三角形“四心”的判断

高中数学教与学 。学习指导 o 2007 聋 三角形“四心 ’’的 Ij断 周凤凯 (河北省衡水市第卜四中学，053000) 二角形的“ 心”(即内 、、外心、重心、垂 心)是中学数学的一个基础知识点，需掌握它 们的定义和性质．近几年，以平面向量知识为 载体 ，加强 r对它的考查，是高考的一1＼小的 热点．本文就“四心”判断问题的解法方法作 一 归纳，供凑者参考． 一 、直接计算法 例 1 设点 O足 AABC所在平面内一点， 且 (OA+OB)·BA=(OB+OC)·CB= (OC +OA)·AC，则 0为 AABC的( ) (A)重心 (B)内心 (C)外心 (D)垂心 解 由BA=OA—OB，得 (OA +OB)·BA — — — + — + = (0A +0B)·(0A一0B) = f)A 一 0曰 ． 同理( + )．c----曰---k： 一O-d2， (0C +OA)·AC = 0C 一OA ． 由题意可知 一 ： 一 = 0C 一0A ． ·●⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·● ⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ’● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ’● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·● I_=!!-I 3 容易看出曰、C之间的曲线较A，曰之间的 曲线 更加“陡峭”．陡峭 的程度 反 映 了气温 变 化的快与慢． 那么，如何用数 学语 言刻画不 同的“陡 峭”程度 呢? 评析 这里的情境源于学生的实际生 活，问题很自然，但所蕴涵数学意义却极为深 刻．通过问题 ，引导学牛去探究，在探究过程 中，逐步建 导数概念．不仅如此 ，通过导数 概念的建立过程 ，学生学到更一般地提出问 题、解决问题的思想方法． 三、几点注意 从上述可以看出，在进行问题 · · 情境时 ，应着眼于学生思维 的发展这个 核心进行，关注学生能从情境中自觉 、主动提 出问题 ，并在不断地解决问题的过程 中完成 对数学的学习．背离这条主线，就会带来诸多 弊端 ，出现许多形式主义、教条化的现象．具 体地说，应当注意以下几点： (1)注重生活情境 ，防止出现惟生活情 境 ，以生活情境代替问题情境的现象．在许多 情况下 ，数学内部问题是好的问题情境． (2)注重提出问题，防止出现假情境、为 情境而情境、只有情境没有问题的现象． (3)注重数学本质 ，防止出现人造情境和 过分迎合学生浅层次趣味的现象，更不能出 现去数学、非数学、反数学的现象． (4)注重学生认知起点，防止出现过分重 视数学逻辑起点，忽视学生接受能力的现象． (5)注重一景多用，形成学生对所学内容 的整体认识，防止出现一个内容一个情境，情 境遍地开花的现象． 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 J2粥 m此可得oa =OB =OC ， 1 0A I=1 0B I=1 0C I． 即 OA = 0B ： OC． 所以 0为 AABC的外心 ，选 C． 例2 已知 0是平面内一点，A、B、C是这 个平面内不共线的三点，动点 P满足 ：O—A + COS B + COS )，A = F————一十—_= ————一1．^ AB l l AC l C， ∈(0， +∞)，则动点 P的轨迹一定通过 AABC的 ( ) (A)重心 (B)内心 (C)外心 (D)垂心 解 由题设 ，得 一 O—A：Af—= +—= 丝一1， ＼ l AB l COS B l AC l c0s C， 即 A—P=A( + )， 则 BC·AP ：A赢．f—： +—： 1 ＼l AB l COS B l AC l COS C， ，I AB I·I BC I COS(,IT—B) A I — — —— — — — —= r — — —— — — — —— — 一 ＼ l AB l cos B I AC I·l BC I CO8 C、 l AC l COS C ， = A(一I BC I+I BC 1) =0， ． ’ ． BC 上 AP． 点 P的轨迹一定通过 AABC的垂 1、．2． 选 I)_ 二、形数结合法 例 3 设G是 AABC所在平面内一点，由 ( +GB+GC=0，贝0 G是 AABC的( ) (A)重心 (B)内心 (C)外心 (D)垂心 A C D B 图 1 解 如图 1，取 AB中点 D，则 高中数学教与学 C一4+ ： 2 义GA +GB =一GC = CC． ． 。 ． CG = 2(；，)． 从而 G为CD内分点且 I GC I：2 I GD l，即 G 在 AABC的中线 CD上且 GC=2GD，昕以G是 AABC的重心 ，选 A． 例4 0为平面 卜一定点，A、B、c是平面 上不共 线 i点，动 点 P满 足 OP = OA + A( + )’AE(0，+ 轨迹一定过 AABC的( ) (A)重心 (B)内心 (C)外心 (D)垂心 解 令 = ， = ’!J!IJ 、 AF分别是与A 、AC 向的单位向量(如 2)，以AE，AF为邻边作平行四边形 AEDF，则 四边形AEOF为菱形且AD=4E+A ，从而 {D 平分 BAC．又由已知町得 P一0．4：A(AE +AF)=A AD，AP=A AD，(A >0)，从而AJ【) 与A，)同向，所以AP平分 ~BAC，P点的轨迹 一 定过 AABC的内心，选 B． 三 、特殊 图形分析法 圈 2 例5 已知 0为 AABC的外心，P为平L臼{ ABC内一点 ，且 ：O—A+O—B+O—C ，则 P为 AABC的( (A)重心 (C)外心 (B)内心 (D)垂心 解 无妨设 AABC为直角三角形． c ： 90。．由题意0为AB的中点，从而 + + ： 又由已知 ：O—A+O—B+O—C ，所 以 ：O—C ，因而P与c重合，P为 AABC的垂 心 ，选 D． 例 6 AABC内有一点 P，使 I I + · 5· 一 ， ， ， ＼J 维普资讯 http://www.cqvip.com 高中数学教与学 2007年 I P—B I +l l 取得最小值 ，则P为 AABC的 ( ) (A)重心 (B)内心 (C)外心 (D)垂心 解 不妨设 AABC为等腰直角三角形 ， ／A=90。，并建立平面直角坐标系如图3。设 AB = 1，P( ，)，)，则 A(0，0)，B(1，0)，C(0， 1)，} I。+l赢 I。+} I ： +y2+( -1)。+y2 +(y-1) =3( 一 ) + 3()，一÷) + 4，当且仅当 =)，=了1时上式 有最小值，从而P(÷， )，因此P为△ABc的 萤心 ．·选 A． 图 3 评注 以上两例若采用常规方法运算量 大且难寻突破口，现采用特殊图形分析法并 结合“四心”性质而解决，解法简捷，巧妙，别 具一格． 练习 ： 1．点0是 AABC所在平面内一点，且DA· ： ． ： ． ，则点 0为 AABC的 ( ) (A)重心 (B)内心 (C)外心 (D)垂心 2．点 0是 AABC所在平面内一点 ，满足 · 6 · l }z+l l z：l l z+l l z：l l z + l A }。 ， 则点 0为 AABC的( ) (A)重心 (B)内心 (C)外心 (D)垂心 3．已知A、B、c三点不共线，0是平面内一 定 点 ，P 为 一 动 点 ， 且 OP = OA + Af +了1 ，则动点P的轨迹一定通过 ABC的( ) (A)重心 (B)内心 (C)外心 (D)垂心 4．点 0是 AABC所在平面内一动点，且 满足BA·OA+I BC I =AB·OB+I ACI ，则 ——一 —— —— ^ —— — —— 0点的轨迹一定通过 AABC的( ) (A)重心 (B)内心 (C)外心 (D)垂心 5．平面上三个不共线 向量D 、D 、DC满 足 ·( + ) ： ．f + 1 ＼l A l l C l， = O—C 。( + CA一)-o， ＼l BC l l l， 则点 0为 AABC的( ) (A)重心 (B)内 (C)外心 (D)垂心 方法提示及： 1．直接计算法，选 D． 2．直接计算法或特殊图形分析法，选 D． 3．形数结合法，选 A． 4．特殊图形分析法或直接计算法，选 D． 5 形数结合法，选 B． 一 充于 一 言 秣 mⅢ 一 ～删储 一 一扩氛灞 ～ 一 觫 一 ～翩 椎 一 一 ．：干( ． ～ 嗽 一 ～教 章 一 ～ 班 坟 一 ～ 一 ～国育 ～ 环 一 ～ 枞睹 一 ～ 舭诉 一 中 ．。 ～ ． 付 ～ ～者 被给 一 ～佾 已性 一 生日 次 ～ ．本 一 ～ 维普资讯 http://www.cqvip.com