精浓度为 ，则 ， 的动力系统模型类似于(1)和(3)，只是初值不同，即 (7) 该动力系统也为一阶线性系统，易得 (8) 其中 这样在整个过程中，体液中酒精浓度 的方程为 (9) 根据长时间饮酒模型(5)，(6)，(8)，我们选取参数k1=1.98，k3=0.199，T0=2(H)，m=79500(mg)，V=49000(ml)，计算出的不能驾车的时间范围，时间长短，最高浓度以及最高浓度时间等值见表2。为了比较起见，表2中也列出了通过短时饮酒模型计算出的相应数据。 表2 最大浓度 最大浓度时间 禁止时间范围 禁止时间长度 短时饮酒 125.51 1.2901 [0.07，10.95] 10.88 长时饮酒 118.44 2.6145 [0.57，11.97] 11.40 利用Maple软件[4]画出短时饮酒和长时间饮酒时酒精浓度的函数图象如图2所示。由图2及表2可大概看出，短时饮酒时酒精浓度的最大值比长时间饮酒时大。另外，对于短时饮酒来讲，在很短的时间内(大约为1.3小时)，其血液中酒精浓度值达到最大，之后则其浓度以比较快的速度下降。但是，对于长时间喝酒的情况来说，其浓度峰值达到的时间较晚(大约需要2.6小时)，之后浓度又以较慢的速度降低，因此禁止驾车的时间范围较长。显然，喝酒时间的长短不同，其峰值浓度的到达时间有明显的区别。 因此对于酒量偏低的饮酒者来讲，那么更适宜于长时间的饮酒。而对于需要在酒后能够较快的醒酒以便工作的饮酒者来讲(比如司机)，那么则不如在短时间内以较快速度喝酒。 图2 长时间饮酒曲线(粗)与短时间饮酒曲线(细) 4 间断喝酒模型 设某人在 时刻喝酒后，进入胃肠道的酒精为 。为模型描述方便起见，取 ，则体液中的酒精浓度呈现高低起伏的变化。设在区间 上，胃肠中的酒精质量为 ，体液中酒精浓度为 ，则有 (10) (11) 其中， ， 。 关于模型(10)、(11)的解，我们有以下结论: 定理4.1 当 时 ， (12) (13) 证明 先证(12)式成立。对n用归纳法: 当n=1时，由(10)式，且注意到t1=0，y0(0)=0，有 该方程与(1)式相同，由引理2.1得 ， ，即结论成立. 现假设(12)式对于 成立，即当 时，有 ，则 (14) 当 时，由(10)式， 满足的方程为 容易求得其通解为 ，代入初值并结合(14)式得 所以 即(12)式成立。下面再用归纳法证明(13)式。 当n=1时，由(11)式，且注意到 ， ，结合(12)式有 该方程与(2)式相同，由引理2.2得： 即结论成立. 现假设(13)式对于 成立，即当 时，有 则 (15) 当 时，由(11)式，结合(12)式， 满足的方程为 (16) 方程(16)的通解为 ，代入初值并结合(15)式得 所以 ，证毕. 如果假设每次摄入的酒精质量为定值m，则由(13)式容易得到下述结论： 推论4. 2 当 时，则在区间 上有 (17) 该结论表明，当饮酒者每次饮相同量的同种酒时，在时间段 内其体液中的酒精浓度相当于同一函数在前n个时间段上的叠加。如果我们再假设饮酒者每隔相同的时间喝下相同量的同种酒，则有以下更特殊的结论： 推论4.3 当 (定值) ，且 时，则在区间 上有 (18) 下面我们研究当饮酒者每隔相同的时间喝下相同量的同种酒后，其体液中的酒精浓度随饮酒次数的变化趋势。 对于任意 ，显然， ，我们考察点列 。令 ，则 ，且 ，由(18)式，有 其中 从而： 可见，点列 有极限，再由t的任意性便得以下结论: 定理4.4 在的推论4.3的条件下，当 时有 另外，因为 ， ，从而由(18)式得 即点列 为递增数列.这表明在第n+1个周期中某一时刻体液中酒精浓度比上一个周期中相同时刻的酒精浓度大，这符合每次饮酒后酒精在体液中不断堆积的常理。但定理4.4又表明酒精在体液中的这种堆积，却不是无限增大的，而是当n充分大，即饮酒次数充分多以后，在每一个周期内，体液中酒精浓度基本保持一个恒稳的变化规律，即 . 从而，定理4.4从理论上证实了药物时间动力学中有关实验性的结论[1]。 如果选取一组参数k1=1.98，k3=0.199，T=6(H)，V=49000(ml)，m=26500(mg)，则体液中酒精浓度函数的图象(前10个周期)如图3所示。从该图象上也可形象地看出体液中酒精浓度的周期性变化规律。下面我们精确刻画酒精浓度函数的上界。对于 ，容易得以下结论: 图3 间断周期饮酒时的酒精浓度函数 引理4.5 函数 在区间[0，T]内的点 处取得最大值 (19) 其中 . 证明 令 ，即可求得 ，再代入 便可求得其最大值. 这样，由引理4.5，再结合点列{pn((n-1)T+t)}的单调性，我们便有 定理4.6 如果 (定值) ，且 时，则在每个周期[(n-1)T，nT]上， 都有不依赖于n的上界，即 (20) 现在我们应用上述定理回答一个实际问题：根据《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》新标准的规定，当车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20mg/100ml时，就被视为饮酒驾车而受到限制和处罚。有一个问题是：一个驾驶员如果天天饮酒，是否还能开车?这个问题相当于在我们的间断饮酒模型中，取T=24(H)时，对任意n∈N(自然数集)，是否可以恒有 ?如果我们再假设每次饮相同量的同种酒，即 ，则由定理4.6，只需考察不等式 由此不等式可解得 (21) 注意到(21)式中不等号右端非负，这说明只要每天饮适量的酒(保证酒精含量不超过m0毫克，即可保证在任何时候体液(或血液)中酒精的含量小于20mg/100ml，从而可以时时开车而不用担心因血液中酒精含量超标而受罚。 比如，如果某人的体液为V=49000ml，吸收因子、消除因子分别为k1=1.98，k3=0.199，则由(21)式可以计算出m0=12549.6(mg)(相当于酒精度为4000mg/100ml的半瓶啤酒中酒精的含量)，即这个人每天饮用这样的啤酒只要不超过半瓶，那么，他就可以天天饮用，而在任何时候不用担心开车时因血液中酒精过量而受罚。我们的模型虽然是针对酒精在体液(或血液)中的浓度而建立的，事实上这些模型也适用于许多药物的吸收与消除过程，而对于某种药物，人们往往关心的是多少次用药后便可基本上达到所谓的“稳态”。在我们的模型中，这样的问题可叙述为：对于一个允许的误差>0，当n多大以后，可使 (22) 对任意t∈[0，T]均成立. 由定理4.4，不难证明不等式(22)等价于 即 (23) 为了估计 的值，我们假设 ，即两次饮酒时间间隔大于第一次饮酒后体液中酒精浓度最大的时刻。则 ，从而由推论2.3及定理4.1得，对于任意t∈[0，T]有 从而，要使不等式(23)成立，只需不等式 (24) 成立。注意到 ，所以必存在正整数n0，使得当n>n0时，恒有式(24)成立。即n0次用药以后，体液(或血液)中药物的浓度便基本达到“稳态”。 由式(24)求出关于n0的代数表达式并非容易。但是当有关参数取定值后，相应的n0便很容易在计算机上求解。比如，我们取一组参数E=10-6，m=26500(mg)，V=49000(ml)，T=6(H)，k1=1.98，k3=0.199代入(24)式，则可求出当n>15时，(24)式恒成立。 5 模型的优缺点分析 我们所建立的这几种模型，都是在非常理想的情况下取得的，即：主要考虑吸收因子和消除因子这两种因素，而且假设它们在一定的时间段内为常数。事实上，如前所述，在实际中，一方面，影响它们的因素很多，它们不可能恒为常数；另一方面，对于不同个体而言，它们也有显著差异(如大人和小孩)。这样，进一步需要做的是，充分进行调查、实验、测量和数据处理及分析，得出统计意义上的吸收因子和消除因子的值及其与其他因素的关联关系。所有这些工作我们无法在短时间内完成，不过，我们给出的这些模型确实为这些工作提供了理论上的支撑；为国家有关部门制定政策提供了理论依据；也为消费者(特别是司机朋友)提供了尽可能少饮酒的策略。 参考文献: [1]何绍雄。时间药理学与时间治疗学[M]。天津：天津科学技术出版社，1994.190—232. 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