概率部分总复习答案与提示

NORTH UNIVERSITY OF CHINA 概率部分总复习 与提示(17) NORTH UNIVERSITY OF CHINA ( ) ( ) ( ) 0.30.7 0.4 0.4 , 0.5 0.6 P B P B P B= + − = = 2 . ( )~ 4,0.1 ,X B ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB∪ = + − 1. A B Φ∩ = 一 . 填空题 X的分布律为 3 . 4 . { } 44 0.1 0.9 , 0,1,2,3,4kk kP X k C k−= = ⋅ = 1 3 1 21 9 9 3 2 4 9 9 X Y 02 2 52 2 9 99 X Y p −− NORTH UNIVERSITY OF CHINA 1~ 10, , 2 X B⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ { } 10 5 5 55 10 5 5 2 2 P X Φ Φ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟< ≤ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) 21 1 510 . 2 2 2 D X σ= × × = =( ) 110 5 ,2E X μ= × = = 6 . ( ) ( )10 0Φ Φ= − 5 . 8 . 7 . ( ) ( ) ( ) 22 2 2 21 1 2 ,E X D X E X λ λ λ⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) 21 1~ , , .X E E X D Xλ λ λ∴ = =∵ ( )2 22 2 .3 9E X = = ( )1 1~ 8, , 3 3 8 6. 4 4 X B Y E X⎛ ⎞ = = × × =⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) ( )( )2 2 2~ , ,U X Y Nα β α β μ α β σ= + + + NORTH UNIVERSITY OF CHINA ( ) ( )( )2 2 2~ , .V X Y Nα β α β μ α β σ= − − + ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2, .D U D Vα β σ α β σ= + = + ( ) ( ) ( ) ( )2 ,D U V D U D V Cov U V+ = + + ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 ,D X Cov U Vα α β σ α β σ= + + + + ( )2 2 2 2 2 24 2 2 2 ,Cov U Vα σ α σ β σ= + + ( ) ( )2 2 2,Cov U V α β σ= − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , UV Cov U V D U D V α β σρ α β σ α β α −= = + + 2 2 2 2 . α β α β −= + NORTH UNIVERSITY OF CHINA 或 由 (舍去) 2 . 二 . 选择题 ,A B A B∪ = ∩ ( ) 0P A B∪ =A B与 互不相容, 故选(A) . 1 . { } 6 2 42 6 0.8. 6 1 5 P X −≤ ≤ = = =− 2 4 0, 2X XΔ = − ≥ ⇒ ≥ 2,X ≤ −10 . 9 . ( )2 2~ 0,aX bY N a b+ + ( )lim 1, x F x→+∞ = 应选(A) 3 . ( ) ( ) ( ) ( )2Cov , ,D X Y D X D Y X Y+ = + + NORTH UNIVERSITY OF CHINA 可推出由 ( ) ( ) ( ) ( )2Cov , ,D X Y D X D Y X Y− = + − ( ) ( )D X Y D X Y+ = − ( )Cov , 0.X Y = 因此X与Y不相关 , 故应选(B). 4 . 故应选(D). ( ) ( ) ( )2 23 2 3 2 9 4 4 2 44,D X Y D X D Y− = + = × + × = { } { }1P X P Xα α≤ = − ≥5 . 由 知应选(B). 三 . (1) 从5双不同的鞋中任取4只共有 种取法.410C 其中恰有1双配对的取法是:先从5双鞋中任取1双 , 再从剩下的4双鞋中任取2双 ,每双鞋中各取1只,共有 NORTH UNIVERSITY OF CHINA 种取法, 因此所求的概率为:1 2 1 15 4 2 2C C C C 至少有1双配对的对立事件是没有1双配对的事件,(2) 这事件为5双鞋中任取4双 , 再从取出的鞋中各取1只, ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 1 1 5 4 2 2 41 10 4 . 7 C C C Cp C ⋅ ⋅ ⋅= = 4 4 5 42 10 1321 . 21 Cp C ⋅= − = 4 4 5 2C ⋅每双鞋有2种取法, 共有 因此所求的概率为: 种取法, NORTH UNIVERSITY OF CHINA 四. 记A为“选出的人是男性”的事件， 记B为“选出的人是女性”的事件. 则A与B构成一完备事件组, 又记C为“选出的人为色盲”的事件. ( ) ( )0.5, 0.5,P A P B= = ( ) ( )| 0.05, | 0.0025.P C A P C B= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )| |P C P A P C A P B P C B= + 0.5 0.05 0.5 0.0025 0.02625.= × + × = 依题意有: (1) 由全概率公式有: NORTH UNIVERSITY OF CHINA 若随机挑选一人 , 此人不是色盲, 他是男人的概率是 (2) 由于 由贝叶斯公式有: ( ) ( )1 1 0.02625 0.97375.P C P C= − = − = ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) | | P AC P A P C A P A C P C P C = = 0.5 0.95 0.4878. 0.97375 ×= ≈ 0.4878. NORTH UNIVERSITY OF CHINA 即有: 五 . 根据分布的性质有: ( ) ( ) 1 1 lim 0, lim arcsin 0 x x F x a b x− +→− →−= + = 1. 2 a bπ+ = 0. 2 a bπ− = ( ) ( ) 1 1 lim 1, lim arcsin 1, x x F x a b x+ −→ →= + = 1 1, . 2 a b π= =也即有: 解得 ( ) 0 1 1 1 arcsin 1 1 2 11 x F x x x x π < − = + − ≤ < ≥ 所以有: NORTH UNIVERSITY OF CHINA 六 . ( ) ( ) 2 1 1 1 ' 1 0 x f x F x xπ − < <= = − 其它 ( ) ( )1 0 1, 1 1f x dx k x x dx +∞ −∞ = − =∫ ∫ 1 2 3 0 1 1 1, 6. 2 3 k x x k⎛ ⎞− = =⎜ ⎟⎝ ⎠ { } ( ) 11 2 3 0.3 0.3 1 10.3 6 1 6 2 3 P X x x dx x x⎛ ⎞> = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 2 3 1 0.3(3 2 ) 0.764x x= − = NORTH UNIVERSITY OF CHINA 由于X与Y相互独立 , 所以有七 . (1) . ( ) ( ) ( ), X Yf x y f x f y= ⋅ ( ) 3 4 0, 012, 0 x y x ye f x y − − > >= 其它 ( ) 2 3 0 0 3 2 0 1 1 1 x F x x x x x < = − ≤ < ≥ 即有: NORTH UNIVERSITY OF CHINA (2) . (3) . { } 3 41, 1 12 x y D P X Y e dxdy− −< < = ∫∫ 1 13 4 3 1 4 1 0 00 0 3 4 ( ) ( )x y x ye dx e dy e e− − − −= = − ⋅ −∫ ∫ 3 4(1 ) (1 ) 0.9328e e− −= − ⋅ − ≈ ( ){ } 3 4, 12 x y D P X Y D e dxdy− −∈ = ∫∫ ( )31 1 3 44 0 0 12 x x ydx e dy − − −= ∫ ∫ ( )3 11 13 4 3 34 00 0 3 | 3 ( ) xx y xe dx e e dx −− − − −= − = −∫ ∫ 3 3 1 3 0 13( ) 1 0.8009 3 xe e x e− − −= − − = − ≈ NORTH UNIVERSITY OF CHINA 的概率密度函数为: 由于X与Y相互独立,由卷积公式得 ( ) ( ) ( ) .Z X Yf z f x f z x dx+∞−∞= −∫ 八 . (1). 依题意知: ( ) ( ) 1 0 1 0X Y x f x f y ≤ ≤= = 其它 Z X Y= + 0 1x≤ ≤ 0 1z x≤ − ≤ 1x z x≤ ≤ + ( ) ( ) 1,X Yf x f z x− = ( ) ( ) 0X Yf x f z x− =其它为 因此Z的概率密度函数为: ( ) 0 1 1 0 1 1 22 z Z z dx z z f z zdx z− = 当 时, 即 时, 也即 时, 有 ≤ < = ≤ ≤= − ∫ ∫ NORTH UNIVERSITY OF CHINA 九 . (2). 所以有: ( ) 0 1 2 1 2 0 Z z z f z z z ≤ < = − ≤ ≤ 其它 1 3 1 3 4 2 4 2 2 X YP P X Y+⎧ ⎫ ⎧ ⎫< < = < + <⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ( )31 21 1 2 1 3 32 . 2 2 4 P Z zdz z dz⎧ ⎫= < < = − = =⎨ ⎬⎩ ⎭ ∫ ∫ " X的所有可能取值为2,3,4,9.八个单词中含2,4,9 个字母的各一个 , 含3个字母的有5个.所以X的分布律为: 32 4 9 51 1 1 8 8 88 X p NORTH UNIVERSITY OF CHINA (1). 十 . ( ) ( ) ( ), X Yf x y f x f y≠ ⋅ ( ) 1 1 58, 0 y x f x y ≤ ≤ ≤= 其它 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 511 8, 8 0 x X xx f x f x y dy dy +∞ −∞ ≤ ≤−= = =∫ ∫ 其它 ( ) 1 5 1 1 302 3 4 9 3.75 8 8 8 8 8 E X = × + × + × + × = = ( ) ( ) ( )5 1 1 551 8, 8 0 Y y yy f y f x y dx dx +∞ −∞ ≤ ≤−= = =∫ ∫ 其它 (2). 因为(3) . 所以X与Y不相互独立. NORTH UNIVERSITY OF CHINA (4). { } ( )2 , D P X Y f x y dxdy− > = ∫∫ ( ) ( ),E XY xyf x y dxdy+∞ +∞−∞ −∞= ∫ ∫ 5 5 2 11 1 1 1 1 1 | 8 8 2 x xdx xy dy x y dx= ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ ( ) 55 2 4 2 1 1 1 1 1 11 9. 16 16 4 2 x x dx x x⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ (5). 3 5 1 1 3 2 1 1 8 8 x x x dx dy dx dy−= +∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( )3 5 1 3 1 11 2 8 8 x dx x x dx= − + − −⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ 58= 概率部分总复习