12 组合变形的强度计算

null12 组合变形的强度计算12 组合变形的强度计算　　本章主要研究组合变形的概念、斜弯曲和偏心拉伸（压缩）的强度计算、截面核心。本章提要本 章 内 容本 章 内 容12.1 组合变形的概念 12.2 斜弯曲 12.3 偏心压缩（拉伸）　 12.4 截面核心12.1 组合变形的概念12.1 组合变形的概念　　在实际工程中，构件的受力情况是复杂的，构件受力后的变形往往不仅是某一种单一的基本变形，而是由两种或两种以上的基本变形组合而成的复杂变形，称为组合变形。 　　　例如，图12.1(a)所示的屋架檩条；图12.1(b)所示的空心墩；图12.1(c)所示的厂房支柱，也将产生压缩与弯曲的组合变形。 12.1.1 组合变形的概念null图12.1 null　　解决组合变形强度问，和计算的基本步骤：首先将构件的组合变形分解为基本变形；然后计算构件在每一种基本变形情况下的应力；最后将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合变形情况下的应力。 　　试验证明，只要构件的变形很小，且材料服从虎克定律，由上述方法计算的结果与实际情况基本上是符合的。12.1.2 组合变形的解题方法12.2 斜弯曲12.2 斜弯曲　　对于横截面具有对称轴的梁，当横向力作用在梁的纵向对称面内时，梁变形后的轴线仍位于外力所在的平面内，这种变形称为平面弯曲。 　　如果外力的作用平面虽然通过梁轴线，但是不与梁的纵向对称面重合时，梁变形后的轴线就不再位于外力所在的平面内，这种弯曲称为斜弯曲。 null　　如图12.2(a)所示的矩形截面悬臂梁，集中力P作用在梁的自由端，其作用线通过截面形心，并与竖向形心主轴y的夹角为φ。 　　将力P沿截面两个形心主轴y、z方向分解为两个分力，得 　　　　Py=Pcosφ 　　　　Pz=Psinφ 　　分力Py和Pz将分别使梁在xOy和xOz两个主平面内发生平面弯曲。12.2.1 外力的分解null图12.2 null　　在距自由端为x的横截面上，两个分力Py和Pz所引起的弯矩值分别为 　　　　Mz=Py·x=Pcosφ·x=Mcosφ 　　　　My=Pz·x=Psinφ·x=Msinφ 　　该截面上任一点K(y，z)，由Mz和My所引起的正应力分别为 　　　　σ′= Mz·y/Iz =y Mcosφ/Iz  　　　　σ″= My·z/Iy =z Msinφ/Iy 12.2.2 内力和应力的计算null　　根据叠加原理，K点的正应力为 　　　　σ=σ′+σ″ 　　　 = Mz·y/Iz + My·z/Iy 　　　 =M(ycosφ/Iz +zsinφ/Iy) 式中Iz和Iy分别是横截面对形心主轴z和y的惯性矩。正应力σ′和σ″的正负号，可通过平面弯曲的变形情况直接判断，如图12.2(b)所示，拉应力取正号，压应力取负号。 null图12.2 null　　因为中性轴上各点的正应力都等于零，设在中性轴上任一点处的坐标为y0和z0，将σ=0代入式(12.1)，有 　　　　σ=M(y0cosφ/Iz +z0 sinφ/Iy)=0 　　则 　　　　 y0 cosφ/Iz +z0sinφ/Iy =0 　　上式称为斜弯曲时中性轴方程式。 12.2.3 中性轴的位置null　　从中可得到中性轴有如下特点： 　　(1) 中性轴是一条通过形心的斜直线。 　　(2) 力P穿过一、三象限时，中性轴穿过二、四象限。反之位置互换。 　　(3) 中性轴与z轴的夹角α(图12.2(c))的正切为 　　　tanα=｜y0/z0｜= Iz/Iytanφ 　　从上式可知，中性轴的位置与外力的数值有关，只决定于荷载P与y轴的夹角φ及截面的形状和尺寸。 null图12.2 null　　进行强度计算，首先要确定危险截面和危险点的位置。危险点在危险截面上离中性轴最远的点处，对于工程上常用具有棱角的截面，危险点一定在棱角上。图12.2(a)所示的悬臂梁，固定端截面的弯矩值最大，为危险截面，该截面上的B、C两点为危险点，B点产生最大拉应力，C点产生最大压应力。 　　若材料的抗拉和抗压强度相等，则斜弯曲的强度条件为 　　　σmax= Mzmax/Wz + Mymax/Wy ≤［σ］12.2.4 强度条件null　　对于不同的截面形状， Wz/Wy 的比值可按下述范围选取： 　　矩形截面： Wz/Wy = h/b=1.2～2； 　　工字形截面：Wz/Wy =8～10； 　　槽形截面： Wz/Wy =6～8。 null【例12.1】跨度l=4m的吊车梁，用32a号工字钢制成，材料为A3钢，许用应力［σ］=160MPa。作用在梁上的集中力P=30kN，其作用线与横截面铅垂对称轴的夹角φ=15°，如图12.3所示。试校核吊车梁的强度。 【解】(1) 荷载分解 　　将荷载P沿梁横截面的y、z轴分解 　　　　Py=Pcosφ=30cos15°kN=29kN 　　　　Pz=Psinφ=30sin15°kN=7.76kN (2) 内力计算 　　吊车荷载P位于梁的跨中时，吊车梁处于最不利的受力状态，跨中截面的弯矩值最大，为危险截面。 null　　该截面上由Py在xOy平面内产生的最大弯矩为 　　　　Mzmax= Pyl/4 = 29×4/4kN·m=29kN·m 　　该截面上由Pz在xOz平面内产生的最大弯矩为 　　　　Mymax= Pzl/4 = 7.76×4/4 kN·m=7.76kN·m (3) 强度校核 　　由型钢表查得32a号工字钢的抗弯截面系数Wy和Wz分别为 　　　　Wy=70.8cm3=70.8×103mm3 　　　　 Wz=692.2cm3=692.2×103mm3null【例12.2】图12.4所示矩形截面木檩条，两端简支在屋架上，跨度l=4m。承受由屋面传来的竖向均布荷载q=2kN/m。屋面的倾角φ=20°，材料的许用应力［σ］=10MPa。试选择该檩条的截面尺寸。 【解】(1) 荷载分解 　　荷载q与y轴间的夹角φ=20°，将均布荷载q沿截面对称轴y、z分解，得 　　qy=qcosφ=2cos20°kN/m 　　　=1.88kN/m 　　 qz=qsinφ=2sin20°kN/m 　　　=0.68kN/m null(2) 内力计算 　　檩条在qy和qz单独作用下，最大弯矩均发生在跨中截面，其值分别为 　　　　Mzmax= qyl2/8 = 1.88×42/8kN·m=3.76kN·m 　　　　Mymax= qzl2/8 = 0.68×42/8kN·m=1.36kN·m (3) 选择截面尺寸 　　根据式(12.4)，檩条的强度条件为 　　　　Mzmax/Wz + Mymax/Wy ≤［σ］ 　　上式中包含有Wz和Wy两个未知数。现设 Wz/Wy = h/b=1.5，代入上式，得 　　　　 3.76×106/1.5Wy + 1.36×106/Wy ≤10　　　null　　 　　Wy≥387×103mm3 　　由 Wy= hb2/6 = 1.5b3/6 ≥387×103 　　解得 b≥115.68mm 　　为便于施工，取截面尺寸b=120mm，则 　　　　h=1.5b=1.5×120mm=180mm 　　选用120mm×180mm的矩形截面。　null图12.2 null图12.3 null图12.4 12.3 偏心压缩（拉伸）12.3 偏心压缩（拉伸）　　图12.5(a)所示的柱子，荷载P的作用线与柱的轴线不重合，称为偏心力，其作用线与柱轴线间的距离e称为偏心距。偏心力P通过截面一根形心主轴时，称为单向偏心受压。 (1) 荷载简化和内力计算 　　将偏心力P向截面形心平移，得到一个通过柱轴线的轴向压力P和一个力偶矩m=Pe的力偶，如图12.5(b)所示。 　　横截面m-n上的内力为轴力N和弯矩Mz，其值为 　　　　N=P　　 Mz=Pe12.3.1 单向偏心压缩（拉伸）null(2) 应力计算 　　对于该横截面上任一点K(图12.6)，由轴力N所引起的正应力为 　　　　σ′=- N/A  　　由弯矩Mz所引起的正应力为 　　　　σ″=- Mzy/Iz  　　根据叠加原理，K点的总应力为 　　　　σ=σ′+σ″=- N/A - Mzy/Iznull(3) 强度条件 　　从图12.6(a)中可知：最大压应力发生在截面与偏心力P较近的边线n-n线上；最大拉应力发生在截面与偏心力P较远的边线m-m线上。其值分别为 　　　　σmin=σymax=- P/A - Mz/Wz 　　　　σmax=σlmax=- P/A + Mz/Wz 　　截面上各点均处于单向应力状态，所以单向偏心压缩的强度条件为 　　　　σmin=σymax=｜- P/A - Mz/Wz｜≤［σy］ 　　　　σmax=σlmax=- P/A + Mz/Wz ≤［σl］null(4) 讨论 　　下面来讨论当偏心受压柱是矩形截面时，截面边缘线上的最大正应力和偏心距e之间的关系。 　　图12.6(a)所示的偏心受压柱，截面尺寸为b×h，A=bh，Wz= bh2/6 ，Mz=Pe，将各值代入得 　　　　σmax=- P/bh +Pe/bh2/6 =- P/bh(1- 6e/h) 　　边缘m-m上的正应力σmax的正负号，由上式中(1- 6e/h )的符号决定，可出现三种情况：null　　① 当 6e/h <1，即e< h/6 时，σmax为压应力。截面全部受压，截面应力分布如图12.7(a)所示。 　　② 当 6e/h =1，即e= h/6 时，σmax为零。 　　截面全部受压，而边缘m-m上的正应力恰好为零，截面应力分布如图12.7(b)所示。 　　③ 当 6e/h >1，即e> h/6 时，σmax为拉应力。截面部分受拉，部分受压，应力分布如图12.7(c)所示。 null【例12.3】图12.8所示矩形截面柱，屋架传来的压力P1=100kN，吊车梁传来的压力P2=50kN，P2的偏心距e=0.2m。已知截面宽b=200mm，试求： (1) 若h=300mm，则柱截面中的最大拉应力和最大压应力各为多少? (2) 欲使柱截面不产生拉应力，截面高度h应为多少?在确定的h尺寸下，柱截面中的最大压应力为多少? 【解】(1) 内力计算 　　将荷载向截面形心简化，柱的轴向压力为 　　　　N=P1+P2=(100+50)kN=150kNnull　　截面的弯矩为 　　　　Mz=P2e=50×0.2kN·m=10kN·m (2) 计算σlmax和σymax 　　由式(12.6)，得 　　　 σlmax=- P/A + Mz/Wz =(-2.5+3.33)MPa=0.83MPa 　　　σymax= -P/A - Mz/Wz =(-2.5-3.33)MPa=-5.83MPa (3) 确定h和计算σymax 　　欲使截面不产生拉应力，应满足σlmax≤0，即 　　　　- P/A + Mz/Wz ≤0null　　　　 - 150×103/200h + 10×106/ 200h2/6 ≤0 　　则 h≥400mm 　　取 h=400mm 　　当h=400mm时，截面的最大压应力为 　　　　σymax=- P/A - Mz/Wz 　　　　　　　=(-1.875-1.875)MPa=-3.75MPa 　　对于工程中常见的另一类构件，除受轴向荷载外，还有横向荷载的作用，构件产生弯曲与压缩的组合变形。 null【例12.4】图12.9(a)所示的悬臂式起重架，在横梁的中点D作用集中力P=15.5kN，横梁材料的许用应力［σ］=170MPa。试按强度条件选择横梁工字钢的型号(自重不考虑)。 【解】(1) 计算横梁的外力 　　横梁的受力图如图12.9(b)所示。为了计算方便，将拉杆BC的作用力NBC分解为Nx和Ny两个分力。由平衡方程解得 　　　　Ry=Ny= P/2 =7.75kN 　　　　 Rx=Nx=Nycotα=7.75× 3.4/1.5 kN=17.57kNnull(2) 计算横梁的内力 　　横梁在Ry、P和Ny的作用下产生平面弯曲，横梁中点截面D的弯矩最大，其值为 　　　　Mmax= Pl/4 = 15.5×3.4/4 kN·m=13.18kN·m 　　横梁在Rx和Nx作用下产生轴向压缩，各截面的轴力都相等，其值为 　　　　N=Rx=17.57kN (3) 选择工字钢型号 　　由式(12.7)，有 　　　　σymax=｜- N/A - Mmax/Wz｜≤［σ］　null　　由于式中A和Wz都是未知的，无法求解。因此，可先不考虑轴力N的影响，仅按弯曲强度条件初步选择工字钢型号，再按照弯压组合变形强度条件进行校核。由 　　　　σmax= Mmax/Wz ≤［σ］ 　　得Wz ≥ Mmax/［σ］ = 77.5×103mm3=77.5cm3 　　查型钢表，选择14号工字钢，Wz=102cm3，A=21.5cm2。 　　根据式(12.7)校核，有 　　　　σymax =｜- N/A - Mmax/Wz｜=137MPa<［σ］ 　　结果表明，强度足够，横梁选用14号工字钢。若强度不够，则还需重新选择。null图12.5 null图12.6 null图12.6 null图12.7 null图12.8 null图12.9null　　当偏心压力P的作用线与柱轴线平行，但不通过横截面任一形心主轴时，称为双向偏心压缩。 　　如图12.10(a)所示，偏心压力P至z轴的偏心距为ey，至y轴的偏心距为ez。12.3.2 双向偏心压缩（拉伸）null (1) 荷载简化和内力计算 　　将压力P向截面的形心O简化，得到一个轴向压力P和两个附加力偶矩mz、my(图12.10(b))，其中 　　　　　mz=Pey，my=Pez 　　可见，双向偏心压缩就是轴向压缩和两个相互垂直的平面弯曲的组合。 　　由截面法可求得任一截面ABCD上的内力为 　　　　　N=P，Mz=Pey，My=Peznull (2) 应力计算 　　对于该截面上任一点K(图12.10(c))，由轴力N所引起的正应力为 　　　　σ′=- N/A  　　由弯矩Mz所引起的正应力为 　　　　σ″=- Mzy/Iz  　　由弯矩My所引起的正应力为 　　　　σ=- Myz/Iy  　　根据叠加原理，K点的总应力为 　　σ=σ′+σ″+σ=- N/A - Mzy/Iz - Myz/Iynull (3) 强度条件 　　由图12.10(c)可见，最大压应力σmin发生在C点，最大拉应力σmax发生在A点，其值为 　　σmin=σymax=- P/A - Mz/Wz - My/Wy 　　σmax=σlmax=- P/A + Mz/Wz+ My/Wy 　　危险点A、C均处于单向应力状态，所以强度条件为 　　σmin=σymax=- P/A - Mz/Wz - My/Wy≤［σy］ 　　σmax=σlmax=- P/A + Mz/Wz+ My/Wy ≤［σl］null图12.10null图12.10null图12.10null图12.1012.4 截面核心12.4 截面核心　　在单向偏心压缩时曾得出结论，当压力P的偏心距小于某一值时，横截面上的正应力全部为压应力，而不出现拉应力。当偏心压力作用在截面形心周围的一个区域内时，使整个横截面上只产生压应力，这个荷载作用区域称为截面核心。 12.4.1 截面核心的概念null　　在图12.11中画出了圆形、矩形、工字形和槽形等四种截面的截面核心，其中iy2= Iy/A ，iz2= Iz/A 。 12.4.2 几种常见截面的截面核心null图12.11