「二次函数压轴题【万唯教育】」

二次函数压轴题　已知:如图，二次函数图象的顶点坐标为C(1，－2)，直线的图象与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点坐标为（3,0）,B点在轴上.点Ｐ为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合)，过点P且垂直于轴的直线与这个二次函数的图象交于点E.（1）求这个二次函数的解析式；设点P的横坐标为，求线段ＰE的长(用含的代数式表示）；点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,若以点Ｐ、E、D为顶点的三角形与△AOB相似,请求出　　　第1题图P点的坐标．　　　　　　　　解：（1）设二次函数的解析式为顶点式,点A(3，0)在抛物线上,,,,抛物线与y轴交点B的坐标为(0，－），直线AB的解析式为，,,,直线AB的解析式为.P为线段AB上的一个动点，P点坐标为.(）由题意知PE／/y轴，因此E点的坐标为．，ＰE=．由题意可知点D的横坐标为x=1，又D点在直线AB上，Ｄ点坐标为（１，-1).当∠EDP=９0o时，△AOB∽△EDＰ,过点D作DＱ⊥PE于Q，如解图所示,＝=x，,△ＤQP∽△AOＢ∽△EDP，　　　　第1题解图，又OA=３,OB＝，AＢ=,又DQ=x－1,ＤP=，解得：x=-1(负值舍去),P()(如解图中的Ｐ1点)；当∠DＥP=90o时,△AOB∽△DEP,由（2）得PE=,ＤE=x-1,解得:x=１,(负值舍去)．P（)(如解图中的P2点)；综上所述,P点坐标为（）或（).2.如图，在平面直角坐标系中,△AＢC是直角三角形，∠ACB＝90,AＣ=ＢC，OA=1,OＣ=4，抛物线ｙ=x2＋ｂx+c经过A,Ｂ两点，抛物线的顶点为Ｄ.求b，ｃ的值;点E是Rｔ△ABＣ斜边AB上一动点（点Ａ、B除外）,过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时，求点Ｅ的坐标；在(2)的条件下:求以点E、B、Ｆ、D为顶点的四边形的面积;在抛物线上是否存在一点P,使△EFＰ是以EＦ为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点Ｐ的坐标；若不存在，说明理由．　第2题图解：（１）由已知得:A（﹣1，0)，B(４,5），∵二次函数y=ｘ２＋ｂｘ+c的图象经过点Ａ（﹣1，0)，B（４，5），∴,解得:b=﹣2,c=﹣３;∵直线AB经过点Ａ(﹣１,０),B（4，5),∴直线AＢ的解析式为：y=ｘ+1,∵二次函数y＝ｘ2﹣2x﹣3，∴设点Ｅ（ｔ,t＋1）,则F(t，t2﹣2ｔ﹣３)，　　　　　　∴EF=（ｔ+１)﹣(t2﹣２ｔ﹣3）=﹣(t﹣)２+，∴当t＝时,EF有最大值为，∴点E的坐标为(，);①如解图①:顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．可求出点F的坐标为(，),点D的坐标为(1，﹣4），　S四边形ＥBFD=S△ＢEＦ+S△DＥF=××(4﹣）＋××(﹣1)＝；　　　　　　　　　第2题解图①ⅰ）如解图，过点E作a⊥ＥＦ交抛物线于点Ｐ,设点Ｐ(m,m２﹣2m﹣3），则有:ｍ2﹣2m﹣3＝，解得:ｍ１=,ｍ２=,　　　　第２题解图∴P1(，),P2（,)，　　　　　　ⅱ)如解图，过点F作b⊥EF交抛物线于Ｐ3，设Ｐ3(n，n2﹣2n﹣3)，则有：ｎ2﹣2n﹣3=，解得：ｎ1=，n2=(与点Ｆ重合，舍去），∴Ｐ3（,）,综上所述：所有点Ｐ的坐标:Ｐ1(,),P2(，）,P３(，）能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．3.已知抛物线y＝ａx2+bx+c经过Ａ(－1,０）、B(３，0)、Ｃ（0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(１)求抛物线的函数关系式;(2)设点P是直线l上的一个动点，当△ＰAC的周长最小时，求点P的坐标;　　　　　　　　　　　　　　第3题图在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1)∵A(-1，0)、B(3,0)在抛物线ｙ＝ax２＋bx+c上,∴可设抛物线为y=a（x+１)(x-3)．又∵C(0，３)在抛物线上，∴代入,得3＝ａ(0＋1）(0－３）,即ａ=－1.∴抛物线的解析式为ｙ=-（ｘ＋1）(x－3），即y=－x２＋2x＋３.如解图，连接BC,直线BＣ与直线l的交点为P,则此时的点P,使△PAC的周长最小.设直线BC的解析式为y=kx＋b，将Ｂ(３,0),C(0，3）代入,得：　解得:．　　　　　　第3题解图∴直线BC的函数关系式ｙ＝-x+3.当x=1时,y＝2，即Ｐ的坐标(1,2).（3)存在,点M的坐标为（1,），(1，－)，(1，１)，（１，0).理由如下:∵抛物线的对称轴为：ｘ=1，∴设M(1，ｍ).∵A(－１，0)、C(0，3)，根据勾股定理可得MＡ2=m2＋4,MC2＝m２－6ｍ+10，AＣ　2＝1０.①若ＭA=MC，则ＭA２＝MC2,得：ｍ　2+4＝m　２－6m＋10,得：ｍ=1.②若MA=ＡC,则MA　2＝AＣ2，得：ｍ２＋4＝１０，得:m＝±.③若ＭC=AC，则MＣ2＝AC２,得:m2－6m＋1０=10,得:ｍ=0,m=６，当m=6时,M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，有符合条件的Ｍ点,且坐标为(１，)，(1，-)，（1,1),(1,0)．