华师大版等腰直角三角形教案

RevisedbyBLUEontheafternoonofDecember12,2020.华师大版等腰直角三角形2006年数学中考总复习《三角形》第三节等腰三角形、直角三角形知识网络一、二、一、选择题1.【05绵阳】如图1，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC.将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是A.1B.2C.3D.4图1（2题图）2.【05杭州】如图,在等腰中,AC=BC,以斜边AB为一边作等边,使点C,D在AB的同侧;再以CD为一边作等边,使点C,E落在AD的异侧.若AE=1,则CD的长为:(A)(B)　　(C)(D)3.【05临沂课改】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30。，则顶角的度数为(A)60．(B)120．(C)60或150．(D)60或1204.【05青岛】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）5.【05湘潭】如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45o，如果梯子底端O固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60o，则此保管室的宽度AB为A．(+1)米B．(+)米C．3米D．(+1)米6.【05毕节】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是A．，，B．，，C．32，42，52D．1，2，3二、填空题1.【05绵阳】如图1，若CD是RtΔABC斜边上的高，AD=3，CD=4，则BC=_______.图1（2题图）（3题图）2.【05河南课改】已知：如图，AC⊥BC，BD⊥BC，AC＞BC＞BD，请你添加一个条件使△ABC∽△CDB，你添加的条件是___________________________。3.【05河南课改】图⑴、图⑵是两种方法把6根圆形钢管用钢丝捆扎的截面图。设图⑴、图⑵两种方法捆扎所需钢丝绳的长度是a、b(不记接头部分），则a、b的大小关系为：a________b(填“＜”、“＝”或“＞”）。4.【05宜昌】已知，在Rt△ABC中∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝10，那么BC＝．5.【05苏州】如图，等腰三角形ABC的顶角为1200，腰长为10，则底边上的高AD=。（5题图）（6题图）6.【05锦州】如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为____.7.【05泸州】一个等腰三角形的两边分别为8cm和6cm，则它的周长为　　　　cm．8.【05浙江】如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是cm2．9.【05丰台】等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，则它的周长是_______cm。10．【05宁德】在活动课上，小红已有两根长为4cm、8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是cm。11.【05漳州】如图，由Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm，则正方形M与正方形N的面积之和为。12题图图（11题图）（12题图）12.【05梅州】如图2，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC=。13.【05玉林】将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图1的位置，若∠AOD=11O°，则∠BOC=．14.【05河北课改】如图是引拉线固定电线杆的示意图。已知：CD⊥AB，CDm，∠CAD=∠DBD=60°，则拉线AC的长是__________m.15.【05湘潭】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，D为垂足。由以上两个条件可得________。(写出一个结论)三、解答题1.05绵阳】如图8①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3.(1)如图8②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系(不必证明)(2)如图8③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；(4)类比(1)、(2)、(3)的结论，请你出一个更具一般意义的结论.【解】设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2.(1)S1=S2+S3.(2)S1=S2+S3.证明如下：显然，S1=，S2=，S3=，∴S2+S3==S1.(3)当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3.证明如下：∵所作三个三角形相似，∴.(4)分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1＝S2＋S3.2.【05内江】如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线上，且过A、B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D、E，请你仔细观察后，在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。【解】△ACD≌△CBE证：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°∴∠CAD=∠BCE又∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB∴△ACD≌△CBE3.【05嘉兴】如图，矩形ABCD中，M是CD的中点。CBADM求证：（1）△ADM≌△BCM；（2）∠MAB=∠MBA【解】证：∵ABCD是矩形，∴∠ADM=∠BCM，AD=BC∵M是CD的中点，∴DM=CM∴△ADM≌△BCM证：∵△ADM≌△BCM，∴MA=MB.∴∠MAB=∠MBA.4.【05嘉兴】有一种汽车用“千斤顶”，它由4根连杆组成菱形ABCD，当螺旋装置顺时针旋转时，B、D两点的距离变大，从而顶起汽车。若AB=30，螺旋装置每顺时针旋转1圈，BD的长就减少1。设BD=a，AC=h，当a=40时，求h值；从a=40开始，设螺旋装置顺时针方向旋转x圈，求h关于x的函数解析式；从a=40开始，螺旋装置顺时针方向连续旋转2圈，设第1圈使“千斤顶”增高s1，第2圈使“千斤顶”增高s2，试判定s1与s2的大小，并说明理由。若将条件“从a=40开始”改为“从某一时刻开始”，则结果如何为什么【解】（1）连AC交BD于O，∵ABCD为菱形，∴∠AOB=90°，OA=，OB=20在Rt△AOB中，∵AO2+BO2=AB2，∴（2）从a=40开始，螺旋装置顺时针方向旋转x圈，则BC=40-x∴（3）结论：s1>s2.在中，令x=0得，令x=1得，；令x=2得，∴也可以如下比较s1、s2的大小：∵==而79>77，若将条件“从a=40开始”改为“从任意时刻开始”，则结论s1>s2仍成立。∵，而5.【05十堰课改】如图，已知△ABC，请你增加一个条件，写出一个结论，并证明你写出的结论。增加的条件为：已知：求证：证明【解】增加条件为BD=CE。结论为∠B=∠C证明：在Rt△BEC和Rt△CDB中∵BD=CEBC=BC∴Rt△BEC≌Rt△CDB∴∠B=∠C6.【05河南课改】已知：在Rt△ABC中，∠C＝900，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l。⑴、填表：三边a、b、ca＋b－ceq\f(S,l)3、4、525、12、1348、15、176⑵、如果a＋b－c＝m，观察上表猜想：eq\f(S,l)＝__________(用含有m的代数式表示)。⑶、证明⑵中的结论。【解】⑴填表：三边a、b、ca＋b－ceq\f(S,l)3、4、52eq\f(1,2)5、12、13418、15、176eq\f(3,2)⑵、eq\f(S,l)＝eq\f(m,4)⑶、证明：∵a＋b－c＝m，∴a＋b＝m＋c，∴a2＋2ab＋b2＝m2＋c2＋2mc。∵a2＋b2＝c2，∴2ab＝m2＋2mc∴eq\f(ab,2)＝\f(1,4)m(m＋2c)∴eq\f(S,l)＝eq\f(\f(1,2)ab,a＋b＋c)＝\f(\f(1,4)m(m＋2c),m＋c＋c)＝eq\f(m,4)7.【05南通海门】n=3n=4n=5（第23题）……已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．（1）当n=5时，共向外作出了个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为；（2）当n=k时，共向外作出了个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为（用含k的式子表示）．【解】（1）9，．（2）3（k－2），．8.【05锦州】如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.　　(1)线段AF和BE有怎样的大小关系请证明你的结论；　　(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗作出判断并说明理由；　　(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗作出判断不必说明理由；　　(4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现.　　　【解】(1)AF=BE.　　　　证明：在△AFC和△BEC中，　　　　　　∵△ABC和△CEF是等边三角形，∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60°.　　　　　　∴△AFC≌△BEC.∴AF=BE.　　　(2)成立.　　　理由：在△AFC和△BEC中，　　　∵△ABC和△CEF是等边三角形，∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60°.　　　∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB.　　　即∠ACF=∠BCE.∴△AFC≌△BEC.∴AF=BE.　　　(3)评价要求：此处图形不惟一，仅举几例，只要正确，即可得分.　　　如图，(1)中的结论仍成立.　　　　　　　　　　(4)根据以上证明、说明、画图，归纳如下：　　　如图a，大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C，则以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE.　　9.【05临沂课改】△ABC中，BC＝，AC＝，AB＝c．若，如图l，根据勾股定理，则。若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．【解】若△ABC是锐角三角形，则有若△ABC是钝角三角形，为钝角，则有。当△ABC是锐角三角形时，证明：过点A作ADBC，垂足为D，设CD为，则有BD＝根据勾股定理，得即。∴∵，∴。∴。当△ABC是钝角三角形时，证明：过B作BDAC，交AC的延长线于D。设CD为，则有根据勾股定理，得．即。∵，∴，∴。11.【05厦门】如图6，已知：在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC且交AC于D.（1）若∠BAC＝30°，求证:AD＝BD；（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.【解】(1)证明：∵∠BAC＝30°∠C＝90°∴∠ABC＝60°又∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝30°∴∠BAC＝∠ABD∴BD＝AD（2）解1：∵∠C＝90°∴∠BAC＋∠ABC＝90°∴eq\f(1,2)(∠BAC＋∠ABC)＝45°∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC∠BAP＝eq\f(1,2)∠BAC∠ABP＝eq\f(1,2)∠ABC即∠BAP＋∠ABP＝45°∴∠APB＝180°－45°＝135°解2：∵∠C＝90°∴∠BAC＋∠ABC＝90°∴eq\f(1,2)(∠BAC＋∠ABC)＝45°∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC∠PAC＝eq\f(1,2)∠BAC∴∠DBC＋∠PAD＝45°∴∠APB＝∠PDA＋∠PAD＝∠DBC＋∠C＋∠PAD＝∠DBC＋∠PAD＋∠C＝45°＋90°＝135°12.【05重庆课改】如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD＝∠ACD,ABCDE∠BDE＝∠CDE．求证：BD＝CD【解】证明：因为∠ABD＝∠ACD∠BDE＝∠CDE而∠BDE＝∠ABD＋∠BADABCDE∠CDE＝∠ACD＋∠CAD所以∠BAD＝∠CAD而∠ADB＝180°－∠BDE∠ADC＝180°－∠CDE所以∠ADB＝∠ADC在△ADB和△ADC中，∠BAD＝∠CADAD＝AD∠ADB＝∠ADC所以△ADB≌△ADC所以BD＝CD（注：用“AAS”证三角形全等，同样给分）13.【05梅州】如图5，RtΔABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且要求其中一个三角形的等腰三角形。（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）图5【解】作法一：作AB边上的中线；作法二：作∠CBA的平分线；作法三：在CA上取一点D，使CD=CB。14.【05梅山】△ABC等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD，不添加辅助线，请你写出尽可能多的结论。【解】如：①DB＝DE；②BD⊥AC；③∠DBC＝∠DEC＝30°；④△ABD≌△CBD；⑤△DCE∽△BDE；⑥∠CDE＝30°；⑦BD平分∠ABC；⑧DE2＝BE·CE选择题、填空题一、选择题1.D二、填空题1..2.∠CAB＝∠BCD或∠CBA＝∠BDC或BC2＝AC·BD等3.＝4.55.56.7.2或208.309.1210．811.6412.18015.