梁的剪力图与弯矩图

5.1中的弯曲构件5.2梁的内力及其与外力间的相依关系5.3剪力方程与弯矩方程5.5载荷集度、剪力、弯矩间的微分关系5.6刚架的内力图5.7结论与讨论5.4剪力图与弯矩第1页/共87页5.1工程中的弯曲构件火车车轴可以简化为两端外伸梁可以简化为简支梁的吊车大梁第2页/共87页在Y8飞机主起落架结构设计中的体现航向航向车架大梁是受弯构件第3页/共87页5.2梁的内力及其与外力的相依关系梁的内力与梁上外力的变化有关第4页/共87页截面法第5页/共87页截面法确定任意横截面上的内力分量用假想截面从所的截面处将杆截为两部分考察其中任意一部分的平衡由平衡方程求得横截面的内力分量C第6页/共87页刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必然是平衡的。总体平衡与局部平衡的概念第7页/共87页总体平衡与局部平衡的概念刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必然是平衡的。第8页/共87页杆件内力变化的一般规律第9页/共87页某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；在荷载无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化；杆件内力变化的一般规律第10页/共87页梁各截面上内力变化规律随着外力的变化而改变。结论梁的内力变化的一般规律第11页/共87页控制面第12页/共87页控制面的概念外力规律发生变化截面—集中力、集中力偶作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。第13页/共87页根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规律变化，这一段杆的两个端截面称为控制面（controlcross-section）。据此，下列截面均可为控制面：集中力作用点的两侧截面；集中力偶作用点的两侧截面；均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。控制面的概念第14页/共87页剪力FQ(FQy或FQz)一使截开部分杆件产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。FQFQ弯矩M(My或Mz)一作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。剪力和弯矩的正负号规则第15页/共87页截面法确定指定横截面上的剪力和弯矩应用截面法确定某一个指定横截面上的剪力和弯矩，首先，需要用假想横截面从指定横截面处将梁截为两部分。然后，考察其中任意一部分的受力，由平衡条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。第16页/共87页截面法确定指定横截面上的剪力和弯矩【例题5.1】图示之一端固定另一端自由的悬臂梁(cantileverbeam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用，如图所示。试确定截面C及截面D上的剪力第17页/共87页解：1．求截面C上的剪力和弯矩用假想截面从截面C处将梁截开，取右段为研究对象，在截开的截面上标出剪力FQC和弯矩MC的正方向，如图（b）所示。由平衡方程第18页/共87页解：2．求截面D上的剪力和弯矩从截面D处将梁截开，取右段为研究对象。假设D、B两截面之间的距离为，由于截面D与截面B无限接近，且位于截面B的左侧，故所截梁段的长度。在截开的横截面上标出剪力FQD和弯矩MD的正方向，如图（c）所示。由平衡方程第19页/共87页【例题5.1】图示之一端固定另一端自由的悬臂梁(cantileverbeam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用，如图所示。试确定截面C及截面D上的剪力第20页/共87页5.3剪力方程与弯矩方程在剪力方程和弯矩方程中，x是变量，而FQ(x)和M(x)则是x的函数。梁内剪力和弯矩将随横截面位置的改变而发生变化。描述梁的剪力和弯矩沿长度方向变化的代数方程，分别称为剪力方程(equationofshearingforce)和弯矩方程(equationofbendingmoment)。第21页/共87页5.3剪力方程与弯矩方程【例题5.2】图示之一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称为简支梁(simplesupportedbeam)。梁上承受集度为q的均布载荷作用，梁的长度为2l。试写出该梁的剪力方程和弯矩方程。第22页/共87页5.3剪力方程与弯矩方程解：1．确定约束力因为只有铅垂方向的外力，所以支座A的水平约束力等于零。又因为梁的结构及受力都是对称的，故支座A与支座B处铅垂方向的约束力相同。于是，根据平衡条件不难求得：第23页/共87页5.3剪力方程与弯矩方程2.确定控制面和分段因为梁上只作用有连续分布载荷(载荷集度没有突变)，没有集中力和集中力偶的作用，所以，从A到B梁的横截面上的剪力和弯矩可以分别用一个方程描述，因而无需分段建立剪力方程和弯矩方程。第24页/共87页5.3剪力方程与弯矩方程3．建立Axy坐标系以梁的左端A为坐标原点，建立Axy坐标系，如图a所示。第25页/共87页5.3剪力方程与弯矩方程4．确定剪力方程和弯矩方程以A、B之间坐标为x的任意截面为假想截面，将梁截开，取左段为研究对象，在截开的截面上标出剪力FQ(x)和弯矩M(x)的正方向，如图（b）所示。由左段梁的平衡条件第26页/共87页5.3剪力方程与弯矩方程据此，得到梁的剪力方程和弯矩方程分别为这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的二次函数。第27页/共87页作用在梁上的平面载荷如果不包含纵向力，这时梁的横截面上只有剪力FQ和弯矩M两种内力分量。表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图形，分别称为剪力图（diagramofshearingforces）和弯矩图（diagramofbendingmoment）。5.4剪力图与弯矩图第28页/共87页剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图大体相似，但略有差异。主要步骤如下：根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。建立FQ一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。5.4剪力图与弯矩图第29页/共87页BA简支梁受力的大小和方向如图示。例题21kN.m2kN1.5m1.5m1.5m试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。解：1．确定约束力求得A、B二处的约束力FRA＝0.89kN,FRB＝1.11kNFRAFRB根据力矩平衡方程第30页/共87页例题2解：2．确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面，即A、B、C、D、E、F各截面均为控制面。3．建立坐标系建立FQ－x和M－x坐标系xFQ/kNOxM/kN.mOBCDEBA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBFRA第31页/共87页例题25．根据微分关系连图线因为梁上无分布载荷作用，所以剪力FQ图形均为平行于x轴的直线；弯矩M图形均为斜直线。于是，顺序连接FQ－x和M－x坐标系中的a、b、c、d、e、f各点，便得到梁的剪力图与弯矩图。xFQ/kNOxM/kN.mO解：4．应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FQ－x和M－x坐标系中。1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBBCDEFRA第32页/共87页例题25．确定剪力与弯矩的最大绝对值从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为(发生在EF段)(发生在D、E截面上)BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBBCDExFQ/kNOxM/kN.mO1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FRA第33页/共87页例题2从所得到的剪力图和弯矩图中不难看出AB段与CD段的剪力相等，因而这两段内的弯矩图具有相同的斜率。此外，在集中力作用点两侧截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用处两侧截面上的弯矩是不相等的，其差值分别为集中力与集中力偶的数值，这是由于维持DE小段和BC小段梁的平衡所必需的。建议大家自行加以验证。BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBBCDExFQ/kNOxM/kN.mO1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FRA第34页/共87页例题3qBADa4aqlFAyFBy梁由一个固定铰链支座和一个辊轴支座所支承，但是梁的一端向外伸出，这种梁称为外伸梁(overhangingbeam)。梁的受力以及各部分尺寸均示于图中。试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。解：1．确定约束力根据梁的整体平衡，由求得A、F二处的约束力第35页/共87页例题3qBADa4aqlFAyFByCOxFQOxM解：2．确定控制面由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的C截面，以及集中力qa左侧的D截面，也都是控制面。3．建立坐标系建立FQ－x和M－x坐标系第36页/共87页例题3qBADa4aqlFAyFByOxFQOxM9qa/4a7qa/4bdqacqaadb,cqa2解：4．确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FQ－x和M－x坐标系中。第37页/共87页例题3qBADa4aqlFAyFByOxFQOxMcqa9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa25．根据微分关系连图线对于剪力图：在AB段，因有均布载荷作用，剪力图为一斜直线，于是连接a、b两点，即得这一段的剪力图；在CD段，因无分布载荷作用，故剪力图为平行于x轴的直线，由连接c、d二点而得，或者由其中任一点作平行于x轴的直线而得。第38页/共87页例题3qBADa4aqlFAyFBy5．根据微分关系连图线对于弯矩图：在AB段，因有均布载荷作用，图形为二次抛物线。又因为q向下为负，弯矩图为凸向M坐标正方向的抛物线。于是，AB段内弯矩图的形状便大致确定。为了确定曲线的位置，除AB段上两个控制面上弯矩数值外，还需确定在这一段内二次抛物线有没有极值点，以及极值点的位置和极值点的弯矩数值。从剪力图上可以看出，在e点剪力为零。9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eEOxFQOxM第39页/共87页例题3MEqAExE6．确定弯矩图极值点的位置。qBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaOxFQOxMe81qa2/32eE第40页/共87页例题37．确定剪力与弯矩的最大绝对值从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为qBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaOxFQOxMe81qa2/32eE第41页/共87页例题3注意到在右边支座处，由于约束力的作用，该处剪力图有突变（支座两侧截面剪力不等）弯矩图在该处出现折点（弯矩图的曲线段在该处的切线斜率不等于斜直线cd的斜率）。qBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaOxFQOxMe81qa2/32eE第42页/共87页xQFQxqa/2qa/2FQFQqqMxMxqq例题4第43页/共87页qqqqxFQxFQqaFQMxMxqa2/2qa2FQqq例题5第44页/共87页qqFQ例题6第45页/共87页5.5载荷集度、剪力、弯矩间的微分关系第46页/共87页OxydxxFQFQ+dFQMM+dMq(x)考察dx微段的受力与平衡平衡微分方程第47页/共87页平衡微分方程FQFQ+dFQMM+dMq(x)OxyC考察dx微段的受力与平衡ΣFy=0:ΣMC=0:FQ－qdx－FQ－dFQ=0－M+(M+dM)－FQdx－qdx·dx/2=0第48页/共87页略去高阶项，得到ΣFy=0:ΣMC=0:FQ－qdx－FQ－dFQ=0－M+(M+dM)－FQdx－qdx·dx/2=0上述结果是在分布载荷向下的情形下得到的，如果作用梁上的分布载荷向上，上述平衡方程将变为根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力FQ、M的变化规律。平衡微分方程第49页/共87页应用平衡微分方程以及控制面上的内力分量，即可确定两控制面之间的内力分量沿杆长度方向变化的表达式与变化曲线，二者分别称为内力方程（equationofInternalforces）与内力图（diagramofinternalforces）。本节将主要介绍以下几种工程上常见情形下的内力图:轴力图、扭矩图、剪力图、弯矩图，重点是剪力图和弯矩图。第50页/共87页5.6刚架的内力与内力图第51页/共87页B刚架的组成—横梁、立柱与刚节点。立柱刚节点横梁第52页/共87页面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内力分量—轴力、剪力和弯矩。刚架特点内力分量的正负号与观察者位置的关系：轴力的正负号与观察者位置无关；剪力的正负号与观察者位置无关；弯矩的正负号与观察者位置有关。第53页/共87页刚架特点轴力的正负号与观察者位置无关第54页/共87页刚架特点剪力的正负号与观察者位置无关第55页/共87页刚架特点弯矩的正负号与观察者位置有关第56页/共87页刚架内力图的画法(1)无需建立坐标系；(2)控制面、平衡微分方程；(3)弯矩的数值标在受拉边;(4)轴力、剪力画在里侧和外侧均可，但需标出正负号；(5)注意节点处的平衡关系。第57页/共87页节点处的平衡关系FNFQFNFQMMFNFQFNFQBMM第58页/共87页例题7已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。B试：画出刚架的内力图。第59页/共87页例题7B解：1、确定约束力ql第60页/共87页Bql解：2、确定控制面。B'B"AC例题7第61页/共87页例题7B'ABA解：3、确定控制面上的内力。FQ(B')FN(B')M(B')考察竖杆AB的平衡第62页/共87页例题7B"BC解：3、确定控制面上的内力。FN(B")FQ(B")M(B")考察横杆BC的平衡第63页/共87页解：4、画剪力图和弯矩图。qlab'ab'cb"将控制面上的剪力和弯矩分别标在FQ和M坐标中。根据微分关系连图线。剪力图标上正负号。弯矩图画在受压的一侧。＋－b"c例题7第64页/共87页例题7解：4、画轴力图。将控制面上的轴力标在FN坐标中。连图线。b'ab"c根据轴力的拉、压性质，在图上标上正负号。＋第65页/共87页例题7FNFQqa2/2qa2/2第66页/共87页5.7结论与讨论于弯曲内力与内力图的几点重要结论1.根据弹性体的平衡原理，应用刚体静力学中的平衡方程，可以确定静定梁上任意横截面上的剪力和弯矩。2.剪力和弯矩的正负号规则不同于静力学，但在建立平衡方程时，依然可以规定某一方向为正、相反者为负。3.剪力方程与弯矩方程都是横截面位置坐标x的函数表达式，不是某一个指定横截面上剪力与弯矩的数值。第67页/共87页5.7结论与讨论于弯曲内力与内力图的几点重要结论4.论是写剪力与弯矩方程，还是画剪力与弯矩图，都需要注意分段。因此，正确确定控制面是很重要的。5.可以根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图，也可以不写方程直接利用载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系绘制剪力图和弯矩图。第68页/共87页正确应用力系简化方法确定控制面上的剪力和弯矩第69页/共87页一个重要概念三个微分方程一套方法重要结论第70页/共87页比较前面三个梁的受力、剪力和弯矩图的相同之处和不同之处，从中能得到什么重要结论？第71页/共87页从中能得到什么重要结论？qqFQFQqqqqFQ比较三种情形下梁的受力、剪力和弯矩图的相同之处和不同之处.第72页/共87页力系简化在确定控制面上剪力和弯矩时的应用第73页/共87页确定控制面上剪力和弯矩有几种方法？怎样确定弯矩图上极值点处的弯矩数值？第74页/共87页qq确定控制面上剪力和弯矩有几种方法？怎样确定弯矩图上极值点处的弯矩数值？第75页/共87页力系简化方法应用于确定控制面上剪力和弯矩FPaaFQ=FPM=FPaM=FPaFQ=FPFPFPFPaM=FPaFQ=FP简化的直接结果简化的间接结果第76页/共87页平衡微分方程的灵活应用第77页/共87页qq通过平衡微分方程的积分确定弯矩图上极值点处的弯矩数值。aaee第78页/共87页根据梁的剪力图和弯矩图能不能确定梁的受力，能否确定梁的支承性质与支承位置？只给定梁的剪力图能不能确定梁的受力，能不能确定梁的支承性质与支承位置？答案是否具有唯一性？由给定的剪力图能否确定弯矩图，答案是否唯一？第79页/共87页课外作业5－3b、c、e、f5－6a、c、d，第80页/共87页国家工科基础课程力学教学基地谢谢大家第81页/共87页2.图示圆截面等直杆受轴向力作用，横截面直径d=40mm,材料弹性常数E＝210GPa，在线弹性范围内，测得AB段轴向应变为0.0004，BC段轴向应变为0.0003，求：1.AC杆总伸长；2.杆内的最大正应力和最大切应力；3.该杆所受到的三个集中力的大小。第82页/共87页绘制梁的剪力图和弯矩图第83页/共87页2.图示圆截面等直杆受轴向力作用，横截面直径d=40mm,材料弹性常数E＝210GPa，在线弹性范围内，测得AB段轴向应变为0.0004，BC段轴向应变为0.0003，求：1.AC杆总伸长；2.杆内的最大正应力和最大切应力；3.该杆所受到的三个集中力的大小。第84页/共87页1.约束反力FSM2.绘剪力图qa2qaqa2.绘弯矩图第85页/共87页国家工科基础课程力学教学基地谢谢大家第86页/共87页感谢您的观看。第87页/共87页