高数极限1-2pdf

第一章第一章第一章第一章 一一一一、、、、自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限 第二节第二节第二节第二节 ,)(xfy =对 0)1( xx → +→ 0)2( xx −→ 0)3( xx ∞→x)4( +∞→x)5( −∞→x)6( 自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式: 二二二二、、、、自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限 本节本节本节本节内容内容内容内容 : 机动机动机动机动 目录目录目录目录 上页上页上页上页 下页下页下页下页 返回返回返回返回 结束结束结束结束 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 εεεε<<<<−−−− Axf )( δδδδ<<<<−−−−<<<< 00 xx δδδδ−−−−0x δδδδ++++0x ,0 邻域邻域邻域邻域的去心的去心的去心的去心点点点点 δδδδx .0程度程度程度程度接近接近接近接近体现体现体现体现 xxδδδδ 用数学语言刻划用数学语言刻划用数学语言刻划用数学语言刻划 ,0xx →→→→ 无限接近无限接近无限接近无限接近 )(xf函数函数函数函数 于于于于确定值确定值确定值确定值A. ;)( 任意小任意小任意小任意小示表示表示表示 Axf −−−− .0的过程的过程的过程的过程表示表示表示表示 xx →→→→<<<<0 0xx ≠≠≠≠ ),( 0 δδδδxU � 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 一一一一、、、、函数在函数在函数在函数在一点一点一点一点(one-point)的极限的极限的极限的极限 xO 0x δδδδ δδδδ ,0>>>>εεεε∀∀∀∀若若若若 )( δδδδ−−−−εεεε ,0>>>>εεεε∀∀∀∀若若若若 1.1.1.1.定义定义定义定义 定义定义定义定义 设设设设函数函数函数函数 有有有有定义定义定义定义. ,0>>>>δδδδ∃∃∃∃ ,0 0 时时时时使当使当使当使当 δδδδ<<<<−−−−<<<< xx εεεε<<<<−−−− Axf )( ,)(0 Axfxx 有极限有极限有极限有极限时函数时函数时函数时函数则称则称则称则称 →→→→ ,)(lim 0 Axf xx ==== →→→→ 记作记作记作记作 ).()( 0xxAxf →→→→→→→→或或或或 ,0>>>>δδδδ∃∃∃∃ 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 恒有恒有恒有恒有 )(xf 在点在点在点在点x0某某某某去心邻域内去心邻域内去心邻域内去心邻域内 ,0>>>>∀∀∀∀εεεε εεεε++++<<<<<<<<εεεε−−−− AyA 必存在必存在必存在必存在x0的去心邻域的去心邻域的去心邻域的去心邻域 ,0 0 δδδδ<<<<−−−−<<<< xx 对于此邻对于此邻对于此邻对于此邻域内域内域内域内的的的的 x, 对应的函数图形位于这一带形区域内对应的函数图形位于这一带形区域内对应的函数图形位于这一带形区域内对应的函数图形位于这一带形区域内. 的几何意义的几何意义的几何意义的几何意义Axf xx ==== →→→→ )(lim.2 0 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 作出带形区域作出带形区域作出带形区域作出带形区域 ,0>>>>∀∀∀∀εεεε ,0 0 δδδδ<<<<−−−−<<<< xx当当当当 εεεε<<<<−−−− Axf )(,0>>>>δδδδ∃∃∃∃ x y O )( xfy ==== εεεε−−−−A εεεε++++A 0xδδδδ−−−−0x δδδδ++++0x A 例例例例1 6)22(lim 2 ====++++ →→→→ x x ：：：：证明证明证明 ,0>>>>∀∀∀∀ εεεε对于对于对于对于 εεεε<<<<−−−−++++ |6)22(| x若使得若使得若使得若使得证证证证：：：： .|2|2 εεεε<<<<−−−−x应有应有应有应有 。。。。只需只需只需只需 2/|2| εεεε<<<<−−−−x ,2/εεεεδδδδ ====令令令令 时时时时，，，，当当当当 δδδδ<<<<−−−− |2| x .|6)22(| 成立成立成立成立就有就有就有就有 εεεε<<<<−−−−++++x 6)22(lim 2 ====++++ →→→→ x x 由极限的定义可知由极限的定义可知由极限的定义可知由极限的定义可知 极限值等于函数值极限值等于函数值极限值等于函数值极限值等于函数值 例例例例2 .2 1 1lim 2 1 ==== −−−− −−−− →→→→ x x x 证明证明证明证明 证证证证 2 1 1)( 2 −−−− −−−− −−−− ====−−−− x xAxf∵ ,0>>>>∀∀∀∀εεεε ,εεεεδδδδ ====只要取只要取只要取只要取 ,10 时时时时当当当当 δδδδ<<<<−−−−<<<< x 函数在点函数在点函数在点函数在点 1−−−−==== x ,)( εεεε<<<<−−−− Axf ,2 1 12 εεεε<<<<−−−− −−−− −−−− x x有有有有 .2 1 1lim 2 1 ==== −−−− −−−− ∴∴∴∴ →→→→ x x x 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 处没有定义处没有定义处没有定义处没有定义.1====x 要使要使要使要使 （（（（写成分式的含义写成分式的含义写成分式的含义写成分式的含义）））） 单侧极限单侧极限单侧极限单侧极限 的左极限的左极限的左极限的左极限。。。。点点点点在在在在是是是是则称则称则称则称无限接近无限接近无限接近无限接近，，，，与某个实数与某个实数与某个实数与某个实数 时时时时，，，，函数值函数值函数值函数值的方向无限接近的方向无限接近的方向无限接近的方向无限接近从小于从小于从小于从小于若自变量若自变量若自变量若自变量 0 00 )( )( xxfAA xfxxx .)0()(lim 0 0 AxfAxf xx ====−−−−==== →→→→ 或或或或记为记为记为记为 －－－－ 的右极限的右极限的右极限的右极限。。。。点点点点在在在在是是是是则称则称则称则称无限接近无限接近无限接近无限接近，，，，与某个实数与某个实数与某个实数与某个实数 时时时时，，，，函数值函数值函数值函数值的方向无限接近的方向无限接近的方向无限接近的方向无限接近从大于从大于从大于从大于若自变量若自变量若自变量若自变量 0 00 )( )( xxfAA xfxxx .)0()(lim 0 0 AxfAxf xx ====++++==== ++++→→→→ 或或或或记为记为记为记为 0x x 0x x .)(lim 0 称为双侧极限称为双侧极限称为双侧极限称为双侧极限极限极限极限极限 xf xx→→→→ 左极限左极限左极限左极限 ,0>>>>εεεε∀∀∀∀ 右极限右极限右极限右极限 Axf xx xx ==== −−−−→→→→ −−−−→→→→ )(lim )( 0 0 0 记作记作记作记作 Axf xx xx ==== ++++→→→→ ++++→→→→ )(lim )( 0 0 0 记作记作记作记作 ,0>>>>δδδδ∃∃∃∃ .)( εεεε<<<<−−−− Axf恒有恒有恒有恒有 00 xxx <<<<<<<<δδδδ−−−−使得使得使得使得 时时时时, Axf ====−−−− )0( 0或或或或 ,0>>>>εεεε∀∀∀∀ ,0>>>>δδδδ∃∃∃∃ δδδδ++++<<<<<<<< 00 xxx使得使得使得使得 时时时时, .)( εεεε<<<<−−−− Axf恒有恒有恒有恒有 Axf ====++++ )0( 0或或或或 .)( 0 Axf ====−−−−或或或或 或或或或 .)( 0 Axf ====++++ 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 定理定理定理定理1 Axf xx ==== →→→→ )(lim 0 Axfxf ====++++====−−−− )0()0( 00的充要条件是的充要条件是的充要条件是的充要条件是 （（（（单侧极限与双侧极限的关系单侧极限与双侧极限的关系单侧极限与双侧极限的关系单侧极限与双侧极限的关系）））） 证略证略证略证略。（。（。（。（P8）））） :)( 0 为为为为处极限存在的充要条件处极限存在的充要条件处极限存在的充要条件处极限存在的充要条件在点在点在点在点函数函数函数函数 xxf 等等等等。。。。相相相相处的左右极限都存在且处的左右极限都存在且处的左右极限都存在且处的左右极限都存在且在点在点在点在点 0)( xxf 性质常用于判断性质常用于判断性质常用于判断性质常用于判断分段函数分段函数分段函数分段函数当当当当x趋近于趋近于趋近于趋近于 分段分段分段分段点点点点时的极限时的极限时的极限时的极限. 试证函数试证函数试证函数试证函数 , 1sin 1)(    ≥≥≥≥ <<<< ==== xx xx xf )(lim 1 xf x −−−−→→→→ x x −−−−→→→→ ==== 1 lim .,1 无极限无极限无极限无极限时时时时当当当当 →→→→x 证证证证 )(lim 1 xf x ++++→→→→ x x sinlim 1++++→→→→ ==== 1==== 1sin==== 左左左左、、、、右极限不相等右极限不相等右极限不相等右极限不相等, 故故故故 .)(,1 无极限无极限无极限无极限时时时时 xfx →→→→ 例例例例 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 二二二二、、、、函数在函数在函数在函数在无穷远点无穷远点无穷远点无穷远点(infinite point)的极限的极限的极限的极限 设对充分大的设对充分大的设对充分大的设对充分大的x,（（（（如如如如x>X））））函数函数函数函数 处处有定义处处有定义处处有定义处处有定义.)(xf 如果随着如果随着如果随着如果随着x的的的的无限增大无限增大无限增大无限增大, )(xf相应的函数相应的函数相应的函数相应的函数 就就就就 无限接近无限接近无限接近无限接近某一常数某一常数某一常数某一常数 A. 由此可引入函数在由此可引入函数在由此可引入函数在由此可引入函数在 无穷远处的极限概念无穷远处的极限概念无穷远处的极限概念无穷远处的极限概念. 以下分别用记号以下分别用记号以下分别用记号以下分别用记号 +∞+∞+∞+∞→→→→x −∞−∞−∞−∞→→→→x ∞∞∞∞→→→→x 表示表示表示表示 ,x−−−− 无限增大的过程无限增大的过程无限增大的过程无限增大的过程. x 趋向于负无穷趋向于负无穷趋向于负无穷趋向于负无穷 x 趋向于无穷趋向于无穷趋向于无穷趋向于无穷 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限      x趋向于正无穷趋向于正无穷趋向于正无穷趋向于正无穷 ,x || x εεεε<<<<−−−− Axf )( Xx >>>> 用数学语言刻划用数学语言刻划用数学语言刻划用数学语言刻划 ;)( 任意小任意小任意小任意小Axf −−−− .的过程的过程的过程的过程∞∞∞∞→→→→x 表示表示表示表示 表示表示表示表示 无限增大无限增大无限增大无限增大. 1. 定义定义定义定义 定义定义定义定义 .||)( 上有定义上有定义上有定义上有定义在在在在设设设设 axxf >>>>)( X−−−−εεεε ,0>>>>εεεε∀∀∀∀ ,0>>>>∃∃∃∃X ,|| 时时时时使得当使得当使得当使得当 Xx >>>> 恒有恒有恒有恒有 εεεε<<<<−−−− |)(| Axf ,)( Axfx 有极限有极限有极限有极限时函数时函数时函数时函数则称则称则称则称 ∞∞∞∞→→→→ ,)(lim Axf x ==== ∞∞∞∞→→→→ 记作记作记作记作 ).()( ∞∞∞∞→→→→→→→→ xAxf或或或或 若若若若 ,0>>>>εεεε∀∀∀∀ ,0>>>>∃∃∃∃X 无限接近无限接近无限接近无限接近、、、、 aX ≥≥≥≥ 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 :)1( 情形情形情形情形+∞+∞+∞+∞→→→→x ,0>>>>εεεε∀∀∀∀ :)2( 情形情形情形情形−∞−∞−∞−∞→→→→x Axf ====)(lim Axf ====)(lim 2. 另两种情形另两种情形另两种情形另两种情形 ,0>>>>∃∃∃∃X ,时时时时使当使当使当使当 Xx >>>> εεεε<<<<−−−− |)(| Axf恒有恒有恒有恒有 ,0>>>>εεεε∀∀∀∀ ,0>>>>∃∃∃∃X ,时时时时使当使当使当使当 Xx −−−−<<<< .)( 上有定义上有定义上有定义上有定义在在在在设设设设 axxf >>>> εεεε<<<<−−−− |)(| Axf恒有恒有恒有恒有 ( ) .f x x a< −设 在 上有定义 +∞+∞+∞+∞→→→→x −∞−∞−∞−∞→→→→x 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 ⇔⇔⇔⇔ 解解解解 显然有显然有显然有显然有 , 2 arctanlim pipipipi==== +∞+∞+∞+∞→→→→ x x , 2 arctanlim pipipipi−−−−==== −∞−∞−∞−∞→→→→ x x 可见可见可见可见 x x arctanlim +∞+∞+∞+∞→→→→ 和和和和 x x arctanlim −∞−∞−∞−∞→→→→ 虽然都存在虽然都存在虽然都存在虽然都存在, 但它们不相等但它们不相等但它们不相等但它们不相等. x x arctanlim ∞∞∞∞→→→→ 故故故故 不存在不存在不存在不存在. 例例例例 讨论极限讨论极限讨论极限讨论极限 是否存在是否存在是否存在是否存在?x x arctanlim ∞∞∞∞→→→→ Axf x ==== ∞∞∞∞→→→→ )(lim 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 且且且且Axf x ==== +∞+∞+∞+∞→→→→ )(lim Axf x ==== −−−−∞∞∞∞→→→→ )(lim εεεε−−−− εεεε X−−−− X ,时时时时或或或或当当当当 XxXx >>>>−−−−<<<< A 的几何意义的几何意义的几何意义的几何意义Axf x ==== ∞∞∞∞→→→→ )(lim.3 ,|| 时时时时当当当当 Xx >>>> 有有有有 εεεε<<<<−−−− |)(| Axf ,0>>>>εεεε∀∀∀∀ ,0>>>>∃∃∃∃X ⇔⇔⇔⇔ εεεε++++<<<<<<<<εεεε−−−− AxfA )( )(xfy ====函数函数函数函数 ,为中心线为中心线为中心线为中心线以直线以直线以直线以直线 Ay ==== .2 的带形区域内的带形区域内的带形区域内的带形区域内宽为宽为宽为宽为 εεεε 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 )(xfy ==== 图形图形图形图形 完全落在完全落在完全落在完全落在: x y O 直线直线直线直线 y = A称为曲线称为曲线称为曲线称为曲线 )(xfy ==== 的的的的水平渐近线水平渐近线水平渐近线水平渐近线 例例例例. 证明证明证明证明 .01lim = ∞→ xx 证证证证: 01 − x x 1 = 取取取取 ,1 ε =X ,时当 Xx > ε<− 01 x 因此因此因此因此 01lim = ∞→ xx 注注注注: 就有就有就有就有 故故故故 ,0>∀ε 欲使欲使欲使欲使 ,01 ε<− x 即即即即 , 1 ε >x o x y x y 1= . 10 的水平渐近线的水平渐近线的水平渐近线的水平渐近线为为为为 x yy ======== x xy sin==== 练习练习练习练习 0sinlim ==== ∞∞∞∞→→→→ x x x 证明证明证明证明 证证证证 ,0>>>>εεεε∀∀∀∀ , 1 εεεε ====X取取取取 ,|| 时时时时当当当当 Xx >>>> εεεε<<<<−−−− 0sin x x .0sinlim ==== ∞∞∞∞→→→→ x x x 故故故故 要使要使要使要使 ,0sin εεεε<<<<−−−− x x 成立成立成立成立. x x x x sin0sin ====−−−−∵ ,|| 1 x ≤≤≤≤ 只要只要只要只要 εεεε<<<<|| 1 x 有有有有, 1|| εεεε >>>>x即即即即 解不等式解不等式解不等式解不等式 || x解出解出解出解出 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 x y O 函数极限与数列极限相比函数极限与数列极限相比函数极限与数列极限相比函数极限与数列极限相比,有类似的性质有类似的性质有类似的性质有类似的性质, 定理定理定理定理1(1(1(1(极限的唯一性极限的唯一性极限的唯一性极限的唯一性)))) 有极限有极限有极限有极限, 若在自变量的某种变化若在自变量的某种变化若在自变量的某种变化若在自变量的某种变化 趋势下趋势下趋势下趋势下, 则极限值必唯一则极限值必唯一则极限值必唯一则极限值必唯一. 定理定理定理定理2(2(2(2(局部有界性局部有界性局部有界性局部有界性)))) ,0时时时时若当若当若当若当 xx →→→→ f(x)有极限有极限有极限有极限, 则则则则f(x)在在在在 上有界上有界上有界上有界;),( 0 δδδδxU � ,时时时时若当若当若当若当 ∞∞∞∞→→→→x f(x)有有有有 极限极限极限极限, ,||,0 时时时时当当当当则存在则存在则存在则存在 XxX >>>>>>>> .)( 有界有界有界有界函数函数函数函数 xf 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 且证明方法也类似且证明方法也类似且证明方法也类似且证明方法也类似. 需要大家掌握结论需要大家掌握结论需要大家掌握结论需要大家掌握结论. 三三三三、、、、函数极限的性质函数极限的性质函数极限的性质函数极限的性质 )(xf ,)(lim)1( 0 Axf xx ==== →→→→ 若若若若 定理定理定理定理3(3(3(3(局部保号性局部保号性局部保号性局部保号性)))) );0)((0)(,),( 0 <<<<>>>>δδδδ xfxfxU 或或或或有有有有内内内内则在则在则在则在 � ),0)((0)(),()2( 0 ≤≤≤≤≥≥≥≥δδδδ xfxfxU 或或或或内有内有内有内有若在若在若在若在 � ).0(0 ≤≤≤≤≥≥≥≥ AA 或或或或则必有则必有则必有则必有 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 ),0(0 <<<<>>>> AA 或或或或且且且且 保号性定理保号性定理保号性定理保号性定理 定理定理定理定理 . 若若若若 ,)(lim 0 Axf xx = → 且且且且 A > 0 , ,),( 0 时使当 δxx � ∪∈ .0)( >xf )0)(( ∀ε ,),( 0 δx � ∪∃ 当当当当 时时时时, 有有有有 .)( εε +<<− AxfA 当当当当 A > 0 时时时时, 取取取取正数正数正数正数 ,A≤ε 则在对应的邻域则在对应的邻域则在对应的邻域则在对应的邻域 上上上上 .0)( >xf (< 0) )( A−≤ε 则存在则存在则存在则存在 ( A < 0 ) ),,( 0 δx � ∪ ),( 0 δxx � ∪∈ ),( 0 δx � ∪ (P11定理定理定理定理4) δ+0xδ0x ε+A ε−A A x0x y )(xfy = )0(< 机动机动机动机动 目录目录目录目录 上页上页上页上页 下页下页下页下页 返回返回返回返回 结束结束结束结束 εε +<<− AxfA )( :0>A :0 推论推论推论推论: 2 3)( 2 A xfA << 2 )( 2 3 A xfA −<<− ),( 0 δx � ∪ ,),( 0 δx � ∪ ),( 0 δxx � ∪∈ δ+0xδ0x ε+A ε−A A x0x y )(xfy = 提示提示提示提示: 机动机动机动机动 目录目录目录目录 上页上页上页上页 下页下页下页下页 返回返回返回返回 结束结束结束结束 思考题思考题思考题思考题 ( A) 先给定先给定先给定先给定 后唯一确定后唯一确定后唯一确定后唯一确定 ;δδδδεεεε 极限定义中极限定义中极限定义中极限定义中 与与与与 的关系是的关系是的关系是的关系是( ).εεεε δδδδ ( C) 先确定先确定先确定先确定 后给定后给定后给定后给定 ;δδδδ εεεε (D) 与与与与 无关无关无关无关.εεεε δδδδ B(1) ( B) 先确定先确定先确定先确定 后确定后确定后确定后确定 ,但但但但 的值不唯一的值不唯一的值不唯一的值不唯一;εεεε δδδδ δδδδ 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 (2)如果如果如果如果 与与与与 存在存在存在存在,则则则则( ).)(lim 0 xf xx ++++→→→→ )(lim 0 xf xx −−−−→→→→ (B) 存在但不一定有存在但不一定有存在但不一定有存在但不一定有)(lim 0 xf xx→→→→ );()(lim 0 0 xfxf xx ==== →→→→ (C) 不一定存在不一定存在不一定存在不一定存在;)(lim 0 xf xx→→→→ )(lim 0 xf xx→→→→ (D) 一定不存在一定不存在一定不存在一定不存在. (A) 存在且存在且存在且存在且 );()(lim 0 0 xfxf xx ==== →→→→ )(lim 0 xf xx→→→→ C 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 内容小结内容小结内容小结内容小结 1. 函数极限的函数极限的函数极限的函数极限的 "" δε − 或或或或 "" X−ε 定义及应用定义及应用定义及应用定义及应用 2. 函数极限的性质函数极限的性质函数极限的性质函数极限的性质: 保号保号保号保号性定理性定理性定理性定理; 左右极限等价定理左右极限等价定理左右极限等价定理左右极限等价定理 思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习 设函数设函数设函数设函数 =)(xf 且且且且 )(lim1 xfx→ 存在存在存在存在, 则则则则 . =a 3 第四节第四节第四节第四节 目录目录目录目录 上页上页上页上页 下页下页下页下页 返回返回返回返回 结束结束结束结束 1,12 1,2 >+ ≤ xx xxa 唯一性唯一性唯一性唯一性; 局部有界性局部有界性局部有界性局部有界性; 作业作业作业作业 P11/ 1 ; 2 ; 3；；；；5 ; 6 ;