2003年普通高等学校春季招生(北京数学理)试卷及答案

2003年普通高等学校春季招生考试（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.正棱台、圆台的侧面积公式其中、c分别示上、下底面周长l表示斜高或母线长球体的体积公式其中R表示球的半径参考公式：三角函数的积化和差公式一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若集合()A．B．C．D．2．若，则方程的根是()A．B．－C．2D．－23．设复数()A．B．C．D．－4．函数的最大值是()A．B．C．D．5．在同一坐标系中，方程的曲线大致是()6．若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是()A．B．C．D．7．椭圆为参数）的焦点坐标为()A．（0，0），（0，－8）B．（0，0），（－8，0）C．（0，0），（0，8）D．（0，0），（8，0）8．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为()A．90°B．60°C．45°D．0°9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()A．42B．30C．20D．1210．已知直线相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形()A．是锐角三角形B．是直角三角形C．是钝角三角形D．不存在11．若不等式的解集为（－1，2），则实数a等于()A．8B．2C．－4D．－812．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是()A．95B．91C．88D．752003年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.题号二三总分171819202122分数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱毫米）110115120125130135（）145舒张压（水银柱毫米）707375788083（）8815．如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是16．若存在常数，使得函数的一个正周期为三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）解不等式：18．（本小题满分12分）已知函数的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；（Ⅲ）求三棱锥B1—EFD1的体积V.20．（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21．（本小题满分13分）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为.（Ⅰ）证明是等比数列；（Ⅱ）求的值.22．（本小题满分13分）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.2003年普通高等学校春季招生考试（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.D8.B9.A10.B11.C12.B二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．14．（140）（85）15．16．注：填的正整数倍中的任何一个都正确.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分12分.解：原不等式变形为.所以，原不等式.故原不等式的解集为.18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.满分12分.解：由.所以的定义域为因为的定义域关于原点对称，且是偶函数.当，所以的值域为19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.（Ⅰ）证法一：连结AC.∵正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1.∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.证法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD.又EF⊥D1D∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.（Ⅱ）在对角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足为H.∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G，∴D1H⊥平面B1EF，且垂足为H，∴点D1到平面B1EF的距离d=D1H.解法一：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1·sin∠D1B1H.∵，∴解法二：∵△D1HB1～△B1BG，∴，∴解法三：连结D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半，即，（Ⅲ）20．本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力.满分12分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得所以，当x=4050时，最大，最大值为，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.21．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力.满分13分.（Ⅰ）证明：记rn为圆On的半径，则所以故成等比数列.（Ⅱ）解：因为所以22．本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力.满分13分.解：（Ⅰ）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为.（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为消y得所以A点坐标为，B点坐标为（3，），假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即①②由①－②得但不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由，即当点C的坐标为（－1，）时，A，B，C三点共线，故.又，，.当，即，即为钝角.当，即，即为钝角.又，即，即.该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.解法二：以AB为直径的圆的方程为.圆心到直线的距离为，所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G.当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A，B，C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.过点A且与AB垂直的直线方程为.过点B且与AB垂直的直线方程为.令.又由，所以，当点C的坐标为（－1，）时，A，B，C三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是