积分

1 孔子的治学 多学，常习，好思，切问，勤记 。 子曰： 学而不思则殆,思而不学则罔。 子曰： 敏而好学，不耻下问。 积分理论的产生和发展 • 牛顿之前的积分概念----古希腊，欧洲早期的 积分思想 • 牛顿和莱布尼茨时期的积分概念 • 柯西的积分概念 • 新积分理论的产生---勒贝格积分，其他的积 分，抽象积分 古希腊人丈量土地的方法： 用规则图形的和近似地 示不规则土地的面积。 将不规则图形的分成若干 规则图形，并忽略很少的 剩余部分。 分得越细致，丈量就越准确。 在13世纪，法国数学家奥 雷姆就利用分割—求和的 方法求曲边梯形面积的近 似值。 柯西的积分概念显然受到 这些思想的启发。 2.1 黎曼积分 • 积分概念─牛顿与莱布尼茨 • 积分概念─柯西与黎曼 • 积分概念─达布 • 新积分理论产生─勒贝格 牛顿：1642~1727; 莱布尼茨：1646~1716; 柯西：1789~1857； 黎曼：1826~1866 ； 达布：1842~1917 ；勒贝格： 牛顿和莱布尼茨时代的积分概念 .d)(∫ba xxf莱布尼茨创造积分记号 ；是“无穷小的区间”xd .d)( 是“无穷窄的矩形”xxf O x y a b )(xf xd xxf d)( D的面积等于曲边梯形D 无穷多个无穷窄矩形面积之和． 2. 只有那些具有特殊数学才能的人，才能把握这种概念． 缺点 1. 概念模糊不清：“无穷小”，“无穷窄”，“如何求和”等． 优点 1. 直观； 2. 记号体现概念； 3. 应用方便； 4. 现代数学从中受到启发。 定义2.1.1 ,],[ 为有限区间设 ba :],[ 中插入一组分点在 ba bxxxxa n=<<<<= L210 :],[ 划分成若干小区间将 ba .],[,,],[,],[ 1210 nn xxxxxx −L 1−−=∆ kkk xxx记 （区间的分划） .},,,{,],[ 21 nxxxTba L=记作的一个分划称为 .}1|max{ λ记作，称为这个分划的直径=≤≤∆ nkxk 柯西和黎曼的积分概念 2 定义2.1.2 ,],[ 为有限区间设 ba .],[ 上的函数是定义在 baf :],[ 中插入一组分点在 ba bxxxxa n=<<<<= L210 中在每个区间 ],[ 1 kk xx − .1−−=∆ kkk xxx （黎曼积分） .],[},,,{ 21 的一个分划为 baxxxT nL= .}1|max{ nkxk ≤≤∆=λ .kξ任意取一点 并且构造相应的积分和 ∑ ∆⋅ kk xf )(ξ x a b kxkξ 1ξ 2ξ y O x )(xfy = a b kxkξ 1ξ 2ξ y O x )(xfy = ，时当 0→λ ，存在如果 kk xf ∆∑ )(lim ξ .],[ 可积在区间则称 baf .],[ baRf ∈记作 并称该极限为函数 f (x)在区间[a,b]上的黎曼积分, 也称为定积分. ∫ba xxf d)( 上的定积分记作在 ],[ baf 这个积分的值只与函 数 f 的和区间[a,b]有关. 与自变量的记号 x 无关， .d)( ∫∫ baba fxxf 写作所以又将 述积分概念：语言可以以如下方式表用极限的 δε − .],[ 上的有界函数是定义在 baf ,0>∀ε如果 ,0>∃δ ，的任一个分划对于区间 },,,{],[ 21 nxxxTba L= ，中怎样选取在小区间不论 ],[ 1 kkk xx −ξ 都有 .)( εξ <−∆⋅∑ Axf kk .是一个实数A .}1|max{ δλ <≤≤∆= nkxk只要 .],[ 可积在区间则称 baf 并称实数 A 为 f (x) 在 [a,b] 上的黎曼积分. 1 黎曼积分存在的的必要条件： :d)( 存在的必要条件∫ba xxf .)()2(],[)1( 有界；有限 xfba 证明第一个必要条件： .d)( 存在假设 ∫ba xxf .1 δ存在正数，则对于正数 ，的任一个分划对于区间 },,,{],[ 21 nxxxTba L= ，中怎样选取在小区间不论 ],[ 1 kkk xx −ξ 都有 .1)( <−∆⋅∑ Axf kkξ .}1|max{ δλ <≤≤∆= nkxk只要 1.1||)( MAxf kk =+<∆⋅∑ ξ ．满足，的一个分割：取定 δλ <=<<<= bxxxaba nL10],[ 1.1||)( MAxf kk =+<∆⋅∑ ξ .],[)( 无界在假设 baxf .],[)( 10 无界在不妨假设 xxxf ．式被破坏就可以使得，适当改变 11ξ ，取 ],[ 101 xx∈η 满足 . |)(| |)(| 1 2 1 x Mxf f n k kk ∆ +∆ > ∑ = ξ η 2 .)( 11 1 ξηξ 取代中用在 ∑ = ∆n k kk xf .)()( 2 11 ∑= ∆+∆ n k kk xfxf ξη考察 .|)()(| 2 11 Mxfxf n k kk <∆+∆ ∑= ξη ,}max{ δλ <∆= ix由于 应当有 3 但是由2式推出： |)()(| 2 11 ∑= ∆+∆ n k kk xfxf ξη |)(||)(| 2 11 ∑= ∆−∆≥ n k kk xfxf ξη |)(||)(| 22 ∑∑ == ∆−+∆> n k kk n k kk xfMxf ξξ .M= . |)(| |)(| 1 2 1 x Mxf f n k kk ∆ +∆ > ∑ = ξ η 2 这个冲突说明 f (x) 不能无界. 3 法国数学家柯西最早用函数值和式的极限来定义积分概 念，但是他仅认识到连续函数是可积的。 后来德国数学家 黎曼指出：积分存在不必要求函数连 续或者分段连续。他证明了某些 又无穷多个间断点的函 数也是可积的。黎曼给出了一个 积分存在的 充分必要 条件。（见定理7.1.1）黎曼的这个定理至今仍然是判定 函数是否可积的一个非常有用的结论。 法国数学家达布有对黎曼的积分理论进行了更加深入 的研究。他用一种新的、但是等价的方法给出了积分的 另一种定义方法。借助于他自己的理论，进一步扩展了 可积函数的范围。 达布的积分概念 .)( 1 ∑ = ∆⋅= n k kk xfS ξ 的任意分划：对于 ],[ ba bxxxa n =<<<= L10 黎曼和 达布上和 达布下和 . 1 ∑ = ∆⋅= n k kk xMS . 1 ∑ = ∆⋅= n k kk xmS .SSS ≤≤ ).,2,1(|)(inf{ 1 L=≤≤= − kxxxxfm kkk ),,2,1(|)(sup{ 1 L=≤≤= − kxxxxfM kkk 达布上、下和的性质： 1．增加分点时，上和不增，下和不减； 2．任一分割的上和不超过任一分割的下和； 3．所有上（下）和构成的数集有下（上）界； .sup:,inf: SISI == .II ≥ ，如果 II = .],[)( 上的上积分在称为 baxfI .],[)( 上的下积分在称为 baxfI 定义 .],[)( 可积在则称 baxf 定理 .],[)( 有界在设 baxf 两种积分定义是等价的。 定积分存在的充分条件： .d)(],[)(.1 存在则，连续在若 ∫ba xxfbaxf ,],[)(.2 且只有有限个间断点，有界在若 baxf .d)( 存在则 ∫ba xxf .d)(],[)(.3 存在则，单调在若 ∫ba xxfbaxf 定积分存在的充分必要条件 的充分必要条件是则 ],[ baRf ∈.],[)( 有界在设 baxf .0lim 0 =∆∑→ k kk xωλ ),2,1(: L=−= kmM kkkω ,1−−=∆ kkk xxx其中 }|)(inf{ 1 kkk xxxxfm ≤≤= − }|)(sup{ 1 kkk xxxxfM ≤≤= − 黎曼积分的优点 黎曼积分的局限 直观、简单，便于计算和应用。对于应用来说基本够用。 1. 可积函数类太小：有限区间，有界函数；不连续点不能 太多，可积函数基本上是“分段连续函数”。 2. 积分理论中的一些基本问题解决不了。例如函数级数的 逐项积分问题；反常重积分交换积分顺序问题；函数空间 的完备性问题。因此黎曼积分在理论上不能成为近代分析 数学的基础。 黎曼积分的这些缺点导致20世纪初勒贝格积分的产生。 4 用积分存在的充要条件证明函数可积 .],[,],[.1 2 baRfgbaRf ∈=∈ 求证设 证明 .0lim 0 =∆∑→ k k g k xωλ只需证明 ),,2,1( nkmM km g k g k L=−=ω ,}|)(sup{ 1 kk g k xxxxgM ≤≤= − ),,2,1(}|)(inf{ 1 nkxxxxgm kk g k L=≤≤= − .],[, 1 kk xxvu −∈∀ |)()(||)()(| 22 vfufvgug −=− |)()(||)()(| vfufvfuf −⋅+= f kMvfufM ω2|)()(|2 ≤−≤|)()(| vgug − .)],[,( 1 kk xxvu −∈∀ .2 ∑∑ ∆≤∆ k k f k k k g k xMx ωω .0lim 0 =∆∑→ k k f k xωλ .0lim 0 =∆∑→ k k g k xωλ 推出],[ baRf ∈ 进而推出 .],[ baRg∈从而 ),,2,1(2 nkM fk g k L=≤ ωω .)(0)(,],[.2 bxacxfbaRf ≤≤>≥∈设 .],[ )( 1)( baR xf xg ∈=求证 证明 .0lim 0 =∆∑→ k k g k xωλ )()( )()( )( 1 )( 1|)()(| vfuf vfuf vfuf vgug −=−=− 只需证明 ),,2,1( nkmM km g k g k L=−=ω ,}|)(sup{ 1 kk g k xxxxgM ≤≤= − ),,2,1(}|)(inf{ 1 nkxxxxgm kk g k L=≤≤= − ,],[, 1 kk xxvu −∈∀ )()( )()( )( 1 )( 1|)()(| vfuf vfuf vfuf vgug −=−=− |)()(|12 vfufc −≤ k k g g kk g k xmMx ∆−=∆⋅ )(ω .12 f kc ω≤ .2 k f k xc ∆≤ ω .0lim 0 =∆∑→ k k f k xωλ .0lim 0 =∆∑→ k k g k xωλ .12 ∑∑ ∆≤∆ k k f k k k g k xc x ωω 推出],[ baRf ∈ 进而推出 .],[ baRg∈从而 用积分概念求极限.3 1 21lim +∞→ +++ p ppp n n nL ])()2()1[(1 ppp n n nnn +++= L1 21 + +++ p ppp n nL .d10∫ xx p考察积分 .},,2,1,0{:]10[ n n nn T L的分划：， 相应的积分和： ),,2,1(1 nk n xk L==∆ .],[ 1 kkk xxn k −∈=ξ =∆∑ kk xf )(ξ ])()2()1[(1 ppp n n nnn +++ L .1}max{ n xk =∆=λ =∆∑→ kk xf )(lim0 ξλ .1 1d10 +=∫ pxx p )2(1limlim: 3 33 23 22 nnnn I nnn +++= ∞→∞→ L求和 nn n nn nnn n 121)2(1 3333 33 23 22 ⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++=+++ LL .)(]1,0[)( 1 ∑ ∆⋅= = n k kk xfxxf ξ的积分和在这是 . 3 2 3 2dlim 10 1 0 3 2 3 ==∫=∞→ xxxInn nn n nnnn 11211 333 ⋅++⋅+⋅= L ,1 n xk =∆ ).,,2,1()( 3 nk n kf k L==ξ 解 例4 5 定积分的方向性: 若 f (x) 在 [a, b]上可积, 则 .d)(d)( ∫−=∫ baab xxfxxf 假设区间[a, b]的分割为: bxxxxxa nkk =<<<<<<= − LL 110 证明 :d)( 的积分和∫ba xxf ∑ −⋅ − )()( 1kkk xxf ξ :d)( 的积分和∫ab xxf ∑ −⋅ − )()( 1 kkk xxf ξ 两个积分和大小相等但是符号相反. 由于定积分是积分和的极限, 于是由取极限就得到: .d)(d)( ∫−=∫ baab xxfxxf .0d)( =∫aa xxf特别地, 有 例3 .0dsinlim 1 =∫ ++∞→ n nn x x x求证 证明 根据积分中值定理得到: .)1(sindsin1 +≤≤=∫ + nnxx x n n nn n ξξ ξ 于是 .1|sin||dsin| 1 n x x x n nn n ≤=∫ + ξ ξ 由此立即得到： .0dsinlim 1 =∫ ++∞→ n nn x x x 下面的证明是错误的！ 根据积分中值定理： nn xx ξ+=∫ + 1d110 ，使得存在 )1,0(∈ξ 于是 .11lim10 =+<< ∞→ n n ξξ 所以，因为 ∫ ++∞→ 1 0 d1lim xx n n 11lim =+= +∞→ n n ξ 请读者自己研究哪一步有问题.