第4讲　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

第一单元预备知识第4讲　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式课前双基巩固课堂考点探究教师备用例题要求1.从函数观点看一元二次方程会结合一元二次函数的图像,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式(1)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合示一元二次不等式的解集.(2)借助一元二次函数的图像,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.1.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的不等式叫作一元二次不等式.􀳊知识聚焦􀳊2.三个“二次”间的关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像（续表）判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个相异实根x1,x2(x1<x2)没有实数根（续表）判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0ax2+bx+c>0(a>0)的解集　　　　 　　 　　 ax2+bx+c<0(a>0)的解集　　　　 　　 　　 {x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}R{x|x1<x<x2}⌀⌀1.(1)“ax2+bx+c>0(a≠0,x∈R)恒成立”的充要条件是“a>0且b2-4ac<0”.(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且b2-4ac<0”.2.(1)对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形.(2)注意区分Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是⌀.􀳊对点演练􀳊题组一　常识题1.[教材改编]不等式x2-2x-8≥0的解集为　　　　. (-∞,-2]∪[4,+∞)[解析]由x2-2x-8=(x-4)(x+2)≥0,解得x≤-2或x≥4,即不等式的解集为(-∞,-2]∪[4,+∞).2.[教材改编]已知集合A={x∈R|2x-3≥0},集合B={x∈R|x2-3x+2<0},则A∩B=　　　　.  [解析]由题意可得A=,B={x|1<x<2},∴A∩B=. 3.[教材改编]已知一元二次方程3x2+2ax+(a+6)=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是　　　　. a<-3或a>6[解析]因为方程3x2+2ax+(a+6)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=(2a)2-4×3×(a+6)>0,解得a<-3或a>6.4.不等式x(x+5)<3(x+5)的解集为　　　　. (-5,3)[解析]原不等式等价于(x+5)(x-3)<0,解得-5<x<3,即该不等式的解集为(-5,3).题组二　常错题◆索引:变形必须等价;注意二次项的系数符号;参数的讨论不要忽视二次项的系数.5.不等式(x+1)(3-2x)≥0的解集为　　　　.  [解析]由(x+1)(3-2x)≥0,得(x+1)(2x-3)≤0,∴不等式的解集为 6.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x对任意x都成立,则实数m的取值范围是　　　　. [解析]原不等式可整理为(2-m)x2+(4-2m)x+4>0.当m=2时,不等式为4>0,该不等式恒成立;当m≠2时,必须满足解得-2<m<2.综上,实数m的取值范围是(-2,2]. (-2,2]探究点一　一元二次不等式的解法1.设a>1,则关于x的不等式(1-a)(x-a)x-<0的解集是(　　)A.(-∞,a)∪,+∞B.(a,+∞)C.a,D.-∞,∪(a,+∞) [解析]由a>1,得1-a<0,且a>,则关于x的不等式(1-a)(x-a)x-<0可化为(x-a)x->0,解得x<或x>a,所以不等式的解集为-∞,∪(a,+∞).故选D. D2.已知集合A={x|x2-6x+5≤0},B={x|y=log2(x-2)},则A∩B=(　　)A.(1,2)B.[1,2)C.(2,5]D.[2,5]C[解析]由题意,集合A={x|x2-6x+5≤0}={x|1≤x≤5},B={x|y=log2(x-2)}={x|x>2},所以A∩B={x|2<x≤5}=(2,5],故选C.3.[2019·西安中学期末]不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1),则不等式b(x2+1)-a(x+3)+c>0的解集为(　　)A.-,1B.-1,C.-∞,-∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪,+∞ B[解析]由题意知a<0,-4,1是方程ax2+bx+c=0的两个根,所以得b=3a,c=-4a,不等式b(x2+1)-a(x+3)+c>0可化为3a(x2+1)-a(x+3)-4a>0,即3(x2+1)-(x+3)-4<0,解得-1<x<.故选B. 4.关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数,则实数a的取值范围是(　　)A.(-2,-1]∪[3,4)B.[-2,-1]∪[3,4]C.[-2,-1)∪(3,4]D.(-2,-1)∪(3,4)C[解析]不等式x2-(a+1)x+a<0,即(x-1)(x-a)<0.若a<1,则不等式的解集为(a,1);若a>1,则不等式的解集为(1,a).要保证不等式的解集中恰含有两个整数,则-2≤a<-1或3<a≤4,故选C.[反思]解一元二次不等式的一般步骤:①化为形式(二次项系数大于0);②确定判别式Δ的符号(若Δ≥0,则求出该不等式对应的一元二次方程的根,若Δ<0,则对应的一元二次方程无根);③结合二次函数的图像得出不等式的解集.例1若关于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R,则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(0,1)C.(-∞,0]∪(1,+∞)D.[0,1]探究点二　一元二次不等式恒成立的类型微点1　形如f(x)≥0(x∈R)[思路点拨]由题意,得出a≠0,再根据不等式的解集为R时满足的条件,列不等式组可得结果.[解析]因为ax2+2ax+1>0为一元二次不等式,所以a≠0,又因为ax2+2ax+1>0的解集为R,所以解得0<a<1,故选B. B[总结反思](1)若不等式ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立,则满足(2)若不等式ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立,则满足(3)若不等式ax2+bx+c>0恒成立,则要考虑a=0时是否满足. 例2已知f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-1,3).若对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,则m的取值范围是(　　)A.(-∞,2]B.(-∞,4]C.[2,+∞)D.[4,+∞)微点2　形如f(x)≥0(x∈[a,b])[思路点拨]先根据根与系数的关系求出b和c的值,再根据不等式恒成立求出m的取值范围.例2已知f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-1,3).若对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,则m的取值范围是(　　)A.(-∞,2]B.(-∞,4]C.[2,+∞)D.[4,+∞)D微点2　形如f(x)≥0(x∈[a,b])[解析]由题知-1,3是方程-2x2+bx+c=0的两根,得所以b=4,c=6,所以f(x)=-2x2+4x+6. 例2已知f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-1,3).若对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,则m的取值范围是(　　)A.(-∞,2]B.(-∞,4]C.[2,+∞)D.[4,+∞)D微点2　形如f(x)≥0(x∈[a,b])一:因为对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,所以对任意的x∈[-1,0],m≥2x2-4x-2恒成立,因为y=2x2-4x-2在[-1,0]上的最大值为4,所以m≥4.故选D.例2已知f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-1,3).若对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,则m的取值范围是(　　)A.(-∞,2]B.(-∞,4]C.[2,+∞)D.[4,+∞)D微点2　形如f(x)≥0(x∈[a,b])方法二:对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,即g(x)=2x2-4x-2-m≤0(x∈[-1,0])恒成立,于是解得m≥4.故选D. [总结反思]一元二次不等式在指定范围内恒成立,其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间.恒大于0就是相应的二次函数图像在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数图像在给定的区间上全部在x轴下方.例3[2019·厦门六中期中]已知集合A={t|t2-4≤0},对于满足集合A的所有实数t,使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范围为(　　)A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-∞,-1)D.(3,+∞)微点3　形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])[思路点拨]先由已知条件求出t的取值范围,不等式x2+tx-t>2x-1恒成立,即不等式(x+t-1)(x-1)>0恒成立,再由不等式左边的两个因式同为正或同为负得x的取值范围(或建立关于t的一次函数,利用一次函数的单调性求解).例3[2019·厦门六中期中]已知集合A={t|t2-4≤0},对于满足集合A的所有实数t,使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范围为(　　)A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-∞,-1)D.(3,+∞)B微点3　形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])[解析]方法一:由t2-4≤0得-2≤t≤2,∴-1≤1-t≤3.不等式x2+tx-t>2x-1恒成立,即不等式x2+tx-t-2x+1>0恒成立,即不等式(x+t-1)(x-1)>0恒成立,∴只需或恒成立,∴只需或恒成立,∵-1≤1-t≤3,∴只需x>3或x<-1即可.故选B. 例3[2019·厦门六中期中]已知集合A={t|t2-4≤0},对于满足集合A的所有实数t,使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范围为(　　)A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-∞,-1)D.(3,+∞)B微点3　形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])方法二:不等式x2+tx-t>2x-1恒成立,即不等式(x-1)t+x2-2x+1>0恒成立.设g(t)=(x-1)t+x2-2x+1.由t2-4≤0,得-2≤t≤2,所以原问题等价于函数g(t)在区间[-2,2]上恒大于0,所以解得x>3或x<-1.故选B. [总结反思]利用变换主元法解决一元二次不等式在给出参数取值范围情况下恒成立问题时,一定要搞清谁是变换后的主元,谁是变换后的参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变换后的主元,求谁的范围,谁就是变换后的参数.应用演练1.【微点1】若不等式mx2+(m-1)x+m>0对实数x∈R恒成立,则实数m的取值范围是(　　)A.m<-1或m>B.m>1C.m>D.-1<m< [解析]当m=0时,不等式为x<0,与已知不符,所以m≠0.当m≠0时,由题得m>0且Δ=(m-1)2-4m2<0,所以m>.综上得,m的取值范围为m>.故选C. C2.【微点2】当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是(　　)A.(-∞,4]B.(-∞,-5)C.(-∞,-5]D.(-5,-4)[解析]∵当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,∴解得m≤-5.故选C. C3.【微点3】若对于m∈[-2,2],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是　　　　. [解析]不等式mx2-mx-1<-m+5可化为(x2-x+1)m-6<0,令f(m)=(x2-x+1)m-6,则对于m∈[-2,2],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立等价于f(m)max<0,m∈[-2,2].因为x2-x+1=x-2+>0恒成立,所以f(m)为[-2,2]上的增函数,所以f(m)max=f(2)=2(x2-x+1)-6<0,解得-1<x<2,故答案为(-1,2). (-1,2)探究点三　一元二次不等式的应用例4某地区上年度电价为0.8元/kW·h,年用电量为akW·h.本年度计划将电价降到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间,而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式.[思路点拨]用含x的代数式表示出用电量,然后与x-0.3相乘可得电力部门的收益y.例4某地区上年度电价为0.8元/kW·h,年用电量为akW·h.本年度计划将电价降到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间,而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式.解:依题意知,本年度电价下调后用电量增至+akW·h,电力部门的收益y=+a(x-0.3)(0.55≤x≤0.75). (2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价).[思路点拨]结合(1)中的收益函数求解对应的一元二次不等式即可.解:依题意,有+a(x-0.3)≥[a×(0.8-0.3)](1+20%)(0.55≤x≤0.75),整理得x2-1.1x+0.3≥0(0.55≤x≤0.75),解此不等式,得0.60≤x≤0.75.∴当电价最低定为0.60元/kW·h时,仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%. [总结反思]对于不等式应用问题,一般可按四步进行:一要理解题意,把握问题中的关键量;二是引进数学符号,用不等关系构造不等式;三是解不等式;四是回答实际问题.变式题要使火车安全行驶,按规定,铁路转弯处的圆弧半径不允许小于600m(如图1-4-1),如果某段铁路的两端点A,B相距156m,弧AB所对的圆心角小于180°,则CD的取值范围是　　　　.(结果保留一位小数) [解析]设圆弧的半径OA=OB=am,CD=xm,在Rt△BOD中,DB=78m,OD=(a-x)m,则(a-x)2+782=a2,∴a=,依题意a≥600,即≥600,∴x2-1200x+6084≥0,解得x≤5.1或x≥1194.9(舍去),故CD的取值范围是(0,5.1]. (0,5.1]图1-4-1【备选理由】例1考查解含参数的一元二次不等式问题,需要对参数进行分类讨论;例2是一元二次不等式在给定区间上的存在性问题,能开阔视野、拓展思路,完善知识体系;例3考查恒成立问题的解法,经常利用分离参数法,转为求函数的最值问题.例1[配合探究点一使用][2019·衡水十三中质检]已知关于x的不等式-x2+ax+b>0.(1)若该不等式的解集为(-4,2),求a,b的值;(2)若b=a+1,求此不等式的解集.解:(1)根据题意得解得a=-2,b=8.(2)当b=a+1时,不等式-x2+ax+b>0即为x2-ax-(a+1)<0,即[x-(a+1)](x+1)<0.当a+1=-1,即a=-2时,原不等式的解集为⌀;当a+1<-1,即a<-2时,原不等式的解集为(a+1,-1);当a+1>-1,即a>-2时,原不等式的解集为(-1,a+1). 例2[配合例3使用]若存在x∈[-1,1],使得x2+mx-3m≥0,则m的最大值为(　　)A.1B.C.D.-1 C[解析]若对于任意x∈[-1,1],不等式x2+mx-3m<0恒成立,则由函数f(x)=x2+mx-3m的图像可知解得m>.所以若存在x∈[-1,1],使得x2+mx-3m≥0,则m≤,所以m的最大值为.故选C. 例3[配合例3使用]设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于任意x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为(　　)A.(-∞,0]B.0,C.-∞,D.(-∞,0)∪0, [解析]由f(x)<-m+4,可得m(x2-x+1)<5.∵当x∈[1,3]时,x2-x+1∈[1,7],∴不等式f(x)<-m+4等价于m<.∵当x=3时,取得最小值,∴对于任意的x∈[1,3],若要不等式m<恒成立,则m<.因此,实数m的取值范围为-∞,,故选C. C