1
线性代数线性代数
2
一 行列式
3
一般的二元一次方程组的标准形式为
则方程组(1)存在唯一的解:
21122211
211112
2
21122211
122221
1
aaaa
ababx
aaaa
ababx
−
−=
−
−=
⎩⎨
⎧
=+
=+
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
(1)
若 021122211 ≠− aaaa
—— 解完全由系数与常数项确定。要表达方程
的解与系数及常数项的关系, 引入二阶行列式
4
21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa −=
(1) 二阶行列式
定义 22个数排成两行两列的正方形数表,用记号
DA
aa
aa 或或 det
2221
1211
表示对这4个数进行下列运算所得到的数
称为二阶行列式
1 行列式的概念
5
二阶行列式是数, 它是 2! 项的代数和.
几个名词:
行列式的元素
行列式的行与列 行与列的标号
行列式的主对角线与次对角线
21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa −=
每一项是取之于行列式两个不同行又是两个不同列
的两个元素的乘积.
一项前冠以正号,一项前冠以负号.
6
【例】讨论 a 取何值时
0
12
22 2 =−
−aa
【解】
)2(2
)2(22
12
22
2
2
2
−+=
−+=−
−
aa
aaaa
12 21 =−=⇒ aa 或
1
7
引入二阶行列式后, 二元一次方程组(1)的解
可用行列式表示如下:
0
2221
1211 ≠
aa
aa
若
,
2221
1211
1
aa
aax =则
21122211
122221
1 aaaa
ababx −
−=
21122211
211112
2 aaaa
ababx −
−=
2221
1211
2
aa
aax =
222
121
ab
ab
221
111
ba
ba
⎩⎨
⎧
=+
=+
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
8
312213332112322311
322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
−−−
++=
(2) 三阶行列式
定义 32个数排成三行三列的正方形数表,用记号
3
333231
232221
131211
det DA
aaa
aaa
aaa
或或
表示对这9个数进行下列运算所得的数
称之为三阶行列式
9
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3231
2221
1211
aa
aa
aa
c1 c2 c3 c1 c2
三阶行列式是所有可能的取之于正方形数表中三个
不同行同时又是三个不同列的三个元素的乘积的代
数和,三项前冠以正号,三项前冠以负号,共 3!项
记忆
:
312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
−−−
++
10
312213332112322311
322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
−−−
++=
+-
11
定义三阶行列式的另一种方法:
定义 余子式和代数余子式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
在三阶行列式D = |aij|中,划去第i行第j列的元素,
剩余的2行2列的元素按照在原行列式中排列的
相对位置所构造的二阶行列式称为aij的余子式,
记为Mij ,
3332
1312
21 aa
aa
M =
3332
131212
21 )1( aa
aa
A +−=
称(-1)i+j Mij为aij的代数余子式,记为Aij
12
定义 三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
32个数排成三行三列的正方形数表
称数 131312121111 AaAaAa ⋅+⋅+⋅
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a ⋅+⋅−⋅=
为由这9 个数所构成的三阶行列式, 记为
333
333231
232221
131211
)det(|| ×=== ijij aa
aaa
aaa
aaa
D
2
13
【例】计算三阶行列式
【解】
914
312
111
−
12)4(1832129
914
312
111
−=−−−−++−=−
14
131312121111
914
312
111
AaAaAa ++=−
也可按下法计算
12616)1(1)12(1 −=⋅+⋅−⋅+−⋅=
14
12
)1(1
94
32
)1(1
91
31
)1(1 312111
−−⋅+−⋅+−−⋅= +++
15
【解】
【例】讨论三阶行列式 0
114
01
01
>a
a
的充要条件.
1
114
01
01
2 −= aa
a
故 012 >−a
即 1or1 >−< aa
0
114
01
01
>a
a
16
上述定义三阶行列式的方法称为 递归的方法
可以用这种方法定义更高阶的行列式
(3) n 阶行列式的定义
设已经定义了n –1阶行列式, 则可以定义 n2个数排成的
正方形数表所构造的 n 阶行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
"
""""
"
"
21
22221
11211
=
17
定义 余子式
划去元素aij 所在的行和列的元素, 剩余的(n - 1)2个
元素, 按照它们在原行列式中的相对位置所构造的
(n - 1)阶行列式称为aij的余子式 记为 ijM
nnjnjnn
nijijii
nijijii
njj
ij
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
M
""
""""""
""
""
""""""
""
1,1,1
,11,11,11,1
,11,11,11,1
11,11,111
+−
+++−++
−+−−−−
+−
=
先要定义元素aij的余子式与代数余子式
18
nnjnjnjnn
nijijijii
injiijjii
nijijijii
njjj
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D
""
"""""""
""
""
""
"""""""
""
1,,1,1
,11,1,11,11,1
1,1,1
,11,1,11,11,1
11,111,111
+−
++++−++
+−
−+−−−−−
+−
=
3
19
定义 代数余子式
nnjnjnn
nijijii
nijijii
njj
ji
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
""
""""""
""
""
""""""
""
1,1,1
,11,11,11,1
,11,11,11,1
11,11,111
)1(
+−
+++−++
−+−−−−
+−
+−
元素aij 的代数余子式为 ijjiij MA +−= )1(
即
20
例如
0110
1211
4103
1031
=D
3
011
121
410
11 −==M 1
010
413
101
32 −==M
3)1( 11
11
11 −=−= + MA 1)1( 322332 =−= + MA
0110
1211
4103
1031
=D
21
定义 n 阶行列式
n2个数排成一个n行 n 列的正方形表
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
"
""""
"
"
21
22221
11211
称数 nn AaAaAa 1112121111 ⋅++⋅+⋅ "
为由这n2个数所构成的n阶行列式, 记为
nnijnij
nnnn
n
n
aa
aaa
aaa
aaa
D ×=== )det(||
21
22221
11211
"
""""
"
"
22
几个名词: 行列式的元素
行列式的行与列
行列式的主对角线
(4) 一阶行列式:
由1个数构成的一阶行列式,即这个数本身
例如, |3| = 3, |-3| = -3
n 阶行列式是n! 代数和, 每一项是取自于正方形数表
中n 个不同行同时又是n 个不同列的n 个元素的乘积
前面冠以适当的符号
23
(5) 几种特殊的行列式
¾ 转置行列式
将一个行列式 D 的行和列互换所得到的行列式
称为 D 的转置行列式, 记为DT
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
"
"%""
"
"
21
22221
11211
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
"
#%##
"
"
21
22212
12111
T =
24
¾三角行列式: 上(下)三角行列式 对角行列式
定义
在 n 阶行列式D = |aij|n中, 若
njijiaij ,,2,1,,,0 "=>=
则称D 为上三角行列式.
若 njijiaij ,,2,1,,,0 "=<=
则称D 为下三角行列式.
若 njijiaij ,,2,1,,,0 "=≠=
则称D 为对角行列式.
0
0
0
0
4
25
对称行列式
反对称行列式
nij
aD =设
njiaa jiij ,,2,1,, "==
njiaa jiij ,,2,1,, "=−=
071
703
130
−−
−
¾对称行列式与反对称行列式:
1 3
3 0
-1
-1
7
7 -2
26
2 行列式的性质
性质 1 TDD =
330
212
021
−−=D 3=
320
312
021
T −
−
=D 3=
例如
— 对行成立的性质对列也成立
27
性质 2 交换行列式的两行(列)行列式改变符号
330
212
021
−−=D 3=
021
212
330
1 −−=D 3−=
例如
推论 若行列式两行(列)的对应元素相等, 行列式等于零
28
性质 3 用一个数乘以行列式等于用这个数乘以行列式
的某行(或某列)而其他行(列)不变所得的行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
cDc
"
"%""
"
"
21
22221
11211
⋅=⋅
nnnn
n
n
aaa
acacac
aaa
"
"%""
"
"
21
22221
11211
⋅⋅⋅=
nnnn
n
n
acaa
acaa
acaa
⋅
⋅
⋅
=
"
"%""
"
"
21
22221
11211
29
330
212
021
−−=D 3=
9
330
212
063
330
212
032313
=−−=−−
⋅⋅⋅
330
212
021
33 −−×=D 9=
D3=
30
推论 1 行列式某一行(列)的公因子可以提到行列式的
外面
推论 2 若行列式的两行(列)的对应元素成比例, 行列式
等于零
9
330
212
021
3
330
212
032313
=−−×=−−
⋅⋅⋅
021
212
032313
−−
⋅⋅⋅
0
021
212
021
3 =−−×=
5
31
性质 4 拆项
若一个行列式某一行(列)的各元素可以看成
两个数的和, 则这个行列式等于两个行列式的和,
这两个行列式对应行(列)的各元素分别是原行列式
对应元素的两个数的一个, 其它的元素与原行列式
的对应元素相同
330
212
021
−−=D 3=
3210
2122
0311
+
+−−
+−
=D
320
212
031
310
222
011
−+−−
−
=
32
nnnn
ininiiii
n
ccc
bababa
ccc
""
"""""
""
"""""
""
21
2211
11211
+++
nnnn
inii
n
nnnn
inii
n
ccc
bbb
ccc
ccc
aaa
ccc
""
"""""
""
"""""
""
""
"""""
""
"""""
""
21
21
11211
21
21
11211
+=
注: 每次只能拆一行(列)!
33
将行列式某一行(列)的各个元素乘以一个数加
到另一行(列)的对应元素上去, 行列式的值不变.
性质 5 倍加
nnnn
knmnkmkm
knkk
n
aaa
caacaacaa
aaa
aaa
"
""""
"
""""
"
""""
"
21
2211
21
12211
+++
=ija
34
330
212
021
−−=D 3=
330
230
021
= 3=
330
212
021
−−=D r1×2+ r2→ r2
35
性质 6 展开定理
ni ,,2,1 "=
ininiiii
nij
AaAaAa
aD
+++=
=
"2211
, 则
nij
aD =设
∑
=
=+++=
n
k
kjkjnjnjjjjj AaAaAaAaD
1
2211 "
nj ,,2,1 "=
∑
=
=
n
k
ikik Aa
1
特别地 若 n 阶行列式 D 的第 i 行(列)除了第 j 列(行)
的元素aij(aji)外全为零, 则 )( jijiijij AaDAaD ==
36
330
212
021
−−=D 3=
3
33
23
1 =⋅=
330
230
021
330
212
021
=−−=D
6
37
性质 7
02211 =+++ kninkiki AaAaAa "
nmjmj
AaAaAa nmnjmjmj
,,2,1,,
02211
"
"
=≠
=+++
nki ,,2,1, "=,ki ≠
38
nnnnnnn
inniiii
inniiii
nn
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
1,321
1,321
1,321
11,1131211
−
−
−
−
""
"""""""
""
"""""""
""
"""""""
""
→ir
→kr
0=
按第 k 行展开, 得
02211 =+++ kninkiki AaAaAa "左=
39
性质 1 D = DT
性质 2 交换行列式的两行(列)行列式改变符号
— 对行成立的性质对列也成立
推论 若行列式两行(列)的对应元素相等, 行列式等于零
性质 3 用一个数乘以行列式等于用这个数乘以行列式
的某行(或某列)所得的行列式
推论 1 行列式某一行(列)的公因子可以提到行列式的
外面
推论 2 若行列式的两行(列)的对应元素成比例, 行列式
等于零
行列式的性质
40
性质 4 拆项
若一个行列式某一行(列)的各元素可以看成
两个数的和, 则这个行列式等于两个行列式的和,
这两个行列式对应行(列)的各元素分别是原行列式
对应元素的两个数的一个, 其它的元素与原行列式
的对应元素相同
将行列式某一行(列)的各个元素乘以一个数加
到另一行(列)的对应元素上去, 行列式的值不变.
性质 5 倍加
41
性质 6 展开定理
ni ,,2,1 "=
ininiiiinij
AaAaAaaD +++== "2211
nij
aD = , 则设
njnjjjjj AaAaAaD +++= "2211
nj ,,2,1 "=
性质 7 02211 =+++ kninkiki AaAaAa "
nmjmj
AaAaAa nmnjmjmj
,,2,1,,
02211
"
"
=≠
=+++
nki ,,2,1, "=,ki ≠
42
3 利用行列式可以表达线性方程组的解
方程个数与未知量个数相同的线性方程组的
标准形式
非齐次线性方程组:
齐次线性方程组:
(1)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
"
"""""""""""
"
"
2211
22222121
11212111
nbbb ,,, 21 " 不全为零
nbbb ,,, 21 " 全为零
7
43
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
"
"""""""""""
"
"
(2)
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
"
""""
"
"
21
22221
11211
=
方程组的系数行列式:
44
Cramer法则:
若线性方程组(1)的系数行列式
0
21
22221
11211
≠=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
"
""""
"
"
其中
则(1)存在唯一的解:
nj
D
D
x jj ,,2,1, "== (3)
45
nnnjn
nj
nj
aaa
aaa
aaa
""
"""""
"""""
""
""
1
2221
1111
nj ,,2,1 "=
jc
↑
=jD
b1
b2
"
"
bn
46
若线性方程组(2)的系数行列式
0
21
22221
11211
≠=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
"
""""
"
"
则(2)存在唯一的零解:
njx j ,,2,1,0 "== (4)
推论1: 齐次线性方程组(2)总有解, 至少有一组零解
47
推论2: 齐次线性方程组(2)有非零解的必要条件为
0
21
22221
11211
==
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
"
""""
"
"
注: 也是充分条件
定义:齐次线性方程组的不全为零的解称为
非零解
48
利用三阶行列式, 三元一次方程组
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++
=++
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(2)
当其系数行列式
0
333231
232221
131211
≠
aaa
aaa
aaa
时,存在唯一的解:
8
49
,
333231
232221
131211
33323
23222
13121
1
aaa
aaa
aaa
aab
aab
aab
x =
333231
232221
131211
33231
22221
12111
3
333231
232221
131211
33331
23221
13111
2 ,
aaa
aaa
aaa
baa
baa
baa
x
aaa
aaa
aaa
aba
aba
aba
x ==
D
D2
D3
D1
3,2,1, == j
D
D
x jj
50
【例】计算行列式
1105
363
142
3
−−
−
−
=D
【解】 03 =D
51
【例】计算行列式
1105
063
002
3
−−
−=D
【解】
110
06
23 −
−⋅=D
12)1()6(2 =−×−×=
52
一般地,
nnnn
n
aaa
aa
a
D
"
"%""
"
"
21
2221
11
0
00
=
0∏
=
==
n
i
iinn aaaa
1
2211 "
nn
n
n
n
a
aa
aaa
D
"
"%""
"
"
00
0 222
11211
= ∏
=
==
n
i
iinn aaaa
1
2211 " 0
nn
n
a
a
a
D
"
"%""
"
"
00
00
00
22
11
= ∏
=
==
n
i
iinn aaaa
1
2211 "
0
0
53
000
000
000
000
1
2,1
1,2
1
""
""
"""$""
""$"""
""
""
n
n
n
n
n
a
a
a
a
D
−
−
=
【例】计算行列式
0
0
【解】 按第一行展开
1
1
1 )1( −
+−= nnnn DaD 递推
11
1)1( −
−−= nnn Da
54
12,11,21
2
)1(
)1( nnnn
nn
aaaa −−
−
−= "
21,21
21 )1()1( −−
−− −−= nnnnn Daa
12,11,21
121 )1()1()1( Daaa nnn
nn
−−
−− −−−= ""
12,11,21
1)2()1()1( nnnn
nn aaaa −−
++−+−−= ""
11
1)1( −
−−= nnnn DaD — 递推公式
9
55
0
0
nnnnn
nn
n
aaa
aa
a
1,1
21,2
1
0
00
−
−
"
""$"
"
"
12,11,21
2
)1(
)1( nnnn
nn
aaaa −−
−
−= "
00
0
1
1,221
11,111
"
""$"
"
"
n
n
nn
a
aa
aaa
−
−
12,11,21
2
)1(
)1( nnnn
nn
aaaa −−
−
−= "
56
【例】
003
020
100
!3321)1( 2
)13(3
−=⋅⋅−=
−
0001
0020
0300
4000
!44321)1( 2
)14(4
=⋅⋅⋅−=
−
5
4
3
2
1
!554321)1( 2
)15(5
=⋅⋅⋅⋅−=
−
57
【例】计算行列式
3351
1102
4315
2113
−−
−
−−
−
=D
【解法一】化为三角行列式
【解法二】 降阶
58
【解法一】化为三角行列式
3351
1102
4315
2113
−−
−
−−
−
=D
3315
1120
4351
2131
−−
−
−−
−
−=
3315
1120
4351
2131
−−
−
−−
−
−= 0 -8 4 -6
0 16 -2 7
59
72160
1120
6480
2131
−
−
−−
−
−=
72160
6480
1120
2131
−
−−
−
−
=
72160
6480
1120
2131
−
−−
−
−
=
0 8 -10
0 6 -5 5600
5200
1120
2131
−
−
−
−
=
10000
5200
1120
2131
−
−
−
= 40=
60
055
1111
115
−−
−−=
055
026
115
−−
−=
40=
【解法二】 降阶
0355
0100
13111
1115
−−
−−
−
=
3351
1102
4315
2113
−−
−
−−
−
=D
10
61
【例】计算行列式
1110
1101
1011
0111
4 =D
【解】
1110
1101
1011
0111
4 =D
1113
1103
1013
0113
=
1111
1101
1011
0111
3=
62
1111
1101
1011
0111
3=
1111
1101
1011
0111
3=
0
0
-1
0
0
-1
0
0
-1
0
0
0
32
)14(4
)1()1(3 −−=
−
3−=
0
63
【例】计算行列式
xaaa
axaa
aaxa
aaax
Dn
"
"""""
"
"
"
=
【解】
1)]()1([ −−−+= nn axanxD
64
xaaa
axaa
aaxa
aaax
Dn
"
"""""
"
"
"
=
xaaanx
axaanx
aaxanx
aaaanx
"
"""""
"
"
"
)1(
)1(
)1(
)1(
−+
−+
−+
−+
=
65
xaa
axa
aax
aaa
anx
"
"""""
"
"
"
1
1
1
1
])1([ −+=
ax
ax
ax
anx
−
−
−
−+=
"
"""""
"
"
"
001
001
001
0001
])1([
1)]()1([ −−−+= naxanx
66
【例】计算行列式
u
z
y
x
D
+
+
+
+
=
1111
1111
1111
1111
)0( ≠xyzu
【解法一】拆项与降阶
u
z
y
D
+
+
+=
1111
1111
1111
1111
u
z
y
x
+
+
++
1110
1110
1110
111
11
67
u
z
y
001
001
001
0001
=
u
z
y
x
+
+
+
+
111
111
111
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
++
+
++=
u
z
y
u
zxyzu
110
110
11
111
111
111
[ ]))(()( zuuzyzuxyzu ++++=
xyzxyuxzuyzuxyzu ++++=
u
z
y
D
+
+
+=
1111
1111
1111
1111
u
z
y
x
+
+
++
1110
1110
1110
111
68
【解法二】
ux
zx
yx
x
00
00
00
1111
−
−
−
+
=
的“爪形三线” 行列式化成形如
4,3,2,)1( 1 =→−+ irrr ii
u
z
y
x
D
+
+
+
+
=
1111
1111
1111
1111
69
ux
zx
y
y
xx
00
00
000
1111
−
−
++
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++=
u
x
z
x
y
xxyzu 1
ux
zx
yx
x
00
00
00
1111
−
−
−
+
=
ux
z
y
z
x
y
xx
00
000
000
1111
−
+++
=
u
z
y
u
x
z
x
y
xx
000
000
000
1111 ++++
=
70
解法三 升阶
u
z
y
x
+
+
+
+
=
11110
11110
11110
11110
11111
-1 x 0 0 0
-1 0 y 0 0
-1 0 0 z 0
-1 0 0 0 u
u
z
y
x
D
+
+
+
+
=
1111
1111
1111
1111
71
【例】计算行列式
542
452
222
−
−−
−−
=
λ
λ
λ
D
【解】
并解方程 D = 0
512
412
202
−−
−−
−
=
λλ
λ
λ
D
904
412
202
−
−−
−
=
λ
λ
λ
72
]8)9)(2)[(1( −−−−= λλλ
所以, 方程的解为
10,1 321 === λλλ
904
412
202
−
−−
−
=
λ
λ
λ
)10()1(
)1011)(1(
2
2
−−=
+−−=
λλ
λλλ
12
73
【例】解关于x 的方程:
0
11321
12321
13221
13211
1321
=
−+
−+
−+
−+
−−
−−
−
−
−
xaaaaaa
axaaaaa
aaxaaaa
aaaxaaa
aaaaa
nnn
nnn
nn
nn
nn
"
"
""""""
"
"
"
其中a1≠ 0.
74
xa
xa
xa
xa
aaaaa
n
n
nn
−
−
−
−
−
−
−
1
2
2
1
1321
0000
0000
0000
0000
"
"
""""""
"
"
"
左 =
)())(( 1211 xaxaxaa n −−−= −"
故方程的解为
.,,, 112211 −− === nn axaxax "
【解】
75
【例】计算
2221
1211
2221
1211
2221
1211
00
00
bb
bb
cc
cc
aa
aa
D =
【解】
2221
1211
2221
1211
2221
1211
00
00
bb
bb
cc
cc
aa
aa
D =
222121
121111
21
12
222122
121112
22
11
0000
bbc
bbc
a
a
bbc
bbc
a
a −=
76
222121
121111
21
12
222122
121112
22
11
0000
bbc
bbc
a
a
bbc
bbc
a
a −=
2221
1211
2112
2221
1211
2211 bb
bb
aa
bb
bb
aa −=
2221
1211
2221
1211
bb
bb
aa
aa ⋅=
77
m 阶
k 阶*
O
= m 阶 k 阶×
m 阶
k 阶O
*
= m 阶 k 阶×
78
m 阶
k 阶 *
O
= (-1)mk m 阶 k 阶×
m 阶
k 阶 O
*
= (-1)mk m 阶 k 阶×
13
79
【答】D
(A) 100 (B) –100 (C) 102 (D) - 102
【例】(单项选择题)
=
−
−−
−
=
12200
23000
71110
51000
42123
5D ______.
(下页)
80
12200
23000
71110
51000
42123
5
−
−−
−
=D
【解】
12200
42123
71110
51000
23000
−
−−
−
−=
200
123
110
51
23
)1( 32
−
−
×−−−=
×
= - 102
81
【解】
【答】B
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
【例】(单项选择题) 设
3475344
53542333
32221222
3212
)(
−−−
−−−−
−−−−
−−−−
=
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xf
则f (x) = 0 的根的个数为______.
3475344
53542333
32221222
3212
)(
−−−
−−−−
−−−−
−−−−
=
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xf
1
1
1
- 3
0
0
x - 2
x - 7
-1
-1
- 2
- 3
(下页)
82
3734
22133
10122
1012
−−−
−−−
−−
−−
=
xx
xx
x
x
6734
12133
00122
0012
−−−
−−−
−
−
=
xx
xx
x
x
)55( +−−= xx
f (x) = 0有两个根
83
【答】A
【例】(单项选择题) 设
2
2
5143
2143
4331
4321
)(
x
x
xf
−
−=
则f (x) = 0 的根为______.
(A) (B) (C) (D) 3,1 ±± 3,5 ±± 2,5 ±± 5,1 ±±
84
【解】
【答】A
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
【例】(单项选择题) 设
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
( )
a x a x a x a x
b x b x b x b x
f x
c x c x c x c x
d x d x d x d x
+ + + +
+ + + += + + + +
+ + + +
则f (x) 的次数至多为______.
(下页)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
( )
a x a x a x a x
b x b x b x b x
f x
c x c x c x c x
d x d x d x d x
+ + + +
+ + + += + + + +
+ + + +
a2 – a1
b2 – b1
c2 – c1
d2 – d1
a3 – a1
b3 – b1
c3 – c1
d3 – d1
a4 – a1
b4 – b1
c4 – c1
d4– d1
14
85
按第一列展开
411311211111 )()()()()( AxdAxcAxbAxaxf +++++++=
)()( 41131121111141312111 AdAcAbAaxAAAA +++++++=
与x 无关的数 与x 无关的数
86
2312
1120
112
0211
)(
−−
+−
−
−
=
x
x
xf【例】已知 , 求 2
2 )(
dx
xfd
【解一】计算f (x)
2312
1120
112
0211
)(
−−
+−
−
−
=
x
x
xf
0 1 + x - 4 3
0 2 + x - 5 1
341
112
152
−+
+−
−+
=
x
x
x
-4 – x x + 6 0
-5 - 2x 11 0
= -11(4 + x) +(5 + 2x)(6 + x)
2
2 )(
dx
xfd =4
87
【解二】找出 f (x) 中次数 ≥ 2 的项
2312
1120
112
0211
)(
−−
+−
−
−
=
x
x
xf
由行列式的定义, 产生 f (x) 中最高次幂的项为
1 · x · (x + 1) · 2
2
2 )(
dx
xfd = 4
88
3351
1102
4315
2113
−−
−
−−
−
=D
【例】已知行列式
求 14131211 335 AAAA −+−
442414 AAA +−
89
【解】 14131211 335 AAAA −+−
3351
1102
4315
2113
−−
−
−−
−
=
1 – 5 3 – 3
= 0
90
442414 AAA +−
3351
1102
4315
2113
−−
−
−−
−
=
1
– 1
0
1 1355
0100
13111
1115
−−
−−
−
=
155
1111
115
−−
−−=
56=
0610
026
115
−−
−=
15
91
【例】计算范德蒙( Vandermonde )行列式
2
3
2
2
2
1
321
111
aaa
aaa
【解】
(- a1) × r2+ r3 ⇒ r3
(-a1) × r1+ r2 ⇒ r2
2
3
2
2
2
1
321
111
aaa
aaa
2
3
2
2
2
1
321
111
aaa
aaa
0 a2(a2- a1) a3(a3- a1)
0 (a2- a1) (a3- a1)
92
32
1312
11
))((
aa
aaaa −−=
))()(( 231312 aaaaaa −−−=
)()(0
0
111
133122
1312
aaaaaa
aaaa
−−
−−=
)()(
)()(
133122
1312
aaaaaa
aaaa
−−
−−=
93
一般地, 可以
Vandermonde 行列式
)2(
1111
11
3
1
2
1
1
22
3
2
2
2
1
22
3
2
2
2
1
321
≥
=
−−−−
−−−−
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D
n
n
nnn
n
n
nnn
n
n
n
"
"
"""""
"
"
"
其中a1, a2, ", an为 n 个不同的数.
∏
≤<≤
−=
nij
ji aa
1
)(
94
例如
27931
1252551
1111
8421
48
)53)(13)(15)(23)(25)(21(
=
−−−−−−=
95
【例】计算n 阶行列式:
11111
000
0000
000
000
11
3
22
11
"
"
""""""
"
"
"
−−−
−
−
−
=
nn
n
aa
a
aa
aa
D
96
11111
000
0000
000
000
11
3
22
11
"
"
""""""
"
"
"
−−−
−
−
−
=
nn
n
aa
a
aa
aa
D
"
【解】
0
2
0
3 n-1
0
n
121
1)1( −
−−= nn aana "
16
97
【例】(单项选择题) [ ].
【解一】第一行与第五行分别有公因子a , b, 排除 (C)
【答】A
(A) ab(a2 + b2) (a + b) (B) a3 b3 (a + b)
(C) a4 - b4 (D) a4b4
=
0
0
0
0
0
bbbb
abbb
aabb
aaab
aaaa
幻灯片 99
98
=
0
0
0
0
0
bbbb
abbb
aabb
aaab
aaaa
aabababb
aababb
aabb
ab
aaaa
−−−−
−−−
−−
−
0
00
000
0
(第一行的 –1 倍加至其它行)
ab
ab
ab
ab
aaaa
−
−
−
−
=
000
000
000
000
0
(从第五行起, 上行的 –1 倍
加至其下行, 至第二行为止)
ab
ab
ab
ab
−
−
−−=
00
00
00
1111
(提公因子,并按第一列展开)
99
ab
ab
ab
ab
−
−
−−=
00
00
00
1111
(按第一行展开)
))(( 22 babaab ++=
幻灯片 97
3){( aab −−= 2)( ab −− )(2 ab −+ }3b−
100
【解二】建立递推公式法
0
0
0
0
0
5
bbbb
abbb
aabb
aaab
aaaa
D =
ab
ab
ab
ab
aaaa
−
−
−
−
=
000
000
000
000
0
4
415 )()1( Daab −+−= + (按最后一列展开— 递推公式)
])()1)[(()1( 3
33415 Daabaab −+−−+−= −
])()1[( 2
222324 Daababaab −+−++=
))((23324 abababaab −−+++=
))(( 22 babaab ++=
101
【例】计算行列式
【解】按第一行展开
a
aa
aa
aa
aa
D
−−
−−
−−
−−
−
=
11000
1100
0110
0011
0001
5
345 )1()1( DaDaD ×−×−−=
3445 DaDDaD ×+=×+ — 递推公式
23 DaD ×+=
12 DaD ×+=
102
)1(
11
1
12 aaa
aa
DaD −+−−
−=×+
145 =×+ DaD
123 =×+ DaD
112 =×+ DaD
134 =×+ DaD ×(-a)
145 =×+ DaD
2
2
3
3
2 aDaDa =×+
3
1
4
2
3 aDaDa −=×−−
aDaDa −=×−− 324)(
×(a2)
×(-a3) (+
32
1
4
5 1 aaaDaD −+−=×−
1
432
5 1 DaaaaD ×+−+−=
54321 aaaaa −+−+−=
= 1
17
103
【例】证明奇数阶反对称行列式等于零
【证】 设D 为奇数阶反对称行列式, 其阶数为2n - 1
0
0
0
0
12,312,212,1
12,32313
12,22312
12,11312
"
"""""
"
"
"
−−−
−
−
−
−−−
−−
−
=
nnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
T12)1( Dn−−=
D−=
D = 0
104
【解】写成标准方程
【例】求解三元一次方程组 ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=+++
=+−
12
,02223
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
−=++
=+−
12
,2223
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
5
121
223
112
=
−
−
=D 10
121
222
112
1 =
−
−
−
=D
5
111
223
122
2 −=−=D 15
121
223
212
3 −=
−
−
−
=D
3,1,2 321 −=−==⇒ xxx
105
【例】解方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=++
=++
=−
1
02
02
1
43
432
321
21
xx
xxx
xxx
xx
【解】
04
1100
2110
0211
0011
≠−=
−
=D
4
1,
4
3,
4
5,
4
1
4321 ==−=−= xxxx
1,3,5,1 4321 −=−=== DDDD
106
【例】讨论 a ,b 取何值时, 方程组
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++
=++
02
0
0
321
321
321
xbxx
xbxx
xxax
有非零解?
【解】
ba
b
b
a
D )1(
121
11
11
−==
当a = 1或 b = 0 时有非零解
18