同旁内角计数的难题详解

●我为竞赛命题● 同 旁 内 角 的 计 数 ———从具体到抽象 罗 增 儒 (陕西师范大学数学系 ,710062) 　　收稿日期 :2004 - 03 - 01 1 　题目 1994年由陕西省数学会主办全国初中 数学联赛 ,我参与了该年的命题工作 ,并提供 了下面的选择题 : 图 1 例 1 　若平行直 线 EF、MN 与相交直 线 AB 、CD 相交成如 图 1 所示的图形 ,则 共得同旁内角 ( 　　) 对. (A) 4 　　(B) 8 　　(C) 12 　　(D) 16 答案提供的思路是 (图 2) ,将已给图形 分解为 8 个“三线八角”基本图形 ,由每个基 本图形都有 2 个同旁内角知 ,共得 16 个同旁 内角[1 ] . 图 2 2 　考查意图与效果反馈 两条平行线被第三条直线所截 ,同旁内 角互补. 这是学生非常熟悉的命题. 其逆命题 更是学生经常使用的平行线判别定理. 但“同 旁内角”的概念不是建立在“平行线”的基础 上的 ,任意两条直线被第三条直线所截 ,都产 生“顶点在截线上”的同旁内角. 因此 ,编题的 第一个意图是 ,通过增加一条直线 (使产生既 有平行又有相交的直线组)考查学生是否真正 明确“同旁内角”的概念 ,是否忘却“同旁内角” 的原本来由. 当然 ,图 1 也可理解为 ,由两条 “平行线 ( EF 与 MN) 分别被第三条直线 ( AB 与 CD)所截”的基本图形叠加而成 (图 3) . 图 3 值得注意的是 ,无论是“基本图形再添加 一条直线”还是“两个基本图形叠加起来”,都 产生了新的情况 ,其分解比当初的组合复杂 了 ,直接计数很容易产生重复或遗漏. 因此 , 编题的第二个意图是考查“化归为基本图 形”、并通过分类来化归的解题思想. 具体实 施可以有两个途径. 解法 1 : (取出 1 条直线使剩下的线组成 三线八角)分成四类. 取出 AB ,图中有 1 个基本图形 ,得 2 对 同旁内角 ;取出 CD ,图中有 1 个基本图形 ,得 2 对同旁内角 ;取出 EF ,图中有 3 个基本图 形 ,得 6 对同旁内角 ;取出 MN ,图中有 3 个 基本图形 ,得 6 对同旁内角. 相加得 2 + 2 + 6 + 6 = 16 对同旁内角. 解法 2 : (取出三角形或平行线来组成三 线八角)分成两类. 41 中 等 数 学 图中有 2 个三角形 ,每个三角形产生 3 个基本图形 ,共得 2 ×2 ×3 = 12 对同旁内角. 图中有 2 条平行线 ,分别添上截线 ,产生 2 个基本图形 ,共得 2 ×2 = 4 对同旁内角. 相加得 12 + 4 = 16 对同旁内角. 据当年陕西考区的抽样知 ,各选项的得 分率分别为 : (A) 占 0117 , (B) 占 0128 , (C) 占 0120 , (D) 点 0134 ,未答占 0101[2 ] . 这说明 ,有 17 %的学生误认为截平行线才产生同旁内 角 ,或把图 1 仅分解为图 3 ;另有 49 %的学生 不能出一个有条理的程序来计数 ,或是 不善于分类或是分类不当 ;只有 34 %的学生 得出了正确的答案. 这道题目的知识要求不多 ,解题的主要 障碍在方法上 : (1)能否从复杂 (或非) 的图形中分 离出基本图形来. 这需要“同旁内角”概念的 明确和识别基本图形的能力 ,其背后有数学 解题的化归 (或标准化) 思想、可具体为几何 解题的基本图形思想在调控. (2)能否在分离图形的基础上进行正确 的分类计数. 这需要分类标准的明智选择和 分类过程的不重不漏. 正整数的加法谁都会 做 ,但是 ,一共有几个加数、每个加数是什么 ? 这已涉及朴素的组合思想. 解法 1 中 ,每次从 4 条直线中取出 1 条 ,使剩下的图形去组成 “三线八角”基本图形 ,有 C14 = 4 种取法 ;而这 4 种取法又可分成两大类 ,一类是两两相交 , 另一类是有两条平行线. 由此产生解法 2 的 分类. 这些背景渗透了组合思想、加法原理 , 但并不需要专门的组合名词. 3 　方法的局限性 这道题目 ,在当年的命题现场上曾得到 过中国数学会普及工作委员会杜锡录等专家 的好评 ,此后的中学数学教学中 ,也常把它作 为“化归为基本图形”解题的一个范例[3～5 ] . 但是 ,此题的解法存在着明显的局限性. 当直 线的数量不断增加、位置发生变化 (如出现三 线共点的情况)时 ,其局限性就暴露出来了. 图 4 例 2 　如图 4 , l1 与 l2 为相交直线 , l3 与 l4 为平行直线 , l5 与 l6 为平行直线. 问 这 6 条直线组成多少 对同旁内角 ? 例 3 　设直线 l1 , l2 , ⋯, lk ( k ≥3)或是相 交或是平行 ,其中 li 上有 ni 个交点 ,每个交 点都无三线共点的情况. 问这 k 条直线组成 的图形中 ,有多少对同旁内角 ? 例 4 　设直线 l1 , l2 , ⋯, lk ( k ≥3)或是相 交或是平行 ,其中 li 上有 ni 个交点 (1 ≤ni < k) ,每个交点分别有 ai1 , ai2 , ⋯, aini (1 ≤aij < k ,1 ≤j ≤ni ) 条直线与 li 相交. 问这 k 条 直线组成的图形中 ,有多少对同旁内角 ? 如果说 ,例 2 还可以勉强从图中找出 11 个三角形 ( △ABC、△BCF、△AB F、△A EI、 △AGJ 、△DB E、△DCI、△GEH、△GB K、 △IJH、△J KF ,如图 5) ,8 个由平行线组成的 图 5 “三线八角”基本图 形 ,从而算出 6 ×11 + 2 ×8 = 82 对同旁内角 的话 ,那么 ,连图都没 有的例 3、例 4 从何找 三角形 ? 从何找平行 线呢 ? 这使我们反思 当初 : (1)解法对图形的依赖太重了 ; (2)对“三线八角”基本图形在计数上的 认识太粗浅了. 这促使我们去思考“三线八角”基本图形 的本质结构. 4 　直觉的发现 k 条直线两两相交且无三线共点的情况 很容易解决 ,问题是既有相交又有平行的情 况. 经过对“三线八角”基本图形的反复观察 , 感到在计数的问题上三条线的地位是不平等 的 ,关键是截线 ,在我们的面前出现了一幅 “截线不动”、“另两条直线逐渐收缩”的模糊 512004 年第 3 期 图景 (图 6 中 ,两直线 b、c 被直线 a 所截) : 图 6 于是 ,我们看到每一个“三线八角”基本 图形对应着截线上的两个点 (或者说 1 条线 段) ,“三线八角”基本图形的计数就转化为截 线上线段条数的计数. 认识上的深入带来了 计数上的转变 :从找“三线组成的图形”简化 为找“一线上的线段”. 逐条取出该不会重复 也不会遗漏吧 ,蒙　中 ,我们得出了这样的结 论[6 ] : 命题　设直线 l1 , l2 , ⋯, lk ( k ≥3) 或是 相交或是平行 ,其中 li 上有 ni ( ni ≥1) 个交 点.则这 k 条直线组成的图形中 ,有 2 ∑ k i = 1 C2ni 对同旁内角. 利用这个公式验证例 1 ,得 2 ×(3 + 3 + 1 + 1) = 16 对同旁内角 ,结论是正确的. 但利 用此公式计算例 2 只得出 2 (C24 + C25 + C23 + C24 + C23 + C24 ) = 68 对同旁内角 ,比正确答案 82 少了 ! 一个伴随着激动情绪而得出的公式 ,虽 然反映了对单个“三线八角”几何结构的本质 理解 ,但是没有注意到 ,多个“三线八角”加以 组合时会出现截点重合 (多线共点) 的细节 , 因而还存在着需要弥补的漏洞. 如图 4 ,点 B 是直线 l1 、l3 、l5 的公共点 (称为二重交点) ,对截线 l1 而言 , A 不是单 重交点 ,线段 AB 不仅对应着 l2 、l3 被 l1 所截 产生的基本图形 ,且对应着 l2 、l5 被 l1 所截 产生的基本图形. 所以 ,以 l1 为截线不是只 有 C24 = 6 个基本图形 ,而是有| l1 | = 9 个基本 图形 ( | li | 表示以 li 为截线的基本图形个 数) . 同理 ,| l3 | = | l5 | = 5 ,而不是 C23 . 因此 , 有 2 ∑ 6 i = 1 | li | = 2 (9 + 10 + 5 + 6 + 5 + 6) = 82 对. 明白了其中的道理 ,便可回答例 4[7 ,8 ] . 5 　一般性的结论 定理 　设直线 l1 , l2 , ⋯, lk ( k ≥3) 或是 相交或是平行 ,其中 li 上有 ni (1 ≤ni < k) 个 交点 ,每个交点分别有 ai1 , ai2 , ⋯, aini (1 ≤aij < k ,1 ≤j ≤ni ) 条直线与 l i 相交. 则图中共 有同旁内角 ∑ k i = 1 [ ( ∑ ni j = 1 aij ) 2 - ∑ ni j = 1 a 2 ij ]对. :考虑以 li 为截线的基本图形 ,这 就是从 ni 个截点中取两条直线 ,每条来自不 同的截点 ,其取法数为 ai1 ai2 + ai1 ai3 + ⋯+ ai1 aini + ai2 ai3 + ⋯+ ai2 aini + ⋯+ aini - 1 aini . 整理得以 li 为截线的“三线八角”基本 图形有 12 [ ( ∑ ni j = 1 aij ) 2 - ∑ ni j = 1 a 2 ij ]个. 取 i = 1 ,2 , ⋯, k ,注意到每一个“三线八 角”基本图形都有 2 对同旁内角 ,故得图中同 旁内角的对数为 ∑ k i = 1 [ ( ∑ ni j = 1 aij ) 2 - ∑ ni j = 1 a 2 ij ] . 特别地 ,当 ai1 = ai2 = ⋯= aini = 1 ( i = 1 ,2 , ⋯, k)时 ,结论为 ∑ k i = 1 ( n2i - ni ) = 2 ∑ k i = 1 C2ni . 约定 ni = 1 时 ,C21 = 0. 这就是例 3 的答案. 参考文献 : [1 ] 　1994 年全国初中数学联赛[J ] . 中等数学 ,1994 (3) . [2 ] 　罗增儒. 1994 初中数学联赛命题侧记 [J ] . 数学通讯 , 1994(9) . [3 ] 　杨 　之等. 几何基本图形及其应用 [J ] . 数学教师 , 1997(6) . [4 ] 　王　剑 ,严镇军. 几何图形的计数[J ] . 中学数学教学 , 2003(5) . [5 ] 　细数三线八角[J ] . 中学生数学 ,2004 (2 (下) ) . [6 ] 　罗增儒. 解题分析———解题教学还缺少什么环节 ? [J ] . 中学数学教学参考 ,1998 (1～2) . [7 ] 　罗增儒. 解题分析———再找自己的解题愚蠢[J ] . 中学 数学教学参考 ,1998 (4) . [8 ] 　罗增儒等. 直觉探索方法 [ M] . 郑州 :大象出版社 , 1999 ,9. 61 中 等 数 学